5、组合数学之容斥原理
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14
*夫妻围坐问题：n对夫妻围坐在一圆桌边， 圆桌边有2n个座位，则满足男女相间，夫妻 不相邻的入座方法数为：
2n T (n) (n 1)! ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
k n
（座位不编号）
2n T (n) 2 n ! ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
| A B || A | | B | | A B | 100 71 14 157.
9
2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
A B C A B C A B AC B C A B C
3. n个集合上的容斥原理: 设A1,A2,,An是有限集合, 则有
19
我们曾把12…n全部不同错排的数目 记为Dn. 当时得到的结论如下.
1 1 1 n 1 Dn n! 1 1 n! 1! 2! 3!
可以用容斥原理证明: 设S={1,2,3,,n}, S0为S的所有n!个排列 的集合. 令Aj表示排列12n中使j位置上 的元素恰好是j的排列的集合, j=1,2,,n. 则排列12n的所有错位排列组成集合:
10000 10000 | A4 | 2500 , | A4 A5 | 500 4 45 10000 10000 | A4 A6 | 833, | A4 A5 A6 | 166 [4,6] [4,5,6] | A5 | 2000 , | A6 | 1666 , | A5 A6 | 333
A1 A2 An
20
Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | (n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
24
|A1A2|=4! ( A1A2为 , , b, g的全部排列). 由容斥原理, 模式ace和模式df都不出现 的排列个数为:
A1 A2 7! A1 A2 A1 A2 7!5!6!4! 4224
25
3. 相对禁位排列 在错排问题中,每个元素不许出现在原 来的位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类是相对禁位排列. 例6.3 有5个学生每天要排成一列去散步. 除第一个学生之外, 每个学生前面都有 一个学生. 每天都是同一个人在自己前 面走显得单调,第2天他们决定改变排队 次序, 使得每个同学前面的人与第1天 不同. 问有多少种不同的排队方式?
4
因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理. 上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
23
2. 有限制的排列 所谓有限制的排列, 顾名思义, 就是对 排列加上某种或某些限制. 例6.2 求字母a,b,c,d,e,f和g具有下列性质 的排列个数：在这些排列中, 模式ace 和df都不出现. 解 设A1, A2分别为出现模式ace和模式df 的排列的集合, 则有
|A1|=5! (=ace, A1为, b,d,f,g的排列); |A2|=6! (= df, A2为, a,b,c,e,g的排列);
21
Dn A1 A2 An n!C ( n,1)(n 1)! C ( n,2)(n 2)! C ( n,3)(n 3)! ( 1) C ( n, n)0!
n
n! n! n! n n! n! ( 1) 1! 2! 3! n! 1 1 1 n 1 n! 1 ( 1) . n! 1! 2! 3!
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak
i 1 j i k j n
n
( 1) A1 A2 An
11
例求在1到10000的整数中不能被4,5,6整除的数的个数. 解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整 除的数的个数，则
DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An
(b) A1 A2 An A1 A2 An
7
1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
A B A B A B
27
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai A j | | Ai A j Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出: |Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以, |A1A2| =(5-2)!=3! 类似有: |AiAi+1|=(5-2)=3!, i=2,3.
Ai1 Ai2 Aik (n k )!
17
从(1,2,…,2n,1)中取k个，两两不相邻的取法 个数为 2n C ( 2n k , k ) 2n k 所以
2n U n ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
k
18
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
● 我们的目的并不仅仅是讨论这样
一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括： 错位排列、有限制的排列、禁 位排列和棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则 (a) A B A B (b) A B A B
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门 外语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习 的人数为|U|-|AB|.
3
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单. 例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数. 直接计算相当麻烦,间接计算非常容易. 先计算1到700之间能被7整除的整数个 数=7பைடு நூலகம்0/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
m n i i 0 m 1 n
13
第二类Stirling数的展开式
第二类Stirling数：把 n个有区别的球放到k个 相同的盒子中, 要求无空盒, 其方案数为S(n,k).
则 所以
f(n, k)=k!S(n, k)
1 k k i n S ( n, k ) ( 1) C ( k , i )i k! i 0
f ( m, n )
m i 1
Ai | X | | Ai | | Ai1
i 1
m
Ai2 | Am |
|Ai1
Ai2
Ai3 |
( 1) m | A1
mn m(m 1)n C (m,2)(m 2)2 C (m,3)(m 3)n ( 1) (m m) ( 1) C (m, i )(m i )
A1 A2 An Ai Ai A j
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak ( 1)
i 1 j i k j
n
n 1
A1 A2 An
10
4. 容斥原理的余集形式
| A1 A2 An | N A1 A2 An N Ai Ai A j
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数. 解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
8
500 500 | A | 100, | B | 71, 5 7 同时被5和7整除的整数个数 500 | A B | 14. 5 7 故能被5或7整除的整数个数
《组合数学》
第六讲
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位. ●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数. 例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
| A4 | A4
A5
A6 | 10000 (| A4 | | A5 | | A6 |) A5 | | A4 A6 | | A5 A6 | | A4 A5 A6 |
12
5334
例 n个不同的球分放m个不同的盒子里，每盒 不空，求分放总数f(n,m). 解：以X记所有无约束条件的放球方法 记Ai为第i盒空的放法全体，则
k n
（座位编号）
15
证明：首先让女宾入座，每两个女宾之间 留下一个空位，其入座方法数为(n-1)!，然 后让男宾入座，其入座方法数记为Un，把 女宾依顺时针方向自1至n编号，第i号女宾 的丈夫编为第i号，为i号男宾；i号女宾的左 手空位编号为i号座位。令 A1：1号男宾坐在n号座位 A2i-1：i号男宾坐在i-1号座位；i=2,3,…,n A2i：i号男宾坐在i号座位；i=1,2,…,n
26
分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式. 这个问题可以利用容斥原理来解决. 设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
22
例 小王要为公司审阅7本书，于是他雇了7 个人来审阅它们。他希望每本书有两个审 阅者，于是在第一个星期，他给每人一本书 来审阅，接着在第二个星期开始重新分配。 一共有多少种方式可以完成这两次分配，使 得每本书有两个不同的审阅者？ 解 满足要求的分配方式有
7!D7=(7!)2(1-1+(1/2!)-(1/3!)+…+(1/7!))
16
Un
2n i 1
Ai n ! | Ai | | Ai1
i 1
2n
Ai2 |
2n
|Ai1
Ai2
Ai3 |
( 1) | A1
A2 n |
|Ai|=(n-1)!
Ai Ai 1 A1 A2n , i 1,,2n 1
因此，如i1,i2,…,ik在园排列(1,2,…,2n,1)中若 有相邻者，则Ai1∩Ai2∩…∩Aik=Φ，否则
n
三. 容斥原理的应用实例
1. 错排问题 上一讲利用递归关系讨论了错排问题. 现在利用容斥原理再次讨论这个问题. 可以看出容斥原理解决这个问题更容 易, 而且利用容斥原理很容易理解错 排数列通项公式的组合意义. 我们再重申一下, 排列i1i2in是排列 12n的一个错排当且仅当i11, i22, , inn.
*夫妻围坐问题：n对夫妻围坐在一圆桌边， 圆桌边有2n个座位，则满足男女相间，夫妻 不相邻的入座方法数为：
2n T (n) (n 1)! ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
k n
（座位不编号）
2n T (n) 2 n ! ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
| A B || A | | B | | A B | 100 71 14 157.
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2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
A B C A B C A B AC B C A B C
3. n个集合上的容斥原理: 设A1,A2,,An是有限集合, 则有
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我们曾把12…n全部不同错排的数目 记为Dn. 当时得到的结论如下.
1 1 1 n 1 Dn n! 1 1 n! 1! 2! 3!
可以用容斥原理证明: 设S={1,2,3,,n}, S0为S的所有n!个排列 的集合. 令Aj表示排列12n中使j位置上 的元素恰好是j的排列的集合, j=1,2,,n. 则排列12n的所有错位排列组成集合:
10000 10000 | A4 | 2500 , | A4 A5 | 500 4 45 10000 10000 | A4 A6 | 833, | A4 A5 A6 | 166 [4,6] [4,5,6] | A5 | 2000 , | A6 | 1666 , | A5 A6 | 333
A1 A2 An
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Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | (n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
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|A1A2|=4! ( A1A2为 , , b, g的全部排列). 由容斥原理, 模式ace和模式df都不出现 的排列个数为:
A1 A2 7! A1 A2 A1 A2 7!5!6!4! 4224
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3. 相对禁位排列 在错排问题中,每个元素不许出现在原 来的位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类是相对禁位排列. 例6.3 有5个学生每天要排成一列去散步. 除第一个学生之外, 每个学生前面都有 一个学生. 每天都是同一个人在自己前 面走显得单调,第2天他们决定改变排队 次序, 使得每个同学前面的人与第1天 不同. 问有多少种不同的排队方式?
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因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理. 上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
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2. 有限制的排列 所谓有限制的排列, 顾名思义, 就是对 排列加上某种或某些限制. 例6.2 求字母a,b,c,d,e,f和g具有下列性质 的排列个数：在这些排列中, 模式ace 和df都不出现. 解 设A1, A2分别为出现模式ace和模式df 的排列的集合, 则有
|A1|=5! (=ace, A1为, b,d,f,g的排列); |A2|=6! (= df, A2为, a,b,c,e,g的排列);
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Dn A1 A2 An n!C ( n,1)(n 1)! C ( n,2)(n 2)! C ( n,3)(n 3)! ( 1) C ( n, n)0!
n
n! n! n! n n! n! ( 1) 1! 2! 3! n! 1 1 1 n 1 n! 1 ( 1) . n! 1! 2! 3!
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak
i 1 j i k j n
n
( 1) A1 A2 An
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例求在1到10000的整数中不能被4,5,6整除的数的个数. 解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整 除的数的个数，则
DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An
(b) A1 A2 An A1 A2 An
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1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
A B A B A B
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Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai A j | | Ai A j Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出: |Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以, |A1A2| =(5-2)!=3! 类似有: |AiAi+1|=(5-2)=3!, i=2,3.
Ai1 Ai2 Aik (n k )!
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从(1,2,…,2n,1)中取k个，两两不相邻的取法 个数为 2n C ( 2n k , k ) 2n k 所以
2n U n ( 1) C (2n k , k )(n k )! 2n k k 0
k
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其中A表示A在S中的补集或余集 .
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● 我们的目的并不仅仅是讨论这样
一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括： 错位排列、有限制的排列、禁 位排列和棋阵多项式等.
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二. 容斥原理
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则 (a) A B A B (b) A B A B
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门 外语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习 的人数为|U|-|AB|.
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在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单. 例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数. 直接计算相当麻烦,间接计算非常容易. 先计算1到700之间能被7整除的整数个 数=7பைடு நூலகம்0/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
m n i i 0 m 1 n
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第二类Stirling数的展开式
第二类Stirling数：把 n个有区别的球放到k个 相同的盒子中, 要求无空盒, 其方案数为S(n,k).
则 所以
f(n, k)=k!S(n, k)
1 k k i n S ( n, k ) ( 1) C ( k , i )i k! i 0
f ( m, n )
m i 1
Ai | X | | Ai | | Ai1
i 1
m
Ai2 | Am |
|Ai1
Ai2
Ai3 |
( 1) m | A1
mn m(m 1)n C (m,2)(m 2)2 C (m,3)(m 3)n ( 1) (m m) ( 1) C (m, i )(m i )
A1 A2 An Ai Ai A j
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak ( 1)
i 1 j i k j
n
n 1
A1 A2 An
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4. 容斥原理的余集形式
| A1 A2 An | N A1 A2 An N Ai Ai A j
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数. 解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
8
500 500 | A | 100, | B | 71, 5 7 同时被5和7整除的整数个数 500 | A B | 14. 5 7 故能被5或7整除的整数个数
《组合数学》
第六讲
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位. ●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数. 例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
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●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
| A4 | A4
A5
A6 | 10000 (| A4 | | A5 | | A6 |) A5 | | A4 A6 | | A5 A6 | | A4 A5 A6 |
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例 n个不同的球分放m个不同的盒子里，每盒 不空，求分放总数f(n,m). 解：以X记所有无约束条件的放球方法 记Ai为第i盒空的放法全体，则
k n
（座位编号）
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证明：首先让女宾入座，每两个女宾之间 留下一个空位，其入座方法数为(n-1)!，然 后让男宾入座，其入座方法数记为Un，把 女宾依顺时针方向自1至n编号，第i号女宾 的丈夫编为第i号，为i号男宾；i号女宾的左 手空位编号为i号座位。令 A1：1号男宾坐在n号座位 A2i-1：i号男宾坐在i-1号座位；i=2,3,…,n A2i：i号男宾坐在i号座位；i=1,2,…,n
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分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式. 这个问题可以利用容斥原理来解决. 设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
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例 小王要为公司审阅7本书，于是他雇了7 个人来审阅它们。他希望每本书有两个审 阅者，于是在第一个星期，他给每人一本书 来审阅，接着在第二个星期开始重新分配。 一共有多少种方式可以完成这两次分配，使 得每本书有两个不同的审阅者？ 解 满足要求的分配方式有
7!D7=(7!)2(1-1+(1/2!)-(1/3!)+…+(1/7!))
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Un
2n i 1
Ai n ! | Ai | | Ai1
i 1
2n
Ai2 |
2n
|Ai1
Ai2
Ai3 |
( 1) | A1
A2 n |
|Ai|=(n-1)!
Ai Ai 1 A1 A2n , i 1,,2n 1
因此，如i1,i2,…,ik在园排列(1,2,…,2n,1)中若 有相邻者，则Ai1∩Ai2∩…∩Aik=Φ，否则
n
三. 容斥原理的应用实例
1. 错排问题 上一讲利用递归关系讨论了错排问题. 现在利用容斥原理再次讨论这个问题. 可以看出容斥原理解决这个问题更容 易, 而且利用容斥原理很容易理解错 排数列通项公式的组合意义. 我们再重申一下, 排列i1i2in是排列 12n的一个错排当且仅当i11, i22, , inn.