2013-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

（第3题图）

俯视图侧视图

正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

2．设1

,(1)()2,(1)

x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．-1

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱

4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

5．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）

A ．8

B ．2

C ．-2

D ．-8

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25

B ．15,15,15

C ．10,5,30

D ．15,10,20

7．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）

A ．

15 B ．14 C ．49 D ．59

8．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5

9．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．2

2

(2)(1)5x y +++= B ．22

(2)(1)10x y -+-=

C ．2

2

(2)(1)5x y -+-=

D ．2

2

(2)(1)10x y +++=

10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点

,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）

A B km C ．1.5km D ．2km

（第14题图）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．

12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．

13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 为 .

15．已知向量a 与b 的夹角为

4

π

，2a =，且4a b =，则b = .

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）

已知1cos ,(0,22

π

αα=∈

（1）求tan α的值；

（2）求sin()6

π

α+的值.

某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.

(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；

(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？

18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为0

45，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.

a （第17题图）

F

E

D

B

A

（第18题图）

已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；

（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）

已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式1

2

≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.

2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案

一、选择题

二、填空题

11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4

三、解答题：

16、（1）(0,),cos 02

π

αα∈∴>，从而cos α=

（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：

200

12001202000

⨯=（人）

；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=

∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62

()26(1)156

f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨

⎨=++==⎩⎩ （2）

22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-

1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.

19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==

*1

2(2,)n

n a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)

1232

n n n S n +∴=++++=

20、（1）

22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-

（2）由505k k ->⇒< （3）由22

2

240

51680(1)(2)5x y y y k x y k

-+=⎧⇒-++=⎨

++-=-⎩

设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==

，224

1620(8)05

k k ∆=-+>⇒<