电磁场与波第二章

q 4 0 rP
O
rP
P
4 0 r 对于位于 r 的点电荷，电位表达式则为：
8

q
q q 4 0 | r r | 4 0 R
第二章 静电场和恒定电流电场
电荷系的电场电位：
场源 n个点电荷，利用叠加原理，选取同一个参考零电位点（电荷在有 限空间，选取无限远作为零电位）。此时n个电荷电位为：
理想介质表面：
由于： En Dn En n n 则可以将此边界条件用电位表示：
2
D1n D2n S
2 1 2 1 S n n
18
2 =1 1 n n
导体表面， 1为常数：
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2 2 S n
点荷组成如图。 解：在球坐标系中，
z
+q
(r )
q 1 1 q r2 r1 ( ) 4π 0 r r2 4π 0 r1r2 1
l 所以可以近似认为
l
－q
o
r1 r
r2
P( r, , )
由于l很短， r
2
l l r cos ) ( r cos ) l cos 1r 2 r ,r 2 r 1 (r 电偶极子 2 2 所以上式可以写成：
l R ln 0 2 RA
选取空间中某点0为零电位，则A的电位为
A
对于场源电荷分布在无限远处时形成的电场，不能选取无限远为零电位。 如果选取R0为无穷大，则，A点电位也为无穷大。只能选取有限空间中非源 11 点为零电位。
第二章 静电场和恒定电流电场
电位与电场强度
电场强度用电位梯度表示(微分关系)：

Q P
( ) dl
Q P
dl l
a l l
P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做 的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 电位差也称为电压，可用U表示 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关
如果选择场中某点O为电位零点，则空间P的电位为：
第二章 静电场和恒定电流电场
本章架构 1.静电场的基本方程 2.电位 3.电位方程 4.静电场的边界条件 5.电容 6.电场能量 7.恒定电流电场 8.导电媒质内恒流电场与静电场的比拟
第二章 静电场和恒定电流电场
静态电磁场问题
D H J t B E t D B 0
2
t
第二章 静电场和恒定电流电场
§2.1 静电场的基本方程
H 0 E 0 D B 0
n (E1 E2 ) 0
本构关系
D E
麦克斯韦 方程组
B H
边界条件
E1t E2t
n (D1 D2 ) S
P
M P
E dl E dl
M
Q
q 4 0

Q M
r dr 3 r
Q
rQ
M
积分贡 q 献为零 4 0

rQ rM
1 q dr r2 4 0
1 1 r r P Q
选定参考点为无穷远点，即 点电荷电位的一般表达式：
rQ , P
Cl
两导线间单位长度的电容为：
l
U
21

Da ln a
0

0
D ln a
第二章 静电场和恒定电流电场
例2.7 求同轴线的分布电容（单位长度电容）。同轴线内导体半径为R1，
外导体内半径为R2，内外导体间媒质的介电常数为。(教材p45)
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第二章 静电场和恒定电流电场
多导体系统的部分电容： 单个导体上的电量

PMQ
E dl =-
QNP

PNQ
结论：在静电场中，电场力对电荷所做的功仅和电荷位移的 起点和终点位置有关，而和电荷移动经过的路径无关。
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第二章 静电场和恒定电流电场
电位差：
把单位正电荷从P点移动到Q点电场力所做的功称为从P点到Q点的电位差：
U PQ P Q

Q P
E dl
0 t 0 t 0 t
H J E 0 D B 0
J 0
静电场和静磁 场彼此独立
J
静态场：指的是电磁场中场源和场量均不随时间变化的场。 静态场分类：静电场、恒定电场和恒定磁场。 静电场：场源电荷静止不动，不随时间变化所产生的场。 恒定电场：导电媒质中，恒定电流产生的场。 恒定磁场：恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。
l
a D P x
- l x
l 1 1 E x ax 2 0 x D x
两导线间的电压差为：
U
D a
a
l Da 1 l D a 1 E x ax dx ln dx a 2 0 0 a x Dx
第二章 静电场和恒定电流电场
例2.4 平板电容极板平面的尺寸远大于它们之间的距离d，两极板间加恒定
电压U0，极板间介质的介电常数为，其中一半空间有体电荷均匀分布，体 电荷密度为，分界面与极板平行，试求极板间电位分布。（教材p43）
例2.5 （教材p44例2.4.2）
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第二章 静电场和恒定电流电场
P P O E dl
P
O
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当场源分布在有限区域时候， 一般选择无穷远为零电位点。
第二章 静电场和恒定电流电场
2 r 例题2.1：电荷按体密度 =0 1 2 分布于一个半径为a的球形区域内，其中 a 0为常数。计算球内外电场和电位。（参考书P35）

电位的泊松方程
2 0 电位的拉普拉斯方程
求解电场分布的问题，最后就是求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题
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第二章 静电场和恒定电流电场
§2.4 静电场的边界条件
一般电磁场的边界条件： 标量形式：
n (E1 E2 ) 0
E1t E2t
电场强度矢量在两种媒质分界面 上的切向分量是连续的
( r)ds ( r)ds 4π | r r | V 4π R
( r)dl ( r)dl 4π | r r | V 4π R
面电荷
(r )
s
线电荷
(r )
l
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第二章 静电场和恒定电流电场
场源电荷分布至无限远时：
E
引出标量电位的目的：作为求解场的辅助函数，简化场的计算。 优势：将求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题。 在静电场中的标量电位有明确的物理意义。
在单位正电荷在电场中位移 dl ，则电场力做功为
dA=E dl
而沿着路径做的总功为
A= E dl
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第二章 静电场和恒定电流电场
A= E dl
q C
双导体时，一个导体上的电量
E2 0
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第二章 静电场和恒定电流电场
电位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。 当两点间距离⊿l→0时
1 2 E l 0 1 2
在分界面上的电位是连续的。
P1 P2
△l
1 2
E1t E2t 两者是等效的(证明见p42)。
n (D1 D2 ) S
D1n D2n S
分界面上有自由电荷时，电位移矢 量法向分量之差为电荷面密度。如 果没有自由电荷，电位移矢量法向 分量连续。
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第二章 静电场和恒定电流电场
分界面上没有自由电荷（理想介质）：
E1t E2t
D1n =D2n
上式两式相除
E1 sin 1 E2 sin 2 D1 cos1 D2 cos2
an
介质1 介质2
1
E1
1E1 cos1 2 E2 cos2
tan 1 1 tan 2 2
静电场电力线 的折射定律
1
E2
2
2
导体表面边界条件：
由于静电平衡，导体内部电场为零。
介质
an
E1 E
Dn S , Et 0
1 , 1 0
导体
2 , 0
ql cos p cos pr (r ) = 2 2 4π 0 r 4π 0 r 4π 0 r 3
其中 p ql 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
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第二章 静电场和恒定电流电场
电场强度求解
1 1 E ( r ) ( ar a a ) r r r sin p ( ar 2cos a sin ) 3 4 π 0 r
电容的定义与计算： 孤立导体组成的电容：
§2.5 电容
C
q

导体所带电荷与导体电位之比
C
电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关 如空气中半径为a的孤立带电球，

q

q 4 0a
C
q

4 0a
与q和无关
双导体组成的电容:
C
q q U 1 2
20
q
1
例题2.2：无限长同轴传输线内导体半径为R1,外导体的内半径为R2，在内外导体 见加电压U，（设外导体电位为零），球内外导体间的电场及电位分布。（参考 书P35）
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第二章 静电场和恒定电流电场
已知电荷分布求电场电位：
点电荷：设点电荷q在原点，参考点Q，场点 (电位考察点)P，选择路径
P→M → Q(路径可以任意选择)进行积分，有
qk 1 n qk (r ) 4 0 k 1 | r rk | 4 0 k 1 Rk 1
n
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第二章 静电场和恒定电流电场
连续分布的电场电位：
电荷在有限空间，选取无限远作为零电位.
体电荷
(r )
( r)dV ( r)dV V 4π | r r | V 4 π R
由以上公式可以画得点偶极子的电力线和 等位线分布如右图
电场线 等位线 电偶极子的场图 14
第二章 静电场和恒定电流电场
§2.3 电位方程
静电场的基本方程：
线性媒质中的本构关系：
E 0
D E
D
可以得到：
E
=2
电场与电位关系： E 在没有电荷分布的区域（无源区）
设电荷均匀分布在一无限长直线上，其电荷线密度为l，求空间各点的电位。 选取圆柱坐标系，利用高斯定律：
E aR
l 2 0 R
C B
对于空间任意两点A及B的电位差
A B E dl E dl E dl
A A C
B


RB RA
l l R dR ln B 2 R 2 RA
C
2
q
电容C只与导体几何性质和介质有关
第二章 静电场和恒定电流电场
例2.6 如图所示的平行双线传输线，导线的半径为a，两导线的轴线相距为
D，且D>>a。试求传输线单位长度的电容。 解：由于 D>>a ，近似认为电荷均匀分布在导体 表面，且可将导线看成线电荷，则利用高斯定理 得x轴上的电场分布
y
D1n D2n S
D dS q S 积分形式 E dl 0 C
电场的旋度为零，表明为无旋场。而电通密度的散度不为零，表 明静电场是一个有源场。
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第二章 静电场和恒定电流电场
§2.2 电位
静电场的无旋特性 E 0 称为标量电位. 可以用一个标量的梯度 来表示
积分关系：
E

0 P
E dl

0 P
( ) dl
0 P
dl P 0 = P l
电场中电位的等值线或等值面称为等位线或等位面。电荷在等 位面上移动时，电场力不对电荷做功。
E dl =0
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第二章 静电场和恒定电流电场
例2.3 求电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空间两个等量异号的
对于具有无旋特性的静电场，上式关于起点P和终点Q之间的积分与路劲无关。 证明如下：（教材P34）
无旋静电场中任一闭合回路积分都满足：
Q
N

C
E dl
( E ) ds 0
s
对于右图闭合回路PMQNP，有
M
P
QNP

即
PMQNP
E dl

PMQ
E dl E dl
E dl 0 E dl