特征值与特征向量及其应用

摘要

特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.

正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.

当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.

关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换

Abstract

As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.

The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.

Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.

Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation

目 录

摘 要....................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................... II

1 引 言 (1)

1.1 研究背景 (1)

1.2 研究现状 (1)

1.3 本文研究目的及意义 (2)

2 特征值与特征向量 (3)

2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)

2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)

2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)

2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间

的关系 (3)

3 特征值与特征向量的解法 (5)

3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)

3.2 列行互逆变换法 (6)

3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)

4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)

4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)

4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)

4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)

4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)

4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)

4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)

4.5.2 应用举例 (25)

4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)

4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)

4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)

总 结 (30)

参考文献 (31)

致 谢 (32)