特征值与特征向量及其应用
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、物理学、工程等领域有着广泛的应用。
本文将对特征值与特征向量进行详细讲解，并介绍它们的一些重要性质和应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，非零向量x若满足Ax=kx，其中k为一个标量，那么我们称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵A的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的一些重要特性。
二、求解特征值与特征向量要求解一个矩阵的特征值与特征向量，我们可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的多项式方程，形式为|A-kI|=0，其中I为单位矩阵，k为特征值。
解特征方程可以得到特征值的值，然后将特征值代入到(A-kI)x=0中，求解线性方程组即可得到特征向量。
特征值与特征向量是成对存在的，对于矩阵A的每一个特征值k，都对应着一个特征向量。
一个矩阵最多有n个特征值，但是可能有重复的特征值。
三、特征值与特征向量的重要性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 特征向量与特征值的个数相等，一一对应。
2. 特征值可以为实数或复数，特征向量可以为实向量或复向量。
3. 若特征值为k，则对应的特征向量不唯一，可乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 矩阵的迹等于特征值的和，行列式等于特征值的积。
特征值与特征向量的这些性质在实际问题中有着重要的应用，可以用于矩阵的对角化、求解线性方程组、图像处理、物理模型的求解等领域。
四、特征值与特征向量的应用1. 数据降维在数据处理中，我们经常会遇到维度灾难，即特征维度非常高，而样本量较小。
利用特征值与特征向量，我们可以将高维度的数据降低到低维度，从而简化计算和数据处理过程，提高算法效率。
2. 图像处理图像可以用矩阵来表示，而图像的特性往往由矩阵的特征值与特征向量来描述。
利用特征值与特征向量，我们可以进行图像的压缩、图像的特征提取、图像的增强等图像处理操作。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学中，特征值和特征向量是矩阵与线性变换的重要概念。
特征值可以帮助我们理解线性变换对向量运动的影响，而特征向量则描述了这种影响的方向。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义对于一个n维向量空间中的线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v) = λv 成立，其中λ为一个标量，那么我们称λ为T的特征值，v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来获得。
设A是一个n×n的矩阵，并且v是一个非零向量，则有Av = λv 成立。
这是一个齐次线性方程组。
解该方程组即可得到特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的存在性和唯一性对于一个n×n的矩阵A，它的特征值存在和特征向量存在的条件是相同的。
一个矩阵最多有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量也可以有多个。
但是特征向量一定是线性相关的。
2. 特征值与特征向量的性质（1）特征值的和等于矩阵的迹如果A是一个n×n的矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则有λ₁+λ₂+...+λₙ = tr(A)，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
（2）特征值的乘积等于矩阵的行列式如果A是一个n×n的矩阵，则特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ₁*λ₂*...*λₙ = det(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
（3）特征值的倒数等于矩阵的逆矩阵的特征值如果A是一个可逆矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则A的逆矩阵的特征值为λ₁⁻¹、λ₂⁻¹、...、λₙ⁻¹。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中有广泛的应用。
下面列举了其中的几个应用领域：1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像压缩和降维等。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。
特征值λ 是使得上述等式成立的实数。
特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。
而特征值也最多有n 个。
一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。
2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。
3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。
三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。
1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。
这样可以得到 A 的特征值。
2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。
解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。
对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。
2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。
矩阵的特征值与特征向量的在工程中的应用
矩阵的特征值与特征向量的在工程中的应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在工程中具有广泛的应用。
特征值与特征向量可以帮助我们了解矩阵的性质，从而在工程领域中解决各种实际问题。
本文将讨论特征值与特征向量在工程中的应用，并简要介绍一些具体例子。
首先，我们来定义特征值与特征向量。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ为实数，则称λ为A的特征值，v 为对应的特征向量。
在工程中，特征值与特征向量具有以下应用：1.特征值分析特征值分析是工程中最常见的应用之一，它可以帮助我们了解矩阵的性质。
例如，在结构力学中，特征值分析可以用于求解结构的固有频率和振型，从而了解结构的动力响应。
在电力系统中，特征值分析可以用于判断电力系统的稳定性。
2.主成分分析3.控制系统设计特征值与特征向量在控制系统设计中起到了重要作用。
例如，在稳定性分析中，我们可以通过计算系统矩阵的特征值，来判断系统的稳定性。
特征向量可以帮助我们了解系统的振荡模态以及系统响应的特性。
4.图像处理在图像处理中，特征值与特征向量可以用于图像压缩、图像识别等问题。
例如，在人脸识别中，我们可以将一张人脸图像表示为一个向量，然后通过计算特征向量来对图像进行特征提取和分类。
5.近似计算特征值与特征向量在数值计算中也有重要应用。
例如，在大规模矩阵求逆运算中，可以通过选取矩阵的最大特征值和对应的特征向量，来估计矩阵的逆。
这种近似计算方法可以大大减少计算量。
总之，矩阵的特征值与特征向量在工程中具有广泛的应用。
它们帮助我们了解矩阵的性质，解决各种实际问题。
特征值与特征向量在特征分析、主成分分析、控制系统设计、图像处理等领域发挥着重要作用，在实际应用中具有很高的价值。
工程师们可以运用特征值与特征向量的知识，更好地解决实际问题，提高工程应用的效果。
特征值特征向量及其应用
毕业论文特征值特征向量及其应用院系名称：专业名称：学生姓名：学号：指导教师：完成日期年月日特征值特征向量及应用摘要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。
本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。
然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法：特征方程法；行列互逆变换法；初等变换法。
最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中n阶矩阵的高次幂的求解；在物理中对于振动模型的求解问题；以及经济发展与环境污染增长模型等等。
关键词：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换Applications of Eigenvalues and EigenvectorsAbstractEigenvalue and eigenvector play an important role in modern science. This thesis firstly introduces the definition and properties of the eigenvalue and eigenvector, and provides the relationship between the eigenvalue and eigenvector of linear transformation in linear space and the eigenvalue and eigenvector of the matrix. Secondly this thesis introduces several methods to find the eigenvalue and eigenvector: the characteristic function method, the dual inverse transform method and the elementary transform method. At last, this thesis introduces the application of eigenvalue and eigenvector, such as find the power of large matrix in mathematics, solving vibration model problems in physics, and solving the models of economic development, environmental pollution and so on.Key words: eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；transformation目录第1章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究内容 (2)第2章特征值与特征向量的理论 (4)2.1 特征值与特征向量的一般理论 (4)2.1.1 特征值与特征向量的定义 (4)2.1.2 特征值与特征向量的性质 (5)2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8)2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 (9)第3章特征值与特征向量在数学领域简单应用 (14)3.1 高阶高次幂矩阵的求解 (14)3.2 在线性递推关系的应用 (15)3.3 在一阶线性常微分方程中的应用 (17)3.3.1 矩阵特征值为一重 (18)3.3.2 当有重根的情况 (20)第4章特征值与特征向量在物理学中的应用 (22)4.1 简单理想状态双振动系统 (22)4.2 关于物理振动模型的解释和举例说明 (26)4.2.1 二阶系统 (26)4.2.2 三阶系统 (28)第5章特征值与特征向量在生活中的简单应用 (30)5.1 环境污染及经济增长模型中的应用 (30)5.2 种群增长及分布模型中的应用 (31)5.3 常染色体遗传问题中的应用 (33)总结 (37)参考文献 (1)致谢................................................................................................................. 错误!未定义书签。
特征值与特征向量的应用
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值与特征向量的定义、性质以及它们在不同领域中的具体应用。
一、特征值与特征向量的定义与性质特征值是矩阵运算中的一个重要概念，它可以帮助我们了解矩阵的变换特性。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，x是矩阵A的特征向量。
特征向量与特征值有以下几个重要性质：1. 特征值可以是实数或复数；2. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值可以对应多个特征向量；3. 特征向量不唯一，只要是与一个特征值对应的特征向量都可以。
特征值与特征向量的定义及其性质可以帮助我们更好地理解它们在实际问题中的应用。
二、特征值与特征向量在物理学中的应用特征值与特征向量在物理学中有广泛的应用。
例如，在量子力学中，波函数的时间演化可以通过求解薛定谔方程得到，其中的波函数就是特征向量，特征值则对应能量的值。
特征值的大小和符号决定了体系的稳定性和行为。
此外，在经典力学中，特征向量可以用于描述刚体的转动运动。
特征值告诉我们刚体的运动状态，如旋转的角速度和转动惯量等。
特征值与特征向量在物理学中的应用经常涉及到矩阵运算和计算特征值分解，能够帮助我们解决实际问题。
三、特征值与特征向量在工程学中的应用特征值与特征向量在工程学中也有广泛的应用。
例如，在结构动力学中，特征值可以用于判断结构物的稳定性。
通过求解结构物的特征值问题，可以得到结构物的固有频率，从而判断结构物是否会发生共振等问题。
此外，在信号处理领域中，特征值与特征向量被广泛应用于降维和数据压缩。
通过对数据进行特征值分解，可以将高维数据降低到低维空间，从而减少计算量和存储空间。
四、特征值与特征向量在计算机科学中的应用特征值与特征向量在计算机科学中也有着重要的应用。
例如，在图像处理中，特征值与特征向量被用于图像压缩和特征提取。
特征值和特征向量的应用 数学毕业论文
特征值和特征向量的应用数学毕业论文特征值和特征向量在数学领域中是相当重要的概念，它们在矩阵理论、线性代数、计算机图形学、物理学等领域中都有广泛的应用，具有重要的理论价值和实际应用价值。
本篇论文将系统地介绍特征值和特征向量的概念及其应用，希望能为读者提供一些帮助。
一、特征值和特征向量的定义及性质特征值和特征向量是矩阵运算中十分重要的概念。
矩阵A具有特征值λ和特征向量x，是指存在一个非零向量x使得它与A的乘积等于一个常数λ与x的乘积，即A×x=λ×x，其中λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。
对于一个n阶矩阵A，它的特征值和特征向量的性质如下：（1）矩阵A的特征值是一个n阶方程x^n+c_1*x^(n-1)+…+c_n-1*x+c_n=0的根（其中c1、c2、…、cn-1、cn是常数），称之为矩阵的特征方程。
（2）n阶矩阵A最多只有n个不同的特征值，这些特征值可以是实数或复数。
（3）矩阵A的特征向量不唯一，但特征向量之间线性无关。
（4）矩阵A的特征向量组成的集合称为A的特征空间。
（5）如果一个矩阵A有n个线性无关的特征向量，则它可以被对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P-1×A×P是对角矩阵。
二、特征值和特征向量的应用1、矩阵对角化在物理学、经济学等领域，存在一些问题需要求解一个线性方程组，这时候就需要用到矩阵对角化。
将一个矩阵对角化的目的是为了易于求解行列式和行列式的幂，从而得到矩阵的特征值和特征向量，进一步计算出矩阵的各种性质。
对角矩阵比一般的矩阵要更容易求行列式和行列式的幂。
在求解线性方程组时，我们需要对系数矩阵进行对角化，转换为一个对角矩阵，然后用行列式的幂求出线性方程组的解。
这个解可以通过特征值和特征向量来表示，并且具有简单性和通用性。
2、计算矩阵的幂特征值和特征向量还可以用于计算矩阵的幂。
我们可以将矩阵A对角化，得到特征向量和特征值。
然后A的幂可以被表示为特征值的幂和特征向量的线性组合，即A^n=PD^nP-1，其中D是对角矩阵，D^n是对角线上每个元素的幂，而P是特征向量矩阵。
矩阵特征值特征向量的求法与应用
矩阵特征值特征向量的求法与应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，具有广泛的应用。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的求法以及其在不同领域的应用。
1.特征值和特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，向量x被称为该矩阵的特征向量，如果满足Ax=λx，其中λ为实数，被称为特征值。
特征向量可以通过对角化矩阵D进行求解，D是由特征值构成的对角矩阵。
2.求解特征值和特征向量的方法有多种方法可以求解矩阵的特征值和特征向量，其中最常用的是特征方程法和幂迭代法。
特征方程法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。
对于n阶矩阵A，其特征方程为det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。
解特征方程得到的λ即为矩阵的特征值，将特征值代入到(A-λI)x=0中进行求解，得到的非零解即为特征值对应的特征向量。
幂迭代法是一种迭代方法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵A的特征向量序列来逼近最大特征值。
迭代过程中，首先选取一个任意的非零向量x0，然后执行迭代计算xk=Axk-1/，Axk-1，其中，.，表示向量的2-范数，直到收敛为止。
最终得到的向量x即为最大特征值对应的特征向量。
3.特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在各个领域都有广泛的应用，以下列举了其中一些常见的应用。
（1）物理学中的量子力学中，矩阵的特征值和特征向量用于描述量子系统的能量和态。
（2）工程中的结构动力学中，矩阵的特征值和特征向量用于描述结构的固有频率和振型。
（3）图像处理中，矩阵特征值和特征向量用于图像压缩和特征提取。
（4）机器学习中，矩阵特征值和特征向量用于降维和特征选择，有助于提高模型的泛化能力。
（5）金融中，矩阵特征值和特征向量用于风险评估和资产定价模型。
4.总结矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，可以通过特征方程法和幂迭代法求解。
特征值和特征向量在各个领域具有广泛的应用，包括物理学、工程学、图像处理、机器学习和金融等。
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用
矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。
在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。
特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。
2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。
3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。
4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。
反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。
特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。
通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。
2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。
通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。
3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。
在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。
特征值与特征向量及其应用
特征值与特征向量及其应⽤⼤学学习线性代数的时候，特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）⼀直不甚理解，尽管课本上说特征值和特征向量在⼯程技术领域有着⼴泛的应⽤，但是除了知道怎么求解特征值和特征向量之外，对其包含的现实意义知之甚少。
研究⽣之后学习统计学，在进⾏主成分分析过程中，需要求解变量的协⽅差矩阵的特征值和特征向量，并根据特征值的⼤⼩确定主成分，似乎知道了特征值和特征向量的⼀点点现实意义，但是本着考试为主的态度，没有深⼊进去理解特征值和特征向量。
最近看机器学习的⼀些⽅法，如特征降维⽅法如SVD和PCA，线性判别法（Linear Discriminant Analysis，LDA）等⽅法的时候都涉及到特征值和特征向量，发现如果不深⼊理解特征值和特征向量，对这些⽅法的学习只能浮于表⾯，难以透彻理解。
痛定思痛，决定由表及⾥好好的学习⼀下特征值和特征向量，本⽂的关于特征值和特征向量的理解和表述⼤量参考了⽹上的资料，仅作为本⼈学习笔记，谢绝转载。
⼀、特征值和特征向量的概念和计算先看⼀下教科书上的定义：设A是n阶⽅阵，如果存在常数及⾮零n向量x，使得，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量。
给定n阶矩阵A，⾏列式的结果是关于的⼀个多项式，成为矩阵A的特征多项式，该特征多项式构成的⽅程称为矩阵A的特征⽅程。
定理：n阶矩阵A的n个特征值就是其特征⽅程的n个跟；⽽A的属于特征值的特征向量就是其次线性⽅程的⾮零解。
例：求的特征根和特征向量 解：，解⼀元⼆次⽅程可得，； 对应的特征向量为x满⾜，求得 对应的特征向量为x满⾜，求得⼆、特征值和特征向量的⼏何意义1、矩阵、向量、向量的矩阵变换 在进⾏特征和特征向量的⼏何意义解释之前，我们先回顾⼀下向量、矩阵、向量矩阵变换的等相关知识。
向量有⾏向量和列向量，向量在⼏何上被解释成⼀系列与轴平⾏的位移，⼀般说来，任意向量v都能写成"扩展"形式： 以3维向量为例，定义p、q、r为指向+x，+y和+z⽅向的单位向量，则有v=xp+yq+zr。
特征值特征向量的应用
特征值特征向量的应用特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，在很多领域中都有广泛的应用。
它们可以用于解决各种实际问题，例如矩阵的对角化、线性方程组的解、数据降维以及图像处理等。
1.矩阵对角化矩阵的特征值和特征向量能够将一个任意形状的矩阵转化为对角矩阵的形式。
这在很多问题中都非常有用，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂、求矩阵的逆等。
对于对称矩阵来说，特征值还具有非常重要的性质，它们是实数且可以按照大小排列，对应的特征向量也可以按照特征值的顺序排列。
这使得对称矩阵的特征值与特征向量在优化问题、最小二乘问题等中有着重要应用。
2.线性方程组的解通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以解决线性方程组的问题。
在一些情况下，特征值和特征向量的计算比直接解线性方程组更加高效。
特别是在矩阵稀疏的情况下，例如在图论、物理学、计算机科学等领域中，特征值和特征向量的方法可以有效地解决大规模线性方程组的求解问题。
3.数据降维在机器学习和数据挖掘中，如果数据维度过高，会导致计算复杂度的增加和过拟合等问题。
为了降低数据维度并保留数据信息，可以使用特征值和特征向量来实现数据降维。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，可以选择前几个最大的特征值对应的特征向量来构建低维空间。
这样可以在保留数据主要信息的同时，降低数据维度，提高计算效率。
4.图像处理在图像处理中，特征值和特征向量广泛应用于图像压缩、图像去噪和图像恢复等问题中。
通过计算图像的协方差矩阵的特征值和特征向量，可以找到图像中的主要特征，并用较少的特征向量来表示图像，从而实现图像的压缩。
同时，特征值和特征向量也可以用于图像去噪，通过去掉图像中的低频分量，可以将图像中的噪声减少。
此外，特征值和特征向量还可以用于图像恢复，通过从部分观测到的图像信息中计算特征值和特征向量，可以恢复丢失的图像信息。
总之，特征值和特征向量在线性代数和应用数学中扮演着重要的角色。
无论是在数学理论研究中，还是在工程应用中，都有广泛的应用。
特征值特征向量及其应用
特征值特征向量及其应用特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将从概念、性质、计算方法以及应用等方面详细介绍特征值和特征向量。
一、概念：在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量x，使得Ax与x方向相同，即有Ax=λx，其中λ为一个实数，x为A的特征向量，λ为对应的特征值。
特征值和特征向量总是成对出现的。
二、性质：1.特征值可重复：一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
2.特征向量线性无关：对于不同特征值所对应的特征向量，它们之间线性无关。
3.特征值分解：一个n阶方阵可以分解为特征值和对应特征向量的形式，即A=PDP^(-1)，其中P为特征向量矩阵，D为特征值对角矩阵。
三、计算方法：通常，计算特征值和特征向量可以使用以下方法：1.特征多项式法：求解矩阵的特征多项式，即，A-λI，=0，其中I为单位矩阵。
2.幂法：通过迭代的方式逼近特征向量和特征值，其基本思想是不断将矩阵A乘以向量x，并归一化，直至收敛。
3.特征值分解方法：通过计算矩阵的特征值和特征向量矩阵，进行特征值分解。
四、应用：特征值和特征向量在许多领域都有着广泛的应用，如下所示：1.特征脸识别：在计算机视觉领域，特征向量可以用于进行人脸识别，通过求解人脸图像矩阵的特征值和特征向量，可以进行人脸的分类和识别。
2.特征降维：在数据分析和模式识别领域，通过求解特征值和特征向量，可以对数据进行降维处理，从而减少数据的复杂性，并提高计算效率。
3.统计分析：特征值和特征向量在统计分析中有广泛应用，如主成分分析（PCA）和因子分析等都是基于特征值和特征向量的方法，用于变量之间的关系分析。
4.系统控制：在控制系统理论中，特征值和特征向量可以用于对系统的稳定性和动态响应进行分析和设计，从而实现对系统的控制。
5.图像处理：特征值和特征向量在图像处理中也有重要应用，如图像压缩、图像分割和特征提取等。
总结：特征值和特征向量在数学和工程领域有着广泛应用，能够从矩阵中提取出重要的信息和特征。
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
本文将介绍特征值与特征向量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，我们将方阵A的特征向量定义为非零向量v，满足Av=λv，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值与特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值与对应的特征向量。
特征向量表示了矩阵在某个方向上的拉伸或压缩效果，而特征值则表示了这个特征向量的比例因子。
特征值和特征向量的计算对于理解矩阵在线性变换中的行为非常重要。
二、特征值与特征向量的计算方法要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为待求矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
解特征方程可以得到特征值的取值。
得到特征值后，接下来需要计算对应每个特征值的特征向量。
特征向量可以通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解，其中v为特征向量的系数。
解线性方程组可以使用高斯消元法或其他数值方法。
三、特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量在矩阵对角化中的应用特征值与特征向量的计算可以将一个矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，可以简化矩阵的计算和分析过程。
2. 特征值与特征向量在物理问题中的应用在物理学中，特征值与特征向量广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，特征向量可以表示力学系统的振动模态，特征值则表示对应振动模态的频率。
3. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中具有广泛应用。
例如，在人脸识别中，可以通过计算图像数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，来提取图像的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
4. 特征值与特征向量在数据降维中的应用在机器学习中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，可以找到数据中最主要的特征，从而实现数据的降维和压缩。
特征值与特征向量的应用
特征值与特征向量的应用特征值和特征向量是线性代数的基本概念之一。
在各种应用领域中都有广泛的应用，下面就以数学、物理和工程等方面进行讲解。
数学应用：1.矩阵对角化特征值和特征向量用于矩阵对角化，即将一个矩阵分解成对角矩阵和可逆矩阵的乘积。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到对角矩阵和可逆矩阵的值。
2.矩阵的本征值分解矩阵的本征值分解常常用于PCA分析、信号处理、动态系统分析等数学领域。
通过计算一个矩阵的特征值和特征向量，可以将一个矩阵分解成多个本征向量对应的特征矩阵的函数形式。
物理应用：1.量子力学中的能量本征值和波函数在量子力学中，能量本征值和波函数也可以用特征值和特征向量表示。
通过计算一个量子体系的哈密顿量的特征值和特征向量，可以得到体系能量和波函数的值。
2.振动系统中的特征值与特征向量在振动系统中，通过计算系统的特征值和特征向量，可以得到系统的固有频率和振动模式。
这对理解物理学上的机械波和电磁波的传播等基本概念有很大的帮助。
工程应用：1.结构分析中的特征值与特征向量在结构分析中，运用特征值和特征向量可以计算出结构体系的本征频率、本征振型等。
这对于避免结构共振、改善结构材料的强度和刚度，以及预判结构的同步振动现象等具有重要的指导意义。
2.图像处理中的特征值和特征向量在图像处理中，使用特征值和特征向量可以实现图像的降维处理、特征提取、图像变形等多种功能。
例如，可以通过计算每个图像在特定空间中的特征值和特征向量，求解相邻图像之间的差异，实现图像的自动分类和识别。
综上所述，特征值和特征向量在数学、物理和工程等多个领域都应用广泛，并对这些领域的研究进展产生了不少贡献。
特征值特征向量的应用
特征值特征向量的应用
一、特征值特征向量的概念与计算方法
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，则称k为矩阵
A的特征值，x为对应的特征向量。
计算矩阵的特征值和特征向量可以使用求解矩阵的本征方程来实现。
二、物理学中的应用
在物理学中，特征值和特征向量被广泛应用于力学、电学、光学等领域。
例如，在力学中，通过计算刚体的惯性张量的特征值和特征向量，可以得到刚体绕着主轴旋转时的角速度和角动量。
在电学中，通过计
算电路矩阵的特征值和特征向量，可以得到电路稳定性等信息。
三、图像处理中的应用
在图像处理领域中，利用矩阵分解技术求解图像的主成分分析（PCA）问题时常使用到了特征值和特征向量。
通过将图像数据转换为一个矩阵，并对其进行奇异值分解（SVD），可以得到矩阵的特征值和特征
向量，从而实现图像压缩、去噪等操作。
四、机器学习中的应用
在机器学习领域中，特征值和特征向量被广泛应用于数据降维、分类、聚类等问题。
例如，在支持向量机（SVM）算法中，通过计算数据矩
阵的特征值和特征向量，可以得到最优超平面以实现数据分类。
在聚
类算法中，通过计算数据矩阵的特征值和特征向量，可以将高维数据
降为低维空间以便进行聚类。
五、结语
总之，特征值和特征向量是一种非常重要的数学工具，在各个领域都
有广泛的应用。
掌握这些概念并能够熟练地运用它们来解决实际问题
是非常有意义的。
高考数学知识点速记特征值与特征向量的应用
高考数学知识点速记特征值与特征向量的应用高考数学知识点速记：特征值与特征向量的应用在高考数学中，特征值与特征向量是一个重要的知识点，其应用广泛且具有一定的难度。
理解并掌握它们的应用，对于解决许多数学问题至关重要。
首先，让我们来明确一下特征值与特征向量的基本概念。
对于一个给定的矩阵 A，如果存在一个非零向量 x 和一个实数λ，使得 Ax ＝λx，那么λ 就称为矩阵 A 的特征值，向量 x 就称为矩阵 A 对应的特征向量。
特征值与特征向量在很多领域都有重要的应用，下面我们来具体探讨一下在高考中常见的几个方面。
一、矩阵的相似对角化若一个矩阵 A 可以相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP为对角矩阵，那么这个过程中就需要用到特征值和特征向量。
通过求解矩阵 A 的特征值和特征向量，可以得到可逆矩阵 P 和对角矩阵。
例如，给定一个矩阵 A，我们先求出其特征值λ₁，λ₂，，λₙ，然后对于每个特征值λᵢ，求解对应的线性方程组（A λᵢI)x ＝ 0，得到特征向量 xᵢ。
将这些特征向量组成矩阵 P，就可以实现矩阵的相似对角化。
二、二次型的标准化在二次型的问题中，通过特征值和特征向量可以将二次型化为标准形。
比如，对于一个二次型 f(x₁, x₂,， xₙ) ＝ xᵀAx，其中 A 是对称矩阵。
先求出 A 的特征值和特征向量，然后利用正交变换 x ＝ Py，将二次型化为标准形 f ＝λ₁y₁²＋λ₂y₂²＋＋λₙyₙ²。
三、线性变换的简化在研究线性变换时，特征值和特征向量可以帮助我们简化问题。
假设 T 是一个线性变换，若知道了它的特征值和特征向量，就可以很容易地确定 T 在某些方向上的作用效果。
四、求解线性方程组在某些线性方程组的求解中，特征值和特征向量也能发挥作用。
例如，对于形如 Ax ＝ b 的线性方程组，如果 A 的特征值和特征向量已知，有时可以通过巧妙的变换和利用特征值与特征向量的性质来求解。
特征值和特征向量
特征值和特征向量(英文名：eigenvalue 和 eigenvector)是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛应用。
本文将介绍它们的定义、性质和应用。
一、的定义设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 是标量，$v$ 是 $n$ 维非零向量。
如果存在非零向量 $v$，使得 $Av=k v$，即 $A$ 作用在 $v$ 上的结果是 $v$ 的倍数 $k$，则称 $k$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是$A$ 的相应于特征值 $k$ 的特征向量。
例如，对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$，如果存在向量 $v=(1,1)^T$，使得 $Av=7v$，则 $7$ 是 $A$ 的一个特征值，$v$ 是 $A$ 的相应于特征值 $7$ 的特征向量。
由定义可知，任何 $n$ 阶矩阵都有 $n$ 个特征值，但不一定有$n$ 个不同的特征值，因为可能存在重复的特征值。
每个特征值都对应一个特征向量，但一个特征向量未必对应唯一的特征值。
二、的性质1. 特征值的求法特征值可以通过求解 $A-\lambda I$ 的行列式为 $0$ 得到，其中$I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是未知特征值。
设 $k$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，则有 $|A-\lambda I|=0$，即$\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-\lambda\end{vmatrix}=0$展开行列式后得到关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，称为$A$ 的特征多项式。
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用
矩阵的特征值和特征向量的性质和应用矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质和应用，包括如何求解特征值和特征向量、它们代表什么、它们的几何意义与应用。
一、矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量是矩阵A与具有相同列数的列向量x 相乘后，得到的仍是x的常数倍的非零列向量x所对应的特征值及其对应特征向量。
数学上，若矩阵A在向量x作用下相当于在x方向上只进行了伸缩，即Ax=λx；（式1）其中，λ表示特征值，x表示特征向量。
在式1中，右边的量可以看作把x向量伸缩λ倍，故特征向量x在矩阵作用下只是尺度改变，即特征向量具有确定的方向。
而特征值λ则表示向这个方向的伸缩倍数。
矩阵A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，并对应于n个线性无关的特征向量x1，x2，…，xn。
这n个特征向量可以构成向量空间，且这个向量空间是矩阵A的不变子空间，称为A的特征空间。
二、矩阵的特征值和特征向量的求解对于一个n阶方阵A，要求它的特征值和特征向量，可以通过以下步骤：（1）解出特征方程将矩阵A与单位向量x相乘，得到Ax = λx移项得到(A-λE)x = 0其中，E为n阶单位矩阵，0为列全为0的列向量。
在矩阵A减去λE之后，可以用高斯消元法求出矩阵(A-λE)的秩rank，进而解出λ的值。
由于(A-λE)是一个n阶矩阵，因此可以求得n个特征值。
（2）求解特征向量对于每个特征值λi，构造矩阵(A-λiE)，对于矩阵(A-λiE)，对其进行高斯消元，得到对应的行阶梯形矩阵，这个矩阵的主元位置对应了基础解系的数量。
找出自由未知量，求解出特征向量x。
三、矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域得到了广泛的应用，例如：线性代数、物理学、机器学习、图像处理、信号处理等等。
1. 线性代数特征值和特征向量在线性代数中被广泛应用。
在矩阵论中，矩阵的对角化涉及到特征向量和特征值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation目 录摘 要....................................................................................................................................... I Abstract .. (II)1 引 言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 本文研究目的及意义 (2)2 特征值与特征向量 (3)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系 (3)3 特征值与特征向量的解法 (5)3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)3.2 列行互逆变换法 (6)3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)4.5.2 应用举例 (25)4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)总 结 (30)参考文献 (31)致 谢 (32)1 引言1.1研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB 实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设．ℜ是数域．．．P 上的线性空间．．．．．V 的一个线性变换．．．．．．．，如果对于数域．．．．．．P 中一数．．．0λ，存在一个非零向量．．．．．．．．ξ，使得．．0ξλξℜ=那么．．0λ称为．．ℜ的一个．．．特征值．．．，而．ξ称为．．ℜ的属于特征值．．．．．．0λ的一个．．．特征向量．．．．. 2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量X ，使得0RX X λ=成立，则称0λ为R 的特征值，X 是R 的对应特征值0λ的特征向量.性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,n x x x ，则12,,,n x x x 线性无关．性质4 若()ij n n R r ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则 121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=． 性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质 6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系定理：设12,,,n εεε是(),V p n 的一组基()L V ℜ∈,()()1212,,,,,,n n R εεεεεεℜ= 1）ℜ的特征值0λ必是R 的特征值，ℜ的属于0λ的特征向量1122n n x x x ξεεε=+++，则()12,,,n x x x 必是R 的属于特征值0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，且0λ∈P ，则0λ是ℜ的一个特征值.若()12,,,n x x x 是R 的一个属于特征值0λ的一个特征向量，则1122n n x x x ξεεε=+++是ℜ的一个属于0λ的特征向量.证明：1）设0λ是ℜ的特征值，于是有ξ≠0使得0ξλξℜ=，其中0λ∈P ，设1122n n x x x ξεεε=+++，则()12112212,,,n n n n x x x x x R x ξεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ℜ=ℜ+ℜ++ℜ ⎪ ⎪⎝⎭ = ， 又0ξλξℜ=，所以有()()112212120,,,,,,n n n n x x x x R x x εεεεεελ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 由他们的坐标列相等可得 ()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其次线性方程组()00E R X λ-=有非零解，于是00E R λ-=，故0λ是R 的特征多项式的根，即0λ是R 的特征值，从而ξ的坐标是R 的属于0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，0λ∈P ，且00E R λ-=，于是()00E R X λ-=有非零解，()120,,,n n x x x ≠∈P ，令n n x x x V ξεεε≠=+++∈11220，()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11220=n n x x x x R x x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是0ξλξℜ=，故0λ是ℜ的一个特征值，且ξ是ℜ的属于0λ的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:a ≠0是A 的属于λ的特征向量 因为Aa a λ=所以a 是齐次线性方程组()0E A x λ-=的非零解，所以λ是特征方程()0A f E A λλ-=的根。