应用三角形内角和定理和推论解题例析

应用三角形角和定理及其推论解题例析

三角形角和定理：三角形三个角和等于180°。 推论1：直角三角形的两个锐角互余；

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的角。

以上关于三角形的角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。 一、求角度的大小

例1：在△ABC 中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。

解：依题意，不妨设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，因此由三角形的角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。

例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_______。

图1 图2

解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC 中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.

例3：如图2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，DE⊥AB 于E ，交AC 于D 。若∠B=53°，则∠CDE=_______.

解：∵△ABC 是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。

再由三角形角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。 二、求多角的和

例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A、∠B、∠C、∠D、∠E)的和为（） A.50° B.100° C.180° D.200°

B

C

D 1 1

B

C

D

A

E

A

图3 图4

解：由推论2知，∠2=∠B+∠D，∠1=∠C+∠E；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C 。

例5：如图4，已知∠A=60°，求∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。 解：由题设可知，∠B+∠C=180°-∠1，∠D+∠E=180°-∠2， ∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-(∠1+∠2） ∵∠1+∠2=180°-∠A=120°,

∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-120°=240°. 三、求角的取值围

例6：如图5，在△ABC 中，∠A>∠B>∠ACB，延长AC 到D ，求∠BCD 的取值围。

图5 图6 解：∵∠A>∠ACB，∠B>∠ACB，∴∠A+∠B>2∠ACB,

∵∠A+∠B=180°-∠ACB，∴180°-∠ACB>2∠ACB, ∴∠ACB<60° ∵∠BCD+∠ACB=180°, ∴∠BCD>120°, ∴120°<∠BCD<180°. 四、证角相等

例7：如图6，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C。

析与证：由于在已知图形中没有三角形，因此要想利用三角形角和定理及其推论证明结论成立，必须添加辅助线，构成证题所需的三角形。

连结AD 并延长到E ，如图6中所示，则有∠BDE=∠BAD+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C， ∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C。

A A B

C

D

E

1 2

B

C D

E

1 2

A

B

C D

B

C

D

E

A

五、证角不等

例8：如图7，已知P 是△ABC 的任意一点，求证：∠BPC>∠A。

图7 图8

析与证：为了使∠BPC 与∠A 有联系，可延长BP 交AC 于D ，于是由推论3知，∠BPC>∠PDC, 而∠PDC>∠A，故∠BPC>∠A。 六、判断三角形的形状

例9：在△ABC 中，∠A=

21∠B=3

1

∠C，试判断三角形的形状。 解：∵∠A=21∠B=3

1

∠C，∴∠B=32∠C，

又∠A+∠B+∠C=180°，∴31∠C+3

2

∠C+∠C=180°,

∴∠C=90°, ∴△ABC 为直角三角形。 七、解实际问题

例10：一个零件的形状如图8所示，按规定∠A 应等于90°，∠B 和∠C 应分别是 32°和21°。检验工人量得∠BDC=148°，就可以确定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零不合格的理由。

解：根据三角形角和定理及其推论，可连结AD ，并延长到E 。 ∵∠CDE=∠CAD+∠C，∠BDE=∠DAB+∠B， ∴∠CDB=∠CAD+∠DAB+∠B+∠C。

如果零件合格，那么∠CDB=90°+32°+21°=143° 现量得∠CDB=148°，所以零件不合格。 练习：

⒈在△ABC 中，∠A -∠B=∠B -∠C=20°，求∠A、∠B、∠C 的度数。 ⒉在△ABC 中，∠A+∠C=2∠B，求∠B 的度数。

⒊如图1，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_____。

A A

B

P

D

B

C

D

E

图1 图2

⒋如图2，已知AB∥CD，求∠A+∠C+∠AEC 的度数。 参考答案

1、∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°；

2、∠B=60°；

3、∠BDC=80°；

4、360°。

B

C

D 1 2

C

A

B

E

D