最新沪教版初中数学第十九章-几何证明
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证明：假设 、 、 中有两个角是直角,不妨设 ,则
.
这与三角形三内角和定理矛盾,所以 不成立.
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
（3）证明举例（二）
【知识要点】
知识点1 添辅助线
由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.
【典型例题】
【例1】 如图1,已知 为等边三角形,延长 到 ,延长 到 ,使 ,连接 、 .
求证： .
【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.
【解答】 延长 至 ,使 ,连接 .
“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。
【分析】 证明一个命题是假命题的关键是举反例,只要举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子就可以了.
【解答】证明： 是无理数, 也是无理数,而 是有理数.
“两个无理数的积是无理数”是假命题.
（2）证明举例（一）
【知识要点】
知识点1 证明的步骤
（1）判断一个命题是真命题：要经过证明.
证明是一个推理过程,是一个严密而有条理的合理的推理过程,证明过程一定要步步有理有据.
（2）判断一个命题是假命题：只要举出一个反例.
知识点2 反证法
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立.
（2）归谬：从这个假设出发,运用正确的推理方法,得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果.
（3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
【典型例题】
【例1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】 延长 到点 ,使 ,连接 .
在 和 中
（已知）
（对顶角相等）
（已知）
（全等三角形的对应边、对应角）相等）.
（已知）
（等边对等角）
又 （对顶角相等）
（等量代换）
（等角对等边） 图2
（等量代换）
【例3】 如图3,已知 中, 是 的角平分线, .
【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等.利用两三角形全等的方法进行证明.证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可写在每一步后的括号里.
【解答】 已知：如图1,在 中,
, 是 的平分线, 是
的平分线.求证：
证明： （已知）
（等边对等角）
（已知）
（等式性质） 图1
【例2】 指出下列命题的题设与结论,并改写成如果 ,那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
【分析】 命题一般都可以分离出“题设”与“结论”两个部分,通常以“如果 ,那么 ”的形式来表示.“如果”后面的是题设,“那么”后面是结论.
【解答】 （1）题设：两个三角形是全等三角形;
在 与 中
（已证）, , （已证）
（全等三角形对应边相等）.
【例2】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
【分析】 首先假设结论“ 、 、 中不能有两个叫是直角”不成立,即它的反面“ 、 、 中可以有两个叫是直角”成了,然后,从这个假设出发推理得出矛盾.
【解答】 已知：
求证： 、 、 中不能有两个叫是直角.
知识点2 命题
（1）能判断它是正确或错误的句子叫做命题.如实反映事物情况的命题是真命题;没有如实反映事物情况的命题是假命题.
（2那么 ”的形式来表示.
知识点3 定义
能界定某个对象含义的句子叫做定义.
知识点4 公理
某些真命题由人们经长期的实践得出,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样 的真命题叫做公理.
硕博教育辅导讲义
学员编号：年级：八年级课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：丁老师
课题
第十九章几何证明
授课时间：
备课时间：
教学目标
（1）理解命题,定义,公理,定理的概念;
（2）熟练判断真假命题以及举例证明.
（3）掌握证明的步骤以及理论依据;
（4）会用反证法进行证明.
（5）掌握证明的步骤以及理论依据;
求证： .
【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的.
【解答】 延长 到 ,使 ,连接 .
是等边三角形
（等式性质）
即
又
为等边三角形.
图1
即
在 和 中
【例2】 如图2,已知在 中, 是中线, 交 于点 , .
求证： .
（4）今天可能是小王的生日.
【分析】本题是概念判断题,要牢记命题是能判断它是正确或错误的语句.
【解答】（2）、（4）不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题,没有如实反映事物情况的命题是假命题.
（6）会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化
重点、难点
授课方法
联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高
教学过程
2、探索研究
第1讲 几何证明
（1）命题和证明
【知识要点】
知识点1 演绎证明
演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法.演绎证明是一种严格的数学证明,是我们学习的证明方式.演绎证明也称为证明.
知识点5 定理
同时满足以下两个条件的真命题成为定理：
（1）其正确性可通过公理或其他命题逻辑推理得到;
（2）其又可以作为判断其他命题真假的依据.
【典型例题】
【例1】 判断下列语句是不是命题,如果是,则判断其真假.
（1）三角形的一个外角大于三角形的每一个内角;
（2）在直线 上取一点 ;
（3）凡直角,皆相等;
结论：两个三角形的对应边相等;
如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形对应边相等.
（2）题设：两条直线都平行于同一条直线;
结论：这两条直线平行;
如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线平行.
【注】有一些命题的语句是省略型的,一定要先把它补充完整,才能分出题设与结论.
【例3】 证明：命题“两个无理数的积是无理数”是假命题.
.
这与三角形三内角和定理矛盾,所以 不成立.
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
（3）证明举例（二）
【知识要点】
知识点1 添辅助线
由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.
【典型例题】
【例1】 如图1,已知 为等边三角形,延长 到 ,延长 到 ,使 ,连接 、 .
求证： .
【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.
【解答】 延长 至 ,使 ,连接 .
“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。
【分析】 证明一个命题是假命题的关键是举反例,只要举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子就可以了.
【解答】证明： 是无理数, 也是无理数,而 是有理数.
“两个无理数的积是无理数”是假命题.
（2）证明举例（一）
【知识要点】
知识点1 证明的步骤
（1）判断一个命题是真命题：要经过证明.
证明是一个推理过程,是一个严密而有条理的合理的推理过程,证明过程一定要步步有理有据.
（2）判断一个命题是假命题：只要举出一个反例.
知识点2 反证法
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立.
（2）归谬：从这个假设出发,运用正确的推理方法,得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果.
（3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
【典型例题】
【例1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】 延长 到点 ,使 ,连接 .
在 和 中
（已知）
（对顶角相等）
（已知）
（全等三角形的对应边、对应角）相等）.
（已知）
（等边对等角）
又 （对顶角相等）
（等量代换）
（等角对等边） 图2
（等量代换）
【例3】 如图3,已知 中, 是 的角平分线, .
【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等.利用两三角形全等的方法进行证明.证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可写在每一步后的括号里.
【解答】 已知：如图1,在 中,
, 是 的平分线, 是
的平分线.求证：
证明： （已知）
（等边对等角）
（已知）
（等式性质） 图1
【例2】 指出下列命题的题设与结论,并改写成如果 ,那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
【分析】 命题一般都可以分离出“题设”与“结论”两个部分,通常以“如果 ,那么 ”的形式来表示.“如果”后面的是题设,“那么”后面是结论.
【解答】 （1）题设：两个三角形是全等三角形;
在 与 中
（已证）, , （已证）
（全等三角形对应边相等）.
【例2】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
【分析】 首先假设结论“ 、 、 中不能有两个叫是直角”不成立,即它的反面“ 、 、 中可以有两个叫是直角”成了,然后,从这个假设出发推理得出矛盾.
【解答】 已知：
求证： 、 、 中不能有两个叫是直角.
知识点2 命题
（1）能判断它是正确或错误的句子叫做命题.如实反映事物情况的命题是真命题;没有如实反映事物情况的命题是假命题.
（2那么 ”的形式来表示.
知识点3 定义
能界定某个对象含义的句子叫做定义.
知识点4 公理
某些真命题由人们经长期的实践得出,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样 的真命题叫做公理.
硕博教育辅导讲义
学员编号：年级：八年级课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：丁老师
课题
第十九章几何证明
授课时间：
备课时间：
教学目标
（1）理解命题,定义,公理,定理的概念;
（2）熟练判断真假命题以及举例证明.
（3）掌握证明的步骤以及理论依据;
（4）会用反证法进行证明.
（5）掌握证明的步骤以及理论依据;
求证： .
【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的.
【解答】 延长 到 ,使 ,连接 .
是等边三角形
（等式性质）
即
又
为等边三角形.
图1
即
在 和 中
【例2】 如图2,已知在 中, 是中线, 交 于点 , .
求证： .
（4）今天可能是小王的生日.
【分析】本题是概念判断题,要牢记命题是能判断它是正确或错误的语句.
【解答】（2）、（4）不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题,没有如实反映事物情况的命题是假命题.
（6）会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化
重点、难点
授课方法
联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高
教学过程
2、探索研究
第1讲 几何证明
（1）命题和证明
【知识要点】
知识点1 演绎证明
演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法.演绎证明是一种严格的数学证明,是我们学习的证明方式.演绎证明也称为证明.
知识点5 定理
同时满足以下两个条件的真命题成为定理：
（1）其正确性可通过公理或其他命题逻辑推理得到;
（2）其又可以作为判断其他命题真假的依据.
【典型例题】
【例1】 判断下列语句是不是命题,如果是,则判断其真假.
（1）三角形的一个外角大于三角形的每一个内角;
（2）在直线 上取一点 ;
（3）凡直角,皆相等;
结论：两个三角形的对应边相等;
如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形对应边相等.
（2）题设：两条直线都平行于同一条直线;
结论：这两条直线平行;
如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线平行.
【注】有一些命题的语句是省略型的,一定要先把它补充完整,才能分出题设与结论.
【例3】 证明：命题“两个无理数的积是无理数”是假命题.