材料力学期末复习总结刘鸿文版
刘鸿文版材料力学总复习期末
A B
C
o
答案： A，B，C，C
3.两端固定的阶梯杆如图所示，横截面面积 A2 2 A1 ， 受轴向载荷P后，其轴力图是（ ）。 A2 A1 B P A
x
l
N
P 2
P 2
l
N
x
P 3
P
x
P
A
N
2P 3
B
N
x
x
C
答案：
C
D
选择题
3、材料的力学性质：
三、扭矩图、应力强度计算与刚度计算 判断、大计算2
3、扭转应力分布：圆轴扭转时横截面内只有垂直于半径的切 应力，切应力呈线形分布，与扭矩的转向一致，离圆心越远的 点切应力越大。 （1）分布规律：
Mechanic of Materials
（空心截面）
（实心截面）
T IP
三、扭矩图、应力强度计算与刚度计算 判断、大计算2
D/2 D/2
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
IP Wt 32 D/2 D/2
( D4 d 4 )
d4 3 d4 ( D ) D (1 4 ) D 3 (1 4 ) 16 D 16 D 16
3
三、扭转扭矩图、应力强度计算与刚度计算
大计算2
例3：传动轴转速n=300r/min,主动轮A输入功率PkA=400kW， 三个从动轮输出功率PkB= PkC=100kW，PkD=200kW。若
五、弯曲
2、梁的内力图――剪力图和弯矩图
（2）FS、 M图的走向、形状（总体来说：零平斜，平斜弯） ①有无均布载荷段，剪力图均是直线。无均布载荷段，剪
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。
（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】
图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
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平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1．三向应力圆 如图 7-1-4 所示，以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆， 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆，如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意：作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1．解析法 如图 7-1-1（a）所示，一单元体 abcd 处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象，如图 7-1-1（b）所示。
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图 7-1-3（a）
图 7-1-3（b） ③求主应力数值和主平面位置 a．求主应力数值的方法 如图 7-1-3（b）所示，点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力，其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀 分布；②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中，单元体上切应力为零的面称为主 平面，主平面上的正应力称为主应力。 说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 （1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例：简单的拉伸或压缩。 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 （3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力 σ1、 σ2、σ3，均不等于零。
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所示。
表 9-1-2
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（2）关于欧拉公式的讨论 ①相当长度 μl 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 μl，它是各种支承条件下， 细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。 ②横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端 在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为其相应中性轴的惯性矩。 三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念
图 9-1-1
选取坐标系如图 9-1-1 所示，距原点为 x 的任意截面的挠度为 w，则弯矩 M＝－Fw。
根据压杆变形后的平衡状态，得到杆的挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M EI
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通过对该方程的求解可得到使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力，即两端铰支细长压杆 临界力为
π 2 EI Fcr l 2
上述计算公式称为两端铰支压杆的欧拉公式。
2．欧拉公式的普遍形式
Fcr
π 2 EI
l 2
式中，μl 为相当长度；μ 为长度因数，与压杆的约束情况有关；I 为横截面对某一形心
主惯性轴的惯性矩。
（1）各种支承情况下等截面细长压杆的长度因数及临界压力的欧拉公式，如表 9-1-2
对比项目 平衡状态
应力 平衡方程 极限承载能力
强度问题 直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸
实验确定
稳定问题 平衡形式发生变化
可能小于限值 变形后的形状、尺寸
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第1章绪论1.1 复习笔记一、材料力学的任务1．强度要求在规定载荷作用下构件不发生破坏，即构件应具有足够的抵抗破坏的能力。
2．刚度要求构件应具有足够的抵抗变形的能力。
其中变形是指在外力作用下，固体的尺寸和形状发生变化。
3．稳定性要求构件应具有足够的保持原有平衡形态的能力。
因此，材料力学的任务是为设计满足材料强度、刚度和稳定性的经济且安全的构件提供理论基础和计算方法。
二、变形固体的基本假设1．连续性假设组成固体的物质不留空隙的充满了固体的体积，即固体在整个体积内是连续的。
2．均匀性假设固体内各部分力学性能相同。
3．各向同性假设无论沿任何方向，固体的力学性能是相同的，且将具有这种属性的材料称为各向同性材料，将沿各个方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。
三、基本概念1．外力及其分类外力是指来自构件外部作用于构件上的力。
（1）按外力作用方式划分①表面力：作用于物体表面的力，又可分为分布力和集中力。
②体积力：连续分布于物体内部各点的力，如物体的自重和惯性力等。
（2）按载荷随时间的变化情况划分①静载荷：载荷缓慢的由零增加为某一定值后即保持不变，或变动很不显著。
②动载荷：载荷随时间而变化，其中随时间作周期性变化的动载荷为交变载荷，物体的运动在瞬时内发生突然变化所引起的动载荷称为冲击载荷。
2．内力及其求解内力是指物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”。
通常采用截面法求解内力，即用截面假想的把构件分为两部分，以显示并确定内力的方法。
具体求解步骤如下： （1）截开：沿着所求截面假想地将构件分为两部分，任意的取出一部分作为研究对象，并弃去另一部分；（2）代替：用作用于截面上的内力代替弃去部分对取出部分的作用；（3）平衡：建立取出部分的平衡方程，确定未知内力。
3．应力与应变（1）应力由外力引起的内力集度，单位为Pa 或MPa ，1MPa ＝106Pa ，1Pa ＝1N/m 2。
单位面积上的平均内力集度称为平均应力，用p m 表示，即p m ＝ΔF/ΔA当面积ΔA 趋于0时，p m 的大小和方向都将趋于一定极限，即为该点处的应力p ，也即00lim lim m A A F p p A∆→∆→∆==∆ p 是一个矢量，通常将其分解为垂直于截面的分量σ（称为正应力）和平行于截面的分量τ（称为切应力）。
材料力学总复习刘鸿文 第五版
M
x
x
征 递增
递减
M2
M2 M1 m
盆状
伞状
五、应力应变分析
规定：：使单元体受拉为正，压为负；
t ：绕单元体顺时针转为正，逆为负；
y
：由x轴向截外面法线转，逆正顺负。
1、任意斜截面上的应力：
x
y
2
x
y
2
cos 2
t xy sin 2
t
x
y
2
sin 2
t xy cos 2
2、主应力及极值剪应力：
利用对称及反对称性质降低静不定次数
MM Fs
FN FN Fs
在对称结构上,作用对称载荷时, 对称轴横截面上的剪力(反对 称内力)为零,只有轴力,弯矩（对称内力） 在对称结构上,作用反对称载荷时, 对称轴横截面上的轴力,弯矩 (对称内力) 为零,只有剪力（反对称内力）
2-26、已知EA,F1，F2，求：总伸长，总应变能。
PC x
a
1C
M (x) Px M (x) x
x
a M (x)M (x)
a Px2
Pa3
a st 0
EI
dx 0
dx EI 3EI
A
A
P
v
a
B C
l
A
st max
Pa W
st
Pa 3 3EI
动荷系数：Kd
l EA
l GIp
十一、超静定问题
l EIz
l P EI y
X1——多正余则约方束反程力：；11X1 1F 0
A l 2
C l 2
B
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的
在X1作用点沿 X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1 A
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图 6-1-3
（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的，
所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了（x－a）的项；
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图 6-1-1
2．挠曲线微分方程
（1）由纯弯曲变形和横力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式
1
x
M x
EI
并根据数学计算得挠曲线的微分方程
d2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M x
确定的挠度和转角，在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。
三、用叠加法求弯曲变形
1．叠加原理
梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项载荷（可以是集中力，集中力偶
或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一载荷单独作用下该截面的挠度和转角
的叠加。当每一项载荷所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向），其转角是在同一平面
（2）对（x－a）的项作积分时，应该将（x－a）项作为积分变量，从而简化了确定积
分常数的工作；
（3）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（4）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（5）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应
作为分段点；
（6）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一
内（如均在 xy 平面内）时，则叠加就是代数和，即
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（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
材料力学复习总结
《材料力学》第五版刘鸿文 主编第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图:注意要标明轴力的大小、单位和正负号.二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负.注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式:N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角. 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2。
设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式:E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线,知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ,弹性极限e σ)、屈服阶段(屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ)和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线.九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
材料力学总复习重点 刘鸿文版本共47页
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲
以轴线变弯为主要变形特征的变形形式称为弯曲，以弯曲为 主要变形的杆件称为梁。
4.2 梁的计算简图与分类
（1）在分析梁的内力与变形时，通常以梁的轴线代替梁。 （2）梁承受的载荷通常有哪些？ （3）梁的支座通常可以简化为哪三种形式？ （4）支座反力可以由静力平衡方程求解的梁称为静定梁，静定 梁的基本形式哪三类？ （5）静不定梁的定义？
σ
y
x 2 y x 2 y c2 o x s s y2 i n
α
τxy
σ
x
x2 ys2 i n xc y o 2 s
图解法求斜截面上的应力
1、绘制应力圆的方法
y
y
B
σx
A
x
O
c
a(x ,x)
b(y ,y) R
xC
2、根据三个对应关系求出方位角为α的斜截面上的应力 。
式中C、D为积分常数，由梁的边界和连续条件确定。
练习：确定图示简支梁的边界条件与连续条件
M
A
B
C
l/2
l/2
x0 xl
x l/2
wA 0
wB 0
w w C , A C
C ,CB
W’C,AC=W’C,CB
边界条件 连续条件
6.4 计算梁与刚架位移的叠加法（非考试重点）
（1）载荷叠加法：在线弹性与小变形条件下，结构作用多个载 荷时，任意横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面 引起的位移的代数和或矢量和。
7.3 极值应力与主应力 （1）平面应力状态的极值应力 ①最大与最小正应力分别为:
②最大与最小应力所在截面方位角:
③最大与最小切应力分别为:
（2）主应力、主平面及主单元体的概念 主平面？ 主应力？ 主单元体？
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材料力学期末复习总结（刘鸿文第五版）第一章绪论构件需满足的三个条件1强度要求构件有足够的抵抗破坏的能力2刚度要求构件有足够的抵抗变形的能力3稳定性要求构件有足够的保持原有平衡的能力材料力学的任务：在满足强度、刚度、和稳定性要求的前提下，为设计及经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。
变形固体的四个基本假设1连续性假设2均匀性假设3各向同性假设4小变形性假设截面法的三个步骤：1截开：用一个假想截面将构件一分为二2代替：任取一部分，用相应的内力代替弃去的部分3平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据己知外力来求未知内力构件变形的四个基本形式1拉伸或压缩2剪切3扭转4弯曲拉伸、压缩、剪切和扭转、弯曲的基本公式扭转M e =9.55^ = 7-n n轴力F N符号扭矩T 符号剪力F s符号弯矩M 符号F N =截面一侧所有的外力（不含力偶）沿轴线方向投影的代数和拉为正压为负T=截面一侧所有绕轴线转动的外力偶的代数和右手螺旋法则F s =截面一仅!所有的外力（不含力偶）沿截面方向投影的代M =截面一侧所有的外力（含力偶）对截面形心力矩的祀数轴向拉伸或压缩半面弯曲_ Ip用Pmax 16-Iz矩形^max_bh2 _ 6Q门4、= ------ (1 — Q )16圆形勿332w z =兀D'32(1-。
4)刚度计算=T180 r ,i腭X <[(p\(jrl p 71vv < [vv] 述]弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征无荷载作用均布荷载q集中力F集中力偶mq> 0 t q< 0 1F向上t F向下1m顺时针m逆时针件图特征水平直线斜直线突变（突变值为F）无影响向上斜向下斜向上突变向下突变M图特征斜直线二次抛物线尖角突变（突变值为m）向上凸向下凸尖角向上尖角向下向下突变向上突变M肿J能产生的位置1.伦=0所在截面；2.集屮力F作用截而；3.集中力偶m作用截面。
材料力学 知识点总结 刘鸿文主编
=
Fa l
(l
−
x)
(a ≤ x ≤ l)
b
B
FB
FS (x )
=
Fb l
(0 < x < a)
M (x) = Fb x (0 ≤ x ≤ a)
l
M(x) CB段 B
FS(x)
FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
x
C
FA
l
Fb
FS
l
Fb l
M
FS1 (x) =
Fb l
B
FS2
(x)
=
−
Fa l
FB
M1(x)
FAY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
FBY
=
Fa , l
FAY
=
F(l − a) l
材料力学
②求内力
FAX A
m
F B
FAY
m
FBY
x
A FAY
Fs
C
M
Fs
M C
F FBY
∑Y = 0, FAY − Fs = 0
Fs
=
FAY
=Leabharlann F(l − a) lFs －剪力，平行于横截面 的内力系的合力。
∑ M C = 0, M − FAY x = 0
跨长——梁在两支座间的长度。
材料力学 §4-3 剪力和弯矩
一、弯曲内力的确定（截面法）：
a A
[例] 已知：如图，F，a，l。
F 求：距A端 x 处截面上内力。
B 解：①求外力（支座反力）
l
∑ X = 0 , ∴ FAX = 0
FAX A
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题及考研真题详解(13-15章)【圣才出品】
一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为 F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单位力单独作
＿
＿
＿
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、M（x）和T（x），并将已知外力作
用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
=
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
+
F
2
1 4
l
2E
d 2
2
=
7F 2l 8 Ed
2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
7 / 209
的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
5 / 209
对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
材料力学期末重点
本材料配合《材料力学》第六版 刘鸿文 1. 轴力：拉正压负轴力图：截面法i.截面法求轴力，截面不取在力的作用点位置 ii.轴力与截面尺寸无关iii.选取受力比较简单的一侧作为研究对象2. 拉压杆的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。
所以必须求出横截面任意点的应力，以反映杆的受力程度。
3. NF Aσ=，F N 是截面上的轴力；A 是横截面的面积；σ是横截面上的正应力。
4. 斜截面上的应力：正应力：切应力：可见，横截面上正应力最大，45°的截面上切应力最大，其最大值等于最大正应力的二分之一。
5. 拉压实验：低碳钢拉伸曲线的四个阶段：i.弹性阶段：变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复。
σp 比例极限，σe 弹性极限 ii.屈服阶段：应力变化很小，变形增加很快，卸载后变形不能完全恢复，属于塑性变形。
应力在试件表面出现与轴线成45°的滑移线。
屈服阶段应力的最小值，称为屈服极限σs iii.强化阶段：要继续增加变形，须增加拉力，材料恢复了抵抗变形的能力，此时出现了弹性变形和塑性变形。
强化阶段应力的最大值，称为强度极限σb iv. 局部变形阶段：出现颈缩现象。
脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。
6. 失效与许用应力：，公式用于：（1）强度校核；（2）截面设计；（3）确定许用载荷 例1.强度校核ασσα2cos =αστα2sin 2=[]Nmax F A σσ=≤已知：[σ]=160MPa ，A 1=300mm 2 ，A 2=140mm 2，试校核强度。
a.作轴力图b.强度校核 例2、3.截面设计 教材习题2.7、2.10 例4、5.确定许用载荷已知：A AB =50mm 2，A BC =30mm 2 ，[σ]AB =100MPa ，[σ]BC =160MPa ，求结构的许可载荷[P ]。
取铰B 为研究对象列静力学方程，再运用公式进行校核。
教材习题2.12 7. 拉压杆的变形：轴向变形：由材料的拉伸试验，在线弹性阶段有：、，其中二式中分母EA 称为杆件的抗拉刚度。
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材料力学期末复习总结（刘鸿文第五版）
第一章绪论
构件需满足的三个条件
1 强度要求构件有足够的抵抗破坏的能力
2 刚度要求构件有足够的抵抗变形的能力
3 稳定性要求构件有足够的保持原有平衡的能力
材料力学的任务：在满足强度、刚度、和稳定性要求的前提下，为设计及经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。
变形固体的四个基本假设
1 连续性假设
2 均匀性假设
3 各向同性假设
4 小变形性假设
截面法的三个步骤：
1 截开：用一个假想截面将构件一分为二
2 代替：任取一部分，用相应的内力代替弃去的部分
3 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据已知外力来求未知内力
构件变形的四个基本形式
1 拉伸或压缩2剪切3扭转4弯曲
拉伸、压缩、剪切和扭转、弯曲的基本公式
弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系
应力与应变间的关系及切应力互等定律
单向应力状态
εσE = 纯剪切应力状态 γτG = 切应力互等定律
x y ττ-=
三个弹性常数及其关系
ε
σ
=
E γτ=G εεν'= )1(2ν+=E G
材料拉伸及压缩时的力学性能
1. 低碳钢试件拉伸图的四个阶段
第Ⅰ阶段──弹性阶段 第Ⅱ阶段──屈服阶段或流动阶段 第Ⅲ阶段──强化阶段 第Ⅳ阶段──局部变形阶段 2. 卸载规律及冷作硬化
卸载规律：卸载时应力与应变成正比
冷作硬化：卸载后再加载时，比例极限σP 提高 3. 应力—应变曲线及其特征
（1比例极限σP σb
（2）衡量材料塑性的重要指标 延伸率（或伸长率） 001100⨯-=
l
l
l δ 截面收缩率 001
100⨯-=
A
A A ψ 塑性材料：d ≥5%的材料， 脆性材料：d <5%的材料。
4.
塑性材料：抗拉能力＞抗压能力＞抗剪能力脆性材料：抗压能力＞抗剪能力＞抗拉能力。