特殊四边形的性质和判定定理

例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，若AM=AB，

例2 已知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。求证PD=PQ

在正方形中ABCD ∠ADB=∠DBC=∠BDC=45º DF=BD ∴∠DBF=∠DFB

∠ADB=∠DBF+∠F ===>∠DBF=∠DFB=º

===>∠QBC=45-∠DBF==º

===>∠DQP=∠BQC=90-∠QBC==º

DE=AD=DC DCE=45º

∠EPF=∠BPC=180-∠PBC-∠BCD-∠DCE==º=∠F ∴EP=EF

∵DF=BD=EC EP=EF ∴PC(EC-EP)=DE(DF-EF)=DC 又∵∠DCP=45º

∴∠QDP=(180-∠DCP)/2=(180-45)/2=º=∠DQP

∴PD=PQ

例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED

例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求EF=FB

证：

证明如图所示，连接AE交DC于O.

∵四边形ACED是平行四边形．

∴O是AE的中点．

∵在梯形ABCD中，

DC∥AB，在△EAB中，

OF∥AB，

又∵O是AE的中点，

∴F是EB的中点，

∴EF＝BF.

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。求证EG=2AM

延长BA至点H ,使得BA=AH

对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH

又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM

所以得AM=二分之一EG

多边形

一、选择题

1. （安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）

A ．7

B ．9

C ．10

D ．11

2. （山东威海）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（ ）

A ．1：2

B ．1：3

C ．2：3

D ．2：5

3. （江苏泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥

CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC ．其中一定能判定这

个四边形是平行四边形的条件有

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组 4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点

E 、

F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是

A. ①②

B. ②③

C. ②④

D.③④ 5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（ ）

A ．120°

B ．135°

C ．140°

D ．144°

6. （浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，在BC ，DE 上分别找一点M,N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）

A. 100° B ．110° C. 120° D. 130°

9题图

A

B

C

E

M N O

7. （浙江省舟山）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2

，四边形ABCD 面积是11cm 2

，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A ）48cm （B ）36cm （C ）24cm

（D ）18cm

8. （山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是

（A ）2n

（B ）4n

（C ）1

2n + （D ）2

2

n +

9. （山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为

10. （浙江杭州）在矩形ABCD 中，有一个菱形B F D E (点E ，F 分别在线段AB ，CD 上)，记它

们的面积分别 为ABCD BFDE S S 和．现给出下列命题：（ ） ①若23ABCD BFDE S S +=，则3

tan EDF ∠．②若2,DE BD EF =•则2DF AD =． 则:

A ．①是真命题，②是真命题

B ．①是真命题，②是假命题

（第10题）

F

A

B C

D

H E

G

①

②

③

④

⑤

图1

图2

图3

……