2006年北京大学高等代数与解析几何试题(真题)

2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午

高等代数部分（100分）

1.(16分)

(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。

(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。要求说明理由。

2.(16分)

(1) 设,A B 分别是数域K 上的,s n n s ××矩阵，证明：

()()()n rank A ABA rank A rank E BA n −=+−−.

(2) 设,A B 分别是实数域上n 阶矩阵。证明：矩阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变。

3. (16分)

(1) 设A 是数域K 上的n 阶矩阵，证明：如果矩阵A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以分惟一的分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即。

(2) 设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵，试问：A 是否可以分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即？说明理由。

4.(10分)

(1) 设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式()f λ的所有不同的复根为实数12,,,s λλλ⋅⋅⋅. 把A 的最小多项式()m λ分解成R 上不可约多项式的乘积。说明理由。

(2) 设A 是n 阶实对称矩阵，令Α()A αα=, R n

α∀∈

根据第(1)问中()m λ的因式分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和。说明理由。

5.(22分)

设{1,2,,}X n =⋅⋅⋅，用X C 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的 加法和数量乘法成为复数域C 上的一个线性空间.

对于(),()X f x g x C ∈，规定1(),()()()n

j f x g x f j g j =<>=∑，

这个二元函数是复线性空间X C 上的一个内积，从而X C 成为一个酉空间。

设

12(),(),,()X

n p x p x p x C ⋅⋅⋅∈，且满足()kj k p j =, j X ∀∈. 其中, 2i n e πω=. (1) 求复线性空间X

C 的维数；

(2) 证明：12(),(),,()n p x p x p x ⋅⋅⋅是酉空间X C 的一个标准正交基； (3) 令ˆ(())()f x f

x σ=, ()X f x C ∀∈. 其中ˆ()f x 在x k =处的函数值ˆ()f k 是()f x 在标准正交基12(),(),,()n p x p x p x ⋅⋅⋅下的坐标的第k 个分量. 证明：σ是酉空间X

C 上的一个线性变换，并且求σ在标准正交基12(),(),,()n p x p x p x ⋅⋅⋅下的矩阵；

(4) 证明第(3)题中的σ是酉空间X C 上的一个酉变换。

6. (20分)

设V 是域K 上的n 维线性空间，A 1, A 2,…,A s 线为V 上的线性变换，令A ＝A 1+A 2+…+A s 求证：A 为幂等变换且rank (A )=rank (A 1)+……＋rank (A s )的充要条件是：各A i 均为幂等变换，且A i A j =0, i ≠j.

解析几何部分（50分） 7.(15分) 求一个过x 轴的平面π，使得其与单叶双曲面2

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x y z +−=的交线为一个圆。 8.(15分) 证明四面体的每一个顶点到对面重心的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。

9.(10分) 一条直线与坐标平面yoz 面，xoz 面，xoy 面的交点分别是A , B , C . 当直线变动时，直线上的三个定点A , B , C 也分别在坐标平面上变动。此外，直线上有第四点P , 点P 到三点的距离分别是a, b, c. 求该直线按照保持点A , B , C 分别在坐标平面上的规则移动时，点P 的轨迹。

10.(10分) 在一个仿射坐标系中，已知直线1l 的方程为 70260x y z x y −++=⎧⎨+−=⎩

2l 经过点(1,1,2)M −, 平行于向量(1,2,3)u −G .判别这两条直线的位置关系，并说明理由。