第七章 点的合成运动.ppt

arn vr2 /R(
2 3
v0
)
2
/
R

4v02 3R
作加速度矢量图如图示， 将上式投影到法线上，得
n

aa sin ae cos arn
aa (aecos arn )/sin
(a0
c
os60

4v02 3R
)/s
in60
整理得
aAB aa
3 3
(a0

8 3
v02 R
1．绝对运动：动点对静系的运动。 点的运动 2．相对运动：动点对动系的运动。
例如：人在行驶的汽车里走动。
3．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
分析 ：
A
yM
ω
y’
动点： 小 球 M
O x
O’
D x’
静系： 地 球
动系： 滑道ABD
B
绝对运动： 圆周运动 牵连运动： 平 动 相对运动： 圆周运动
§3-2 点的速度合成定理
z
C′ M′
CM2 vr
(m) M
(m1) M1
v
ve
t′
O
t
y
x
MM′= mm1 + M1M ′
MM m m1 M1M
相对运动——动点相对于动系的运动。
动点在相对运动中的轨迹、位移、速度、加速度，称为 动点的相对轨迹、相对位移、相对速度、相对加速度。
牵连运动——动系相对于静系的运动。 某瞬时，动系上与动点相重合的点 —— 牵连点。
牵连速度 ——牵连点相对静系的速度。 牵连加速度 ——牵连点相对静系的加速度。
三种运动及三种速度与三种加速度。
二、牵连运动为转动时，点的加速度合成
aa = r+ ve+ar+2 vr
aa ae ar aC aC 2ω vr
aC称为科氏加速度 ——牵连运动为转动的加速度合成定理
[例4] 曲柄摆杆机构
已知：O1A＝r , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结
做出速度平行四边形 如图示。
ve va tg
3 3
v
又ve
OC

r
sin

2r
,
ve 1 3v 3v
2r 2r 3 6r
§3-3 点的加速度合成定理
一、牵连运动为平动时，点的加速度合成
设Oxyz——静参考系，
O´x´y´z´——平动参考系，
M——动点。 vr xi yj zk ar xi yj zk
§3-3 点的加速度合成定理
一、牵连运动为平动时，点的加速度合成
vr xi yj zk ar xi yj zk
ve vO
va ve vr
va vO xi yj zk
§3-3 点的加速度合成定理
做出速度平行四边形,如图示。
vr

s
ve
in

s
v0 in60
o

2 3
v0
绝对加速度：aa=?, 方向AB，待求；
相对加速度：
vr2
/
R
方向沿CA指向C；
牵连加速度 ：ae=a0 , 方向→。
因牵连运动为平动，故有

aa

ae
at r
arn
其中
三种速度的分析。
根据速度合成定理
作出速度平行四边形。
va ve vr ,
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。
分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化， 因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
t t t
lim lim MM
m m1
t0 t
t0 t
lim
M1M
t0 t
va = ve + vr
—— 速度合成定理
§3-2 点的速度合成定理
续例1. 直杆 OA 以 匀角速ω在竖直面内绕 O 点转动，套筒 M 沿直杆以常速度v 滑动，试分析套 筒的速度。
ωω OO
解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。
绝对运动：直线运动, 绝对速度：va v, 方向 相对运动： 直线运动, 相对速度： vr未知, 方向 OA 牵连运动： 定轴转动, 牵连速度： ve OC 未知, 待求, 方向OC
根据速度合成定理 va ve vr ,
动点A在偏心轮上时 动点： A（在偏心轮上） 动系： AB杆 静系： 地面 绝对运动：圆周（红色虚线） 相对运动：曲线（未知） 牵连运动：平动
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线
牵连运动：定轴转动
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
sin rc os

s
in( )s c os
in
1
ak
2
2
v
r

s
in(2 2 c os
)
12
r
方向：与v e相同。
[例2] 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，
图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点： 顶杆上A点； 动系： 凸轮 ; 静系： 地面。 绝对运动： 直线; 绝对速度：va=? 待求, 方向//AB; 相对运动：曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动：定轴转动;
)
[注]加速度矢量方程的 投影是等式两端的投影， 与静平衡方程的投影关 系不同。
§3-3 点的加速度合成定理
二、牵连运动为转动时，点的加速度合成
设Oxyz——静参考系，
O´x´y´z´——转动参考系，
P——动点。
r xi yj zk
vr xi yj zk ar xi yj zk
, r va ve vr xi+ y j+ zk = ar
xi y j zk xω i yω j zω k
ω xi y j zk ωvr
aa = r+ ve+ar+2 vr
§3-3 点的加速度合成定理
va = ve+ vr = r+ xi+ y j+ zk
aa va ω r ω r xi y j zk xi y j zk
§3-3 点的加速度合成定理
二、牵连运动为转动时，点的加速度合成
aa va ω r ω r xi y j zk xi y j zk
y O
arn a ly
θ
M
arτ ae ax
x
[例1] 已知：凸轮半径 R,vo ,ao 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。
绝对速度va = ? , 方向AB ；

相对速度vr = ? , 方向CA;
牵连速度ve=v0 , 方向 → 。
由速度合成定理 va ve vr ,
下面举例说明以上各概念：
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
动点：A（在偏心轮上） 动系：偏心轮 静系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动

ve O1 A

1 r 2 l2
r 2 r 2
r 2 l2 r 2 l2
[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 解：动点取直杆上A点，
动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
牵连速度：ve= r ， 方向OA， 。
根据速度合成定理 va ve vr
v
ve
MM’
AA
vr
§3-2 点的速度合成定理
续例2. 具有圆弧形导杆的曲柄滑道机构，已知
曲柄 OM以 匀角速ω绕 O 点转动，试分析导杆的速
度。
v vr A
M
veω
O
D
B
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。
绝对速度：va = r 方向 OA
相对速度：vr = ? 方向//O1B 牵连速度：ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
sin r ,
r2 l2
ve va sin
r 2
r2 l2
又ve O1 A1,
1
O2B上，试计算动点A的科氏加速度。