苏州市数学学科素养大赛2013年试卷
(完整word版)苏州市小学数学教师素养大赛试卷及
苏州市小学数学涵养大赛试题一．填空题〔 28 分〕1．公路有一排杆，共 31 根，每相两根之的距离都是 36 米，在要改成每相两根之都相距 45 米，有〔〕根杆不需要移。
2．将从 1 开始到 103 的奇数依次写成—个多位数：⋯⋯ 9799101103 ，个数是〔〕位数。
3．一科学需每隔 5 小做一次，第13 次是 8 月 17日上午 9 ，那么第 6 次做的是〔〕。
4．自来水管的内直径是 2 厘米〔п取〕，水管内水的流速是每秒8厘米。
一位同学去水池洗手，走忘关掉水，5分浪()升水。
5．一个的底面半径是一个柱底面半径的3 ，柱的高与高的比是 4： 5，那么的体是柱体的〔4〕。
6．某市居民自来水收准以下：每个月每用水3吨以下，每吨元，超 3 吨的，超局部每吨 3.00 元，某月甲乙交水两共交水元，甲乙用水量比率3：5，甲交水〔〕元。
7．在周 400 米的形跑道上，有相距 100 米的 A、B 两点。
甲、乙两人分从 A、B 两点同相背而跑，两人相遇后，乙即身与甲同向而跑。
当甲到 A 时，乙恰好到 B。
若是今后甲、乙跑的速度和方向不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了〔〕米。
8．某人在一次选举中，需全部选票的3 才能中选，计算全部选票的2 后，43他获得的选票已到达中选选票数的5 ，他还需要获得剩下选票的〔〕6才能中选。
9．一个小于200 的数，它除以11 余 8，除以 13 余 10，那么这个数是〔〕。
10．要把A 、B、C、D 四张CD 放到书架上，但是，D 不能够放在第一层，C 不能够放在第二层， B 不能够放在第三层， A 不能够放在第四层，那么，共有 ()种不相同的放法。
11．以下列图中正方形的边长是24 厘米， BE长30 厘米。
AF 的长是〔〕厘米。
12.黑、白棋子按一层白、一层黑排成正三角形的形状，以以下列图。
那么，当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子的颗数多25 颗时，这个正三角形一共排了 () 层。
【精校】2013年江苏省苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学(含答案)
2013年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共29小题，满分130分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应的位置上．1．2-等于A．2 B．－2 C．±2 D．±2．计算－2x2＋3x2的结果为A．－5x2B．5x2C．－x2D．x23在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x>1 B．x<1 C．x≥1 D．x≤14．一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是A．2.5 B．3 C．3.5 D．55．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为A．5 B．6 C．7 D．86．已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝37．如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于A．55°B．60°C．65°D．70°8．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝ (x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．329．已知x－＝3，则4－x2＋x的值为A．1 B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为A．13B．31C．3192+D．27二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．11．计算：a4÷a2＝▲．12．因式分解：a2＋2a＋1＝▲．13．方程15121x x=-+的解为▲．14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为▲．15．按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为▲．16．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧»BC 的弧长为 ▲ ． （结果保留π）17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ▲ ， ▲ )．18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则AD AB = ▲ （用含k 的代数式表示）．三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19．（本题满分5分）计算：()()031319-+++．20．（本题满分5分） 解不等式组：()21213x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩21．（本题满分5分）先化简，再求值：23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x ＝3－2．22．（本题满分6分）苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游．已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？23．（本题满分6分）某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：(1)求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；(2)如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定为优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．（图②）24．（本题满分7分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等．．．但面积相等的三角形是▲（只需要填一个三角形）；(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．25．（本题满分7分）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）26．（本题满分8分）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．27．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1)求证：BD＝BF；(2)若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半径．28．（本题满分9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．(1)当t＝▲ s时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)b＝▲，点B的横坐标为▲（上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有▲个．2013年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学试题参考答案一、选择题1．A 2．D 3．C 4．B 5．B6．B 7．C 8．D 9．D 10．B二、填空题11．a 2 12．(a ＋1)2 13．x ＝2 14．15．20 16．3π 17．(2，4－22) 18．1k + 三、解答题19．原式＝3．20．3≤x<521．原式＝12x +． 3 22．甲、乙两个旅游团分别有35人、20人．23．(1)样本容量为50．补图正确；(2)估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为370人．24．(1)△DFG 或△DHF ；(2)画树状图：所画三角形与△ABC 面积相等的概率为25．(1)点P 到海岸线的距离为31) km ．(2)点C 与点B 2km ．26．(1)证明略(2)①y ＝x②FG 的长度为527．(1) 证明略(2)28．(1)2.5(2)t ＝145或－14＋ (3)不存在29．(1)＋c ，－2c ；(2)y ＝x 2－x －2．(3)①0<S<5 ②11．考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2013年苏州市教师把握学科能力竞赛(决赛)小学数学
一、填空。
2%×24 1.按规律填空:（1）1,2,3,7,16,65,321，（ ）（2）389 、114 、1279 、1237 、1623 、32 、（ ）( )2.一个三位小数精确到百分位是3.80，这个三位小数的取值范围是( )。
3. 某班人数在45~55人之间，其中，女生是男生的89 。
这个班有男生（ ）人，女生（ ）人。
4．王老师步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。
如果他步行从甲地到乙地，再骑车返回甲地共需2小时，那么王老师跑步从甲地到乙地需要（ ）小时。
5．一本书222页，在编码时一共用了（ ）个数字（如第95页用了“9”和“5”两个数字）；数字“2”用了( )次。
6．右图中正方形的面积是24平方厘米，涂色部分 的面积是（ ）平方厘米。
7．四个相同的正方体按相同的顺序在上面写上数字1~6，然后按右图 叠放在一起，5对面的数字是（ ）。
8．有一个密码是一个偶数。
已知这个数是和为212的3个素数的最大乘积，那么，这个密码是（ ）。
9.有300人参加招聘会，其中软件设计、市场营销、财务、人力管理分别有100、90、60、50人。
至少有（ ）找到工作，才能保证一定有60名找到工作的人的专业相同。
10.有浓度为3.2%的食盐水500克，为了把它变成浓度为5%的食盐水，需要蒸发掉（ ）克水。
11.如右图，边长分别是7厘米和6厘米的两个正方形有部分重叠， 那么没有重叠部分的面积相差（ ）平方厘米。
12.各位数字之和是34的四位数有（ ）个。
13. 某班有美术、音乐、科技、篮球4个兴趣小组。
这个班的学生都参加且只参加其中2个小组，有8人参加的小组完全相同。
这个班有（ ）人。
14.如果一个长方体的底面面积为600平方厘米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
15.运动会上，甲、乙、丙三人沿400米的环形跑道进行800米的比赛。
10苏州市2013年决赛卷试卷
2013年苏州市教师把握学科能力竞赛（决赛） 小学数学 一、填空题。
（共30分） 1．有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”。
请你举一个例子，说明这句话是错的：（ ）。
2．某商贩以10元30张的价格买进若干张贺卡，又以4元10张的价格卖出，共赚了120元。
他一共买进了 ( )张贺卡。
3．李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1,2,3…，后来擦掉其中一个，剩下的平均数是10.8。
那么被擦掉的那个自然数是（ ）。
4．两个相同的瓶子里装满了糖水，一个瓶中糖与水的比是3:1，另一个瓶中糖与水的比是4:1，若把两瓶糖水混合，混合后糖水中糖与水的比是（ ）。
5．若两个自然数之和是296，它们的最大公因数是37，则这两个自然数分别是（ 和 ） 或（ 和 ）。
6．将图1所示三角形沿虚线折叠，得到图2所示的多边形，这个多边形的面积是原三角形的75。
已知图2中阴影部分的面积为6平方厘米，则图1三角形的面积是（ ）平方厘米。
图1 图27．一个合唱队共有63人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个成员，通知采用打电话的方式，如果：每分钟可以通知1人。
请你设计一个打电话的方案，最少要花（ ）分钟就能通知到每个人。
8．小赵给大家猜一个五位数，它由五个不同的数字组成。
小张说：“它是84261.”小王说：“它是26048.”小李说：“它是49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的数上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数。
现在，你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。
”这个五位数是（ ）。
9．如图,一共有（ ）个圆，如果把连在一起的两个圆称为一对，那么图中相连的圆一共有（ ）对。
密封线内请勿答题学校考试号姓名10．计算6和1.2；3和1.5这两组数的和与积。
（1）每组中两个数的和与积之间有怎样的规律？（ ）。
（2）根据上述规律，再写2组有这样规律的数：（ 和 ） ，（ 和 ）。
11．苹果、梨子、桔子三种水果都有许多，混在一起成了一大堆，最少要分成（ ）堆(每堆内都有三种水果)。
苏州小学数学教师素养大赛试卷试题.docx
2016苏州小学数学教师素养大赛1、在 1— 100 的自然数中，（）的约数个数最多。
2、一个质数的 3 倍与另一个质数的 2 倍之和为 100，这两个质数之和是（）。
3、在 1～ 600 这 600 个自然数中，能被 3 或 5 整除的数有（）个。
4、有 42 个苹果34 个梨，平均分给若干人，结果多出 4 个梨，少 3 个苹果，则最多可以分给（）个人。
5、甲、乙两人同时从 A 点背向出发沿400 米环行跑道行走 ,甲每分钟走 80 米 ,乙每分钟走 50米，这二人最少用（）分钟再在 A 点相遇。
6、 11 时 15 分，时针和分针所夹的钝角是（）度。
7、一个涂满颜色的正方体，每面等距离切若干刀后，切成若干小正方体块，其中两面涂色的有 60 块，那么一面涂色的有（）块。
8、六一儿童节游艺活动中，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有（）人。
9、一批机器零件，甲队独做需11 小时完成，乙队独做需 13小时完成，现在甲、乙两队合做，由于两人合作时相互有些干扰，每小时两队共少做28 个，结果用了 6.25 小时才完成。
这批零件共有（）个。
10、李然从常熟虞山下的言子墓以每分12 米的速度跑上祖师山，然后以每分24 米的速度原路返回，他往返平均每分行（）米。
11、常熟市乒乓比赛中，共有32 位选手参加比赛，如果采用循环赛，一共要进行（）场比赛；如果采用淘汰赛，共要进行（）场比赛。
12、甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱合买一种英语本，买回后甲和乙都比丙多要 6 本，因此，甲、乙分别给丙 1.5 元钱，每本英语本（）元。
13、一个表面都涂上红色的正方体,最少要切（）刀 ,才能得到 100个各面都不是红色的正方体。
14、果园收购一批苹果，按质量分为三等，最好的苹果为一等，每千克售价 3.6 元；其次是二等苹果，每千克售价 2.8 元；最次的是三等苹果每千克售价 2.1 元。
苏州市小学数学教师素养大赛测试题和答案解析
苏州市小学数学教师素养大赛试卷一、填空。
（每空1分，共15分）1．《数学课程标准》将数学学习内容分为，，，四个学习领域。
2．义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生、、地发展。
3．数学教学活动必须建立在学生的和基础之上。
4．数学教学是数学活动的教学，使师生之间、学生之间与的过程。
5．对学生数学学习的评价，既要关注学生的理解和掌握，更要关注他们的形成和发展；既要关注学生数学学习的，更要关注他们在的变化和发展二、选择正确答案的序号（多项）填在上。
（每题1分，共6分）1．学生的数学学习内容应当是。
①现实的②有意义的③科学的④富有挑战性的2．教师是数学学习的。
①组织者②传授者③引导者④合作者3．《基础教育课程改革纲要》中的三维目标在数学课程中被细化为四个方面：。
①情感与态度②知识与技能③数学思考④数与代数⑤解决问题⑥空间与图形⑦统计与概率⑧实践与综合应用4．《数学课程标准》所使用的刻画知识技能的目标动词有。
①理解②了解（认识）③体验（体会）④灵活运用⑤掌握⑥探索5．在第一学段“数与代数”的内容主要包括：。
①数的认识②测量③数的运算④常见的量⑤式与方程⑥探索规律6．数学。
①是人们生活、劳动和学习必不可少的工具②是一切重大技术发展的基础③为其他科学提供了语言、思想和方法④是人类的一种文化三、判断。
（每题1分，共4分）1. “实践活动”是第二学段的学习内容。
（）2. 在第二学段，“数的运算”要求学生能笔算三位数乘三位数的乘法。
（）3. 在第一、二学段中，课标没有安排“中位数”、“众数”的内容。
（）4．“三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”是第二学段的内容。
（）四、请你用等式的性质解方程。
（每题2分，共4分）0.5x－2=24 m÷0.6=4.5五、简答。
（11分）《课程标准》第四部分课程实施建议中，对第一、二学段分别提出了哪四条教学建议？（1）第一学段教学建议：（2）第二学段教学建议：（3）试分析这两个学段的教学建议有什么不同？为什么？第二部分 数学专业知识（100分）一、填空。
江苏省2013年全国高中数学联赛初赛题与答
设 a 有 m 个数字，b 有 n 个数字，由已知得 m＋n＝4．
如果 m＜2，那么 n≥3，但在 31 年后，a 是 2 位数，这与题意不符．
由对称性，知 n 也不小于 2，从而 m＝n＝2． 设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 x2 和 y2，0＜x＜y， 则 y2＝x2＋3l3l，即(y－x)(y＋x)＝31×101．
由于 f ′(x)＝2－πsinπx ，f ′′(x)＝－π2cosπx．
当 x∈(0，12)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＜0，当 x∈(12，1)时，f ′′(x)＝－π2cosπx＞0， 所以 f ′(x)在区间[0，12]上单调减，在区间[12，1]上单调增． 因为 f ′(0)＝f ′(1)＝2 和 f ′(12)＝2－π＜0， 所以存在 α 和 β， 0＜α＜12＜β＜1， 使得 f ′(α)＝f ′(β)＝0，f ′(x)＜0 当且仅当 x∈(α，β)． …………………… 10 分
2013 年全国高中数学联赛初赛参考答案 第 1 页 共 5 页
2013 年江苏省高中数学竞赛初赛试题与解答
冯惠愚 2013.05.
又解：由已知，2a＝b＋c2sinA＝sinB＋sinC4sinA2cosA2＝2sinB＋2 CcosB－2 C2cosB＋2 C＝cosB－2 C．
所以，tanB2tanC2＝13tanB＋2 C＝1t－anBt2a＋nB2ttaannC2C2≥21－ttaannB2B2ttaannC2C2＝ 3B＋C≥230＜A≤3．
y
椭圆 E2：x92＋y2＝1 交于点 A 和 C，E1 的左顶点为 B，
A
B
D
O
x
E2 的右顶点为 D (如图)．若四边形 ABCD 是正方形，
苏州市教师素养大赛题库初中数学
苏州市教师素养大赛题库初中数学可能涉及以下几个方面的问题：一、函数知识1. 描述一次函数和正比例函数在直角坐标系中的图像时，需要注意哪些因素？2. 如何利用一次函数的图像和性质来解决实际问题？3. 函数中的对称性在图像中的应用有哪些？二、几何知识1. 如何用几何的方法解决代数问题？举例说明。
2. 描述三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线定理的要点。
3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊几何图形之间的联系和区别是什么？三、数据处理1. 描述数据收集、整理、分析的基本方法，以及如何根据数据做出合理的决策。
2. 如何利用统计图和统计表来展示数据？它们各自的特点是什么？3. 如何利用数据分析来解决实际问题？针对以上问题，可以参考以下800字回答：一、对于函数知识部分，需要了解一次函数和正比例函数的图像和性质，并能够利用这些知识解决实际问题。
同时，需要掌握函数中的对称性在图像中的应用，如对称轴、对称点等。
在描述一次函数和正比例函数图像时，需要注意函数的斜率、截距和函数图像与坐标轴的交点等因素。
二、对于几何知识部分，需要掌握几何方法和代数方法的结合使用，能够利用几何方法解决一些复杂的代数问题。
同时，需要熟悉三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线定理的要点，并能够应用这些定理解决实际问题。
此外，还需要了解平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊几何图形之间的联系和区别，如平行四边形需要掌握其性质和判定方法。
三、对于数据处理部分，需要掌握数据收集、整理、分析的基本方法，并能够根据数据做出合理的决策。
同时，需要熟悉各种统计图和统计表的特点和应用场景，如条形图、饼图、折线图等。
在利用数据分析解决实际问题时，需要掌握如何利用统计数据建立数学模型，并利用模型进行预测和决策。
总之，在准备苏州市教师素养大赛题库初中数学时，需要注重知识的全面性和综合性，注重实践应用能力的培养和提高。
同时，需要不断学习和探索新的教学方法和手段，以提高自己的教学水平和素养。
2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案
2013-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足x 2-4x+y 2+3＝0，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()nna bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ． 7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12si ncos si n cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1+z 2|＝6，则|z 1-z 2| ＝___________ 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －tx 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-，所以 21sin sin()sin 32222B B BA π=-=+，1sin sin()sin 32222B B BC π=-=-，又sin 2sincos 22B BB =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得4sin cos 222B B B =，由cos 02B>得sin 2B =，从而cos2B =，所以sin B = 13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －tx 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．(湖南省2002年高中数学竞赛) 解 ⑴考察函数h (x )=2x 2－tx －2．由于α<x 1，x 2<β，故2x 12－tx 1－2<0，2x 22－tx 2－2<0， 两式相加得2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0． 又4x 1x 2≤2(x 12＋x 22)．所以4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0． ⑵ 由已知得2x 2－2＝tx ，所以2x 2＋2＝tx ＋4>0。
苏州市小学数学教师素养大赛试卷及答案
苏州市小学数学素养大赛试题一．填空题（28分）1．公路边有一排电线杆，共31根，每相邻两根之间的距离都是36米，现在）根电线杆不需要移动。
要改成每相邻两根之间都相距45米，有（2．将从1开始到103的连续奇数依次写成—个多位数：）位数。
，则这个数是（13579111315171921 (9799101103)3．一项科学实验需每隔5小时做一次记录，已知第13次记录是8月17）时，那么第日上午96次做记录的时间是（。
83.14），水管内水的流速是每秒厘米（п取4．自来水管的内直径是2(厘米。
一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费)升水。
3，圆柱的高与圆锥高的5．一个圆锥的底面半径是一个圆柱底面半径的4比是4：5，那么圆锥的体积是圆柱体积的（）。
6．某市居民自来水收费标准如下：每月每户用水3吨以下，每吨1.80元，超过3吨的，超过部分每吨3.00元，某月甲乙交水费两户共交水费21.60）元。
，问甲应交水费（元，已知甲乙用水量比例为3：57．在周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点。
甲、乙两两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而B、A人分别从。
如果以后甲、乙跑的速度和方向不变，时，乙恰好到B跑。
当甲到A那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了（）米。
23后，才能当选，某人在一次选举中，计算全部选票的需全部选票的．8345）他得到的选票已达到当选选票数的，他还需要得到剩下选票的（6才能当选。
9．一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是）。
（10．要把A、B、C、D四张CD放到书架上，但是，D不能放在第一层，C不能放在第二层，B不能放在第三层，A不能放在第四层，那么，共)种不同的放法。
有(）长11．下图中正方形的边长是24厘米，BE30厘米。
AF的长是（厘米。
12. 黑、白棋子按一层白、一层黑排成正三角形的形状，如下图。
那么，当这样的一个正三角形中黑棋子比白棋子的颗数多25颗时，这个正三角形一共排了( 层。
苏州小学教师解题能力竞赛小学数学
1苏州小学教师解题能力竞赛小学数学一．填空题（30分）1．在某一个月中，星期一比星期二多，星期日比星期六多，那么这个月共（ ）天。
2．苏州某工厂的水表显示的用水量是61111立方米,如果还要使水表显示的用水量的五位数中有四个数码相同,工厂至少再用水（ ）立方米。
3. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余5，除以9余7，这个数最小是（ ）。
4. 把74化成小数，它的小数部分第2000位上的数字是（ ）。
5. 雪后的一天，小明和爸爸先后步测一个圆形花坛的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。
小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。
由于两人的脚印有重合因此花坛周围只留下60个脚印。
这个花坛的周长大约是（ ）米。
6．在1~2000之间同时被3、4、5除余1的数共（ ）个。
7．一本书的页码是连续的自然数1，2，3，…当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果为1997，则这个被加了两次的页码是（ ）。
8．电影票原价每张若干元，现每张降价3元出售，观众增加了一半，收入增加了51，一张电影票原价 ( )元。
9．学校操场是一个长方形，按10001的比例尺画在平面图上，它的面积是96平方厘米，这个操场的实际面积是( )平方米。
10．六(1)班的男生有m 人，女生有n 人。
一次数学测验，男生的平均分是84分，女生的平均分是86分。
请你用一个式子表示这次测验全班的平2均分是( )分。
11．下图的纸片折成一个正方体，相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。
12．下图有一些大小相同的正方体木块堆成一堆，从上往下看是图1，从前往后看是图2，从左往右看是图3，这堆木块共有( )块。
13．15个相同的正方形，周长总和是240厘米，把他们拼成一个长方形，这个长方形的周长最多是 ( )厘米。
14. 6点整时针与分针反向成一条线，当下一次时针与分针反向成一条线时，经过了( )分。
15. 新馨商店从外地购进360个玻璃制品,运输时损坏了40个,剩下的按进价的117%售出,商店可盈利( )%。
苏州市小学数学教师素养大赛测试题及答案
苏州市小学数学教师素养大赛试卷（含答案）一、填空。
（每空1分，共15分）1．《数学课程标准》将数学学习内容分为，，，四个学习领域。
2．义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生、、地发展。
3．数学教学活动必须建立在学生的和基础之上。
4．数学教学是数学活动的教学，使师生之间、学生之间与的过程。
5．对学生数学学习的评价，既要关注学生的理解和掌握，更要关注他们的形成和发展；既要关注学生数学学习的，更要关注他们在的变化和发展二、选择正确答案的序号（多项）填在上。
（每题1分，共6分）1．学生的数学学习内容应当是。
①现实的②有意义的③科学的④富有挑战性的2．教师是数学学习的。
①组织者②传授者③引导者④合作者3．《基础教育课程改革纲要》中的三维目标在数学课程中被细化为四个方面：。
①情感与态度②知识与技能③数学思考④数与代数⑤解决问题⑥空间与图形⑦统计与概率⑧实践与综合应用4．《数学课程标准》所使用的刻画知识技能的目标动词有。
①理解②了解（认识）③体验（体会）④灵活运用⑤掌握⑥探索5．在第一学段“数与代数”的内容主要包括：。
①数的认识②测量③数的运算④常见的量⑤式与方程⑥探索规律6．数学。
①是人们生活、劳动和学习必不可少的工具②是一切重大技术发展的基础③为其他科学提供了语言、思想和方法④是人类的一种文化三、判断。
（每题1分，共4分）1. “实践活动”是第二学段的学习内容。
（）2. 在第二学段，“数的运算”要求学生能笔算三位数乘三位数的乘法。
（）3. 在第一、二学段中，课标没有安排“中位数”、“众数”的内容。
（）4．“三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”是第二学段的内容。
（）四、请你用等式的性质解方程。
（每题2分，共4分）0.5x－2=24 m÷0.6=4.5五、简答。
（11分）《课程标准》第四部分 课程实施建议中，对第一、二学段分别提出了哪四条教学建议？ （1）第一学段教学建议：（2）第二学段教学建议：（3）试分析这两个学段的教学建议有什么不同？为什么？第二部分 数学专业知识（100分）一、填空。
20092013年江苏省数学竞赛初赛试题原题详解
一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的间隔 的比值为 ． 6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满意f (x )≥0的x 的取值范围是 ． 7．右图是某种净水水箱构造的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 9．设数列{a n }满意：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于随意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCDABCDAPQ R(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1， ∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的间隔 的比值为 ．填14．解：A 、B 到平面PQR 的间隔 分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的间隔 的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．BCDAPQ R MNR Q PADCB由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的间隔 的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满意f (x )≥0的x 的取值范围是 ．填[3，4]． 解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱构造的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ．填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满意：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2． 一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ．填0，3－12，3－1． 解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不行能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；Ba ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：务实数x ，使[x ]2＝2{x }x ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形． 得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB ⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于随意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：明显k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立． 令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立． 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )获得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． EBCDA∴ k ∈[62，＋∞)． 解法二：明显k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时获得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立． 而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立． ∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； ⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中随意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于随意n ∈N*，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是a ≡/b (mod 4)且a 与b 均不能被4整除．⑴ 由上可知，满意要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满意题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满意要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，假如这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．2010年全国高中数学联赛江苏赛区·初赛一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中随意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍宝，每颗珍宝镀金、银两色中的一种．其中 镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠ θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 ． 10．设复数列{}n x 满意1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对随意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若3455OM OA OB =+， 证明：AB 的中点在椭圆22212x y +=上．（第7题）12．已知整数列{}n a 满意31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出全部的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．14．求全部正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．参考答案1、x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2、与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间一样， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3、216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4、微小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5、画图视察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6、f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满意问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以致少有50个零点. 7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8、穷举法，留意可翻转，有6种状况，2金2银有两种，概率为 13 ．9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10、由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±． 11、解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1． 由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12、解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13、证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆； …………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ，∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ， 又AD 是圆的直径，∴CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ，∴ B 、G 、C 、F 共圆. ∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG⊥GC ， ∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 14、解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2， ∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分ABCDEFH GAB CP2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求干脆将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = . 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．5． 已知向量a ，b 满意π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ． 7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ．8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ． 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．10．已知m 是正整数，且方程2100x m --+=有整数解，则m 全部可能的值是 ． 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，务实数h 的取值范围．12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．13．如图，P 是ABC 内一点．（1）若P 是ABC 的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．14．已知α是实数，且存在正整数n 0证明：存在无穷多个正整数n 为有理数．2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求干脆将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．答案：－8 根底题，送分题，高考难度2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .答案：32-根底题，送分题，高考难度3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．答案：19145根底题，送分题，高考难度，但须要仔细审题，否则很简洁有错4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．答案：45计算量挺大的，要留意计算的方法，对于打酱油的同学有肯定难度5． 已知向量a ，b 满意π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 ．答案：可以用特别法，把向量放在直角坐标系中，很简洁可以得出答案6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．答案：1(848)7n +高考难度级别，根底好的同学可以做出来7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ．答案：(0,2) 这是一道高考题8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．答案：6 这也是一道高考题9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．答案：4 3 还是一道高考题10．已知m 是正整数，且方程2100x m --+=有整数解，则m 全部可能的值 是 ．答案：3,14,30 这是2011年苏州市一模的第十四题。
吴江小学数学素养竞赛试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 25B. 49C. 37D. 812. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，它的周长是多少厘米？A. 23B. 27C. 32D. 403. 小明有12个苹果，他每天吃3个，几天后小明吃完了所有的苹果？A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天4. 一个篮子里有5个红苹果和7个绿苹果，篮子里一共有多少个苹果？A. 12B. 13C. 14D. 155. 下列哪个分数是最简分数？A. 8/12B. 6/9C. 3/5D. 4/86. 一个时钟的时针和分针重合时，时间是几点？A. 12点B. 1点C. 3点D. 6点7. 下列哪个数是偶数？A. 17B. 18C. 19D. 208. 一个长方体的高是6厘米，底面是正方形，底面边长是4厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 96B. 144C. 192D. 2169. 下列哪个运算结果是10？A. 5 + 5B. 5 × 2C. 5 × 5D. 5 ÷ 210. 小华有20元，她买了一本书花了15元，小华还剩多少钱？A. 5元B. 10元C. 15元D. 20元二、填空题（每题2分，共20分）11. 3 × 7 = _______，7 × 3 = _______12. 25 + 25 = _______，25 - 25 = _______13. 0.5 + 0.3 = _______，0.5 - 0.3 = _______14. 12 ÷ 4 = _______，4 × 3 = _______15. 4 × 5 × 2 = _______，10 ÷ 2 = _______16. 2/3 + 1/6 = _______，2/3 - 1/6 = _______17. 8厘米 = _______分米，1米 = _______厘米18. 5角 = _______元，100分 = _______元19. 3千米 = _______米，1千米 = _______米20. 2平方米 = _______平方分米，1平方米 = _______平方分米三、解答题（每题5分，共20分）21. 小明有18个球，他给了小红5个球，小红又给了小明3个球，最后小明有多少个球？22. 一个班级有40名学生，其中有25名女生，男生有多少名？23. 一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求这个长方形的面积。
苏州素养竞赛数学试题及答案
苏州素养竞赛数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1和-1答案：D3. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 100答案：A4. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度（根据勾股定理）。
A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米答案：A5. 一个圆的半径是5厘米，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 一个数列的前三项为2, 4, 6，这是一个：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 几何数列答案：A7. 一个正整数，如果它是4和6的公倍数，那么它一定是：A. 12的倍数B. 24的倍数C. 36的倍数D. 12或24的倍数答案：C8. 一个分数的分子与分母之和为21，如果分子增加3，分母增加2，新的分数等于1，求原分数。
A. 9/12B. 7/14C. 8/13D. 6/15答案：C9. 一个班级有40名学生，其中1/5的学生是男生，女生有多少人？A. 24B. 32C. 36D. 28答案：B10. 一个数的立方等于其本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 1, -1, 0答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是________。
答案：1612. 一个数的立方根是2，这个数是________。
答案：813. 一个数的相反数是-5，这个数是________。
答案：514. 一个数的绝对值是10，这个数可能是________或________。
答案：10或-1015. 如果一个数的1/4加上2等于5，那么这个数是________。
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2013年苏州市教师把握学科能力竞赛（决赛） 小学数学 一、填空题。
（共30分） 1．有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”。
请你举一个例子，说明这句话是错的：（ ）。
2．某商贩以10元30张的价格买进若干张贺卡，又以4元10张的价格卖出，共赚了120元。
他一共买进了 ( )张贺卡。
3．李老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1,2,3…，后来擦掉其中一个，剩下的平均数是10.8。
那么被擦掉的那个自然数是（ ）。
4．两个相同的瓶子里装满了糖水，一个瓶中糖与水的比是3:1，另一个瓶中糖与水的比是4:1，若把两瓶糖水混合，混合后糖水中糖与水的比是（ ）。
5．若两个自然数之和是296，它们的最大公因数是37，则这两个自然数分别是（ 和 ） 或（ 和 ）。
6．将图1所示三角形沿虚线折叠，得到图2所示的多边形，这个多边形的面积是原三角形的75。
已知图2中阴影部分的面积为6平方厘米，则图1三角形的面积是（ ）平方厘米。
图1 图2
7．一个合唱队共有63人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个成员，通知采用打电话的方式，如果：每分钟可以通知1人。
请你设计一个打电话的方案，最少要花（ ）分钟就能通知到每个人。
8．小赵给大家猜一个五位数，它由五个不同的数字组成。
小张说：“它是84261.”小王说：“它是26048.”小李说：“它是49280.”小赵说：“谁说的某一位上的数字与我的数上的同一位数字相同，就算谁猜对了这个数。
现在，你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。
”这个五位数是（ ）。
9．如图,一共有（
）个圆，如果把连在一起的两个圆称为一对，那么
图中相连的圆一共有（ ）对。
密
封
线
内
请
勿
答
题
学校
考试号
姓
名
10．计算6和1.2；3和1.5这两组数的和与积。
（1）每组中两个数的和与积之间有怎样的规律？（ ）。
（2）根据上述规律，再写2组有这样规律的数：（ 和 ） ，（ 和 ）。
11．苹果、梨子、桔子三种水果都有许多，混在一起成了一大堆，最少要分成（ ）堆(每
堆内都有三种水果)。
才能保证找得到这样的两堆，将这两堆合在一起，三种水果的个数都是偶数。
12．小红和小明用同样的速度，同时开始读数。
小红：“1、3、5、7、9、…”；小明：“1002、997、
992、987、982、…”。
小红和小明同时读出的数是 。
13．用棱长为1的小立方体粘合而成的大立方体，从正面、侧面、上面等六个面看到的视图均如图
所示，那么粘成这个立体图形最多需要（ ）块小立方体。
14．某年的八月份有4个星期一和4个星期五，这年的十月一日是星期（ ）。
15. 如图：有两组相交的平行线。
如果第一组平行线有5条，另一组平行线有6条。
则图中大小平
行四边形共有（ ）个。
二、判断题。
（共6分）
1. 用8个小正方体拼成一个大正方体，拿走任意一个小正方体后表面积不变。
………（ ）
2. 今年，小红的年龄
妈妈的年龄＝5，所以妈妈的年龄和小红的年龄成正比例。
……………… ( ) 3. 能单独密铺的正多边形只有正三角形、正方形、正六边形三种。
……………… （ ）
4. 一个包装盒，如果从里面量长28厘米，宽20厘米，体积为11.76立方分米。
爸爸想用它包装一
件长25厘米、宽16厘米、高23厘米的玻璃器皿，可以装下。
……………………( )
5. 小华有一块手表，每小时比标准时间快2分钟，他早上6时将表对准，到手表指示10点时，标
准时间应该是9点5231
8分。
………………………………………………………（ ） 6. 把一条绳子折成相等的三折，再把它折成相等的2折后，从中间用剪刀剪开，一共能剪成7
条。
………………………………………………………………………………………（ ）
三、选择题。
（共12分）
1.“圆,一中同长也”出自（ ）。
①《墨经》 ②《九章算术》 ③《周髀算经》 ④《孙子算经》
2．A 和B 同时从同一地点开始绕着环形跑道跑步。
沿同一方向跑，2小时后A 追上B ；沿相反方向
跑，1小时后第一次相遇。
两人跑步的速度比是（ ）。
①2∶1 ②3∶1 ③4∶1 ④无法确定
3．下列式子中，哪一个式子的值与其它三个式子的值不相等？（ ）。
①12×35×11×97
②2×30×77×97 ③15×14×11×97 ④21×20×11×97
4. 古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子
或小石子排列的形状把整数进行分类，如：1、3、6、10、……这些数叫做三角形数(如下图)。
·
· · ·
· · · · · ·
· · · · · · · · · ·
在下面的四个数中，( )不是三角形数。
①45 ②456 ③1830 ④5050
5. 将六个分数21
5,94,12011,451,83,358分成三组,使每组的两个分数的和相等,那么与451分在同一组的那个分数是（ ）。
① 358 ②83 ③94 ④12011 ⑤21
5 6. 有18瓶红酒，其中有一瓶分量不足，其余17瓶重量相等。
如果用天平称，至少（ ） 次
能找到分量不足的这瓶红酒。
①2 ②3 ③4 ④5
四、计算题。
（共9分）
（1）
=
（2）已知：12+22+32+…+n²=
求：1×2＋2×3＋3×4＋4×5+…+19×20+20×21+…+40×41
（3）
五、作图题。
（共3分）
下面五个图形都具有两个特点：（1）由4四个连在一起的同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个正方形有一条公共边。
我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。
A B C D E
如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同（如上图中的B与E），那么，这两个俄罗斯方块只算一种。
除上面四种外，还有几种俄罗斯方块，请你把所缺的全部画出来。
六、解决问题。
（共40分）
1. 快、慢两辆汽车同时从甲地开往乙地，快车每小时比慢车多行24千米，快车行驶4小时到达乙
地后，立即返回甲地，在离乙地60千米处与慢车相遇，求甲、乙两地的距离。
2.甲乙丙三个学生各拿出同样多的钱合买同样规格的练习本，买回来之后，甲和乙都比丙多拿了6
本。
因此，甲乙分别给丙3元，求练习本的单价。
3. 有四个数，每次选出其中三个数算出它们的平均数再加上另一个数。
用这种方法计算了四次，分
别得出以下四个数：86、92、100、106.那么，原来这四个数的平均数是多少？
4. 一个圆锥体容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水？
5. 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7……，把这个数列中两位及以上的数，全部隔开成一位数，
成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2……。
试回答以下问题：（1）自然数列（A）中的100这个数，个位上的数字0在自然数列（B）中是第几个数？为什么？
（2）自然数列（B）中的第100个数字，是自然数列（A）中哪个数的哪一位？它是什么数字？
为什么？
（3）到自然数列（B）的第100个数字为止，3这个数有多少个？
（4）求自然数列（B ）中前100个数的总和。
6. 某次考试有52人参加，每份试卷都有5道题，每题做错的人数统计如下： 题号
一 二 三 四 五 做错人数（人） 4 6 10 20 39
已知每人都至少做对一道题，做对一道题的有7人，五道题全对的有6人，做对二道和三道题的 人数同样多，那么做对四道题的有多少人？
7. 法国的一道益智游戏题：有一群骆驼，其中一部分睡着了，另一部分醒着。
在这种情况下，睡着
的骆驼数等于醒着的骆驼数的87再加上一个骆驼数的8
7。
如果睡着的骆驼中有一半醒来了，那么醒着的骆驼数最后就在25和65之间了。
而如果把所有睡着的骆驼都弄醒，那么醒着的骆驼数就等于多少？
8. 百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱买鸡百只，问：鸡
翁、母、雏各几何？。