电磁学练习题(毕奥—萨伐尔定律 (2))

恒定磁场的高斯定理和安培环路定理
1.选择题
1．磁场中高斯定理： ，以下说法正确的是：（ ）
⎰=∙s
s d B 0
A ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况
B ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况
C ．高斯定理只适用于稳恒磁场
D ．高斯定理也适用于交变磁场答案：D
2．在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为T ，方向与铅直线成60度角。

则
5
104-⨯穿过面积为1平方米的水平平面的磁通量 （ ） A ．0 B ．Wb
C ．Wb
D ．Wb
5
104-⨯5
102-⨯5
1046.3-⨯答案：C
3．一边长为l ＝2m 的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。

有一均匀磁场通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有（
)3610(k j i B
++=）
A ．0
B ．40 Wb
C ．24 Wb
D ．12Wb
答案：A
4．无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是和，则通过两个
1S 2S 矩形回路、的磁通量之比为：（ ）。

1S 2
S A ．1：2 B ．1：1
C ．1：4
D ．2：1
答案：B
5．均匀磁场的磁感应强度垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边线，作一半球面S ，
B
则通过S 面的磁通量的大小为（）
A ．
B ．
C ．0
D ．无法确定
B R 2
2πB R 2
π答案：B
6．在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单
B
位矢量与的夹角为，则通过半球面S 的磁通量为（ ）
n B
αA ． B ． C ．
D ．
B r
2
πB r
2
2παπsin 2
B r
-απcos 2B r -答案：D
7．若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布（ ）
A ．不能用安培环路定理来计算
B ．可以直接用安培环路定理求出
C ．只能用毕奥-萨伐尔定律求出
D ．可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出答案：D
8．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L 1和L 2，圆周内有电流I 1和I 2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L 2回路外有电流I 3，P 2、P 1为两圆形回路上的对应点，则：（）
A ．
B ．
212
1,P P L L B B l d B l d B =⋅=⋅⎰⎰ 212
1
,P P L L B B l d B l d B ≠⋅≠⋅⎰⎰
C ．
D ．
212
1
,P P L L B B l d B l d B ≠⋅=⋅⎰⎰ 212
1
,P P L L B B l d B l d B =⋅≠⋅⎰⎰
答案：C
9．一载有电流I 的导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足（）
A ．
B R =2B r B ．B R =B r
C ．2B R =B r
D ．B R =4B r 答案：B
10．无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a,b,电流在导体截面上均匀分布，则空间
各处的的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。

正确的图是（
B
）
s
(A) (B) (C) (D)
答案：B
11．如图所示，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均匀为I，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大（）
A．Ⅰ区域B．Ⅱ区域C．Ⅲ区域D．Ⅳ区域
答案：B
12．如图所示，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电
流为I，则下述式中哪一个是正确的（）
A．B．
I
l d
B
L
1
2μ
=
∙
⎰
I
l d
B
L
2
μ
=
∙
⎰
C．D．
I
l d
B
L
3
μ
-
=
∙
⎰
I
l d
B
L
4
μ
-
=
∙
⎰
答案：D
13．在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培环路定理可
知（）
A．，且环路上任意一点B=0
=
∙
⎰l d
B
L
B．，且环路上任意一点B≠0
=
∙
⎰l d
B
L
C．，且环路上任意一点B≠0
≠
∙
⎰l d
B
L
D．，且环路上任意一点B=常量
≠
∙
⎰l d
B
L
答案：B
14．如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流
I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度沿图中闭合路径L 的积分等于（
B
l d B L
∙⎰
）
A ．
B ．
C ．
D ．I 0μ3/0I μ4/0I μ3/20I μ答案：D
15．无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流。

设圆柱体内（r<R ）的磁感强度为
,圆柱体外（r>R ）的磁感强度为,则有 （ ）
i B e B A ．、均与r 成正比 B ．、均与r 成反比
i B e B i B e B C ．与r 成反比，与r 成正比 D ．与r 成正比，与r 成反比 i B e B i B e B 答案：D
16．若使半径为410
m 的裸铜线表面的磁感强度为T ，则铜线中需要通过的电
⨯3
-5
10
0.7-⨯流为 （
）
A ．0.14 A
B ．1.4 A
C ．2.8 A
D ．14 A 答案：B
17．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面。

现改变三根导线之间的相
互间隔，但不越出积分回路，则 （ ）
A ．回路L 内的不变，L 上各点的不变
∑I B
B ．回路L 内的
不变，L 上各点的改变∑
I B
C ．回路L 内的改变，L 上各点的不变
∑I B
D ．回路L 内的改变，L 上各点的改变
∑I B
答案：B
18．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为Ｒ，Ｘ坐标轴垂直圆
筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）～（D ）哪一条曲线表示Ｂ～Ｘ的关系？ [
]
答案：B
19．下列结论中你认为正确的是（ ）
A ．一根给定磁感应线上各点的
B 的量值相同；
B ．用安培环路定理可以求出有限长一段直线电流周围的磁场；
C ．的方向是运动电荷所受磁力最大的方向（或试探载流线圈所受力矩最大的方向）；
B
D ．一个不为零电流元在它的周围空间中任一点产生的磁感应强度也均不为零；答案：D
20．下列可用环路定理求磁感应强度的是 ( ) A ．有限长载流直导体； B ．圆电流； C ．有限长载流螺线管； D ．无限长螺线管。

答案：D
2. 判断题：
1．可用安培环路定律推导出毕奥-萨伐尔定律。

（ ）答案：错
2．只有电流分布具有某种对称性时，才可用安培环路定理求解磁场问题。

（ ）答案：对
3．对于多个无限长平行载流直导线的磁场问题，由于总的磁场强度不具备对称性，求解过程中不可用安培环路定理。

（ ）答案：错
4．对于有限长、断面是圆形的载流直导线的磁场问题，由于圆形断面具有对称性，所以可用安培环路定理来求解此导线在周围产生的磁场。

（ ）答案：错
5．对于圆形载流螺线管，当螺线管只有一层密绕线圈时，由于单位长度上的电流密度相同，而且螺线管具有某些几何对称性，所以可用安培环路定理来求出螺线管两端的磁场。

（ ）
答案：错
6．对于螺绕环，只有当环的孔径比环的平均半径小得多时，才可用安培环路定理来求解环内的磁场。

（ ）答案：错
7．对于载流螺线管内部，中部的磁感应线比两端的多。

（ ）答案：对
8．闭合曲线当中没有包含电流，说明闭合曲线中的磁感应强度处处为零。

（ ）答案：错
9．磁场的高斯定理，说明磁场是发散式的场。

（ ）答案：错
10．通过磁场的高斯定理可以说明，磁感应线是无头无尾，恒是闭合的。

（ ）答案：对
3. 填空题
1．一磁场的磁感应强度为，则通过一半径为R ，开口向Z 方向的半球壳，
k c j b i a B
++=表面的磁通量大小为 Wb
答案：c
R 2
π2．真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量= ϕ。

答案：0
3．若通过S 面上某面元的元磁通为d ,而线圈中的电流增加为2I 时，通过同一面元S d
ϕ的元磁通为，则d ：=
φ'd ϕφ'd 答案：1：2
4．均匀磁场的磁感应强度与半径为r 的圆形平面的法线的夹角为，今以圆周为边界，
B n
α作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面如图，则通过S 面的磁通量=。

ϕ
答案：α
πcos 2
B r -
5．S 是一流有恒定电流的闭合线圈，电流强度为I ，方向如图，试求磁感应强度沿闭合曲
线的环路积分为。

⎰⋅l d B
答案：I
02μ-6．一根很长的铜导线，载有电流2A ，在距离此导线0.01m 处的磁感应强度为 。

答案：T
5
104-⨯7．一根很长的圆形螺线管，沿圆周方向的面电流密度为i ，在线圈内部的磁感应强度为 。

答案：i
0μ8．一根很长的螺线管，总电阻20欧姆，两端连接在12V 的电源上，线圈半径2cm ，线圈匝数2000匝，在线圈内部距离轴线0.01m 处的磁场强度为 。

答案：
9．半径为R 的闭合球面包围一个条形磁铁的一端，此条形磁铁端部的磁感应强度B ，则通过此球面的磁通量 。

答案：0
10．如图所示，半径为的无限长直导线直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着cm 5.0的电流。

作一个半径为，长且与电流同轴的圆柱形闭合曲面，
A I 3=cm r 5=cm l 5=S 则该曲面上的磁感强度沿曲面的积分为。

B
答案：0
11．真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量
=φ。

答案：0
12．若通过S 面上某面元的元磁通为，而线圈中的电流增加为时通过同一面元
S d Φ
d I 2的元磁通为，则 。

Φ'd =Φ'Φd d :答案：1：2
13．在均匀弱场中，取一半径为的圆，圆面的法线与成角，如图所示，则通
B R n B
60过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面的磁通量。

S =m
φ答案：22
1
R B π-
14．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为，在外力矩的作用
σ下，圆筒从时刻开始以匀角加速度绕轴转动，在t 时刻圆筒内离轴为r 处的磁感应
0=t β强度大小为 。

答案：t
R βσμ015．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为，以匀角速度绕σω轴转动，在圆筒内的磁感应强度大小为 。

答案：
4. 计算题
1．一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱和一同轴的圆筒组成，设圆柱的半径为，圆1R 筒的内外半径为和。

在这两个导体中，有大小相等而方向相反的电流流过，如图。

2R 3R I 试求电缆产生的磁场磁感强度的分布,并用图形表示。

a
t h
解： 在电缆的横截面内，以圆柱的轴为圆心，作不同半径的圆为环路。

利用安培环路定理，可求得不同场点的磁感强度。

（1）当时，有
1R r <， （2分）I R r r B l d B ⎰=∙=∙212
02ππμπ 21
02R Ir B πμ=（2）当时，有
21R r R <<， （2分）I r B l d B ⎰=∙=∙02μπ r
I
B πμ20=（3）当时
32R r R <<，[
]
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡---=∙=∙I R R R r I r B l d B 2
2232220)(2ππμπ （2分）2
2232
2302R R r R r I B --=
πμ（4）当时
3R r >，
（2分）
⎰=-=∙=∙0)(20I I r B l d B μπ
0=B B-r 的关系如图所示。

（2分）
012I R μπ02
2I R μπ
a
n h i 2．一多层密绕螺线管，内半径为，外半径为长为，长为，如图所示。

设总匝数1R 2R l 为N ，导线中通过的电流为。

试求这螺线管中心O 点的磁感强度。

I 解 在螺线管中取一原为的密绕导线薄层,由螺线管磁场计算公式，得该薄层在其中心dr O 点的磁感强度
（3分）
θμθθμcos )cos (cos 2
0120
ni ni dB =-=
其中n 为单位长度的匝数，则有
，dr l
R R N
n )(12-=2
2)2
(2cos l r l +=
θ
代入得
（3分）
2
2120
2
2120
)2
()
(2)2
(2)(l r dr R R NI l r l dr
l
R R NI
dB +-=+-=μμ整个螺线管在O 点产生的磁感强度
g （3分）
2
2112
2
22120221
20)2
()2(ln
)(2)2()(221l R R l R R R R NI l r dr R R NI dB B R R ++++-=+-==⎰⎰μμ3．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为，半径为R ，绕其轴线匀速转动，角速度为ρ试求：
w （1）圆柱体内距轴线r 处的磁感强度（2）两端面中心处的磁感强度
解 （1）体内均匀带电的长直圆柱体以角速度旋转时，等效为一个多层的同轴密绕螺w 线管。

在管外，r>R 处，B=0。

在管内距轴线处，作如图所示的积分回路，由安培环路定理得
r （2分）
I dl ∆=∙⎰0
μB 而，代入得π
ρπ2)(22w
l
r R I ∆-=∆ （2分）)(2
1
220r R w B -=
ρμ将r=0代入，得中心轴线的磁感强度
（3分）202
1
R w B ρμ=
（2）端面中心处的磁感强度为中心轴线处的一半，即 （3分）
2
041R w B ρμ=4．一无限大均匀载流平面置于外磁场中，左侧的磁感强度为，右侧的磁感强度为
1B ，方向如图12-19所示。

试求：
123B B =（1）载流平面上的面电流密度；（2）外磁场的磁感强度0
B
解（1）作闭合回路abcda,
由安培环路定理得
（2分）
l j l B B
l B l B dl ∆=∆-=∆-∆=∙⎰011
1
2
)3(μB 所以 方向垂直纸面向外。

（2分）
1
2μB j =
（2）面电流产生的磁场，在右边磁感强度的方向沿z 轴正向，左边沿z 轴负向，量值是。

（1分）j B 0'
2
1
μ=
设外磁场为，由场强叠加原理：，即
k j i B z y x B B B 0000++='
02B B B += （2分）jk k j i k 000012
1
3μ+
++=z y x B B B B 所以，， 00=x B 00=y B 10
10102221
3B B B B z =-
=μμk 即1
02B B =方向沿z 轴正向。

（3分）
5．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体通过等值，反向的电流，电流在两个阴影
I 所示的横截面内均匀分布。

设两个导体横截面的面知皆为S ，两圆柱轴线间距为d 。

试求两导体中部分交叠部分的磁感强度。

d
A
解：初看起来，导体中的电流不具有柱对称性。

但是若将两载流导体视为电流密度
的S
I 圆柱体，由于其电流方向相反，则重叠部分的磁感强度可视为两个长直截流的完整圆柱体
在场点的磁感强度的叠加。

每个长直圆柱电流的磁场则分别具有对称性，并可用安培环B 路定理求得，因此
（2分）
102110122r S
I
r S I r B μππμ==
（2分）
202220222r S
I
r S I r B μππμ==
取垂直纸面向外的单位矢量为、沿指向，则
k
d
1O 2O 2O ， （2分）
1012r k S I B ⨯=μ202)(2r k S I B ⨯-=μ （2分）
d k S
I r r k S I B B B ⨯=-⨯=+=2)(2021021μμ上式说明重叠部分空间的磁感强度与场点无关，即均匀分布的，其方向垂直向上，
1O 2O 数值为
.。

（2分）
S
Id
20μ6．空间某区域的磁感强度分布如图所示，方向平行于y 轴，其量值随x 而变化。

试求
该区域中电流密度的量值及方向。

解 由题意
a
n
解：由题意 （1分）⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-≤-≥≤a
x B a x B a
x x a B x B y 00
0)(在区间作如图所示的闭合回路，由安培环路定理得
a x <<0，
，或jdx x a
B dx x a B 00
0)(μ=-+a B j 00μ=
（3分）
k a
B j 00μ=同理，在区间
a x a <<-
（3分）
k a
B j 00μ=在区间，作如图所示的闭合回路，由于B 为恒值，由安培环路定理得
a x a x -<>,。

0=j （3分）
7．一橡皮传输带以速度v 匀速运动，如图所示。

橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为，试求橡皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度。

σ
解 由于所述场点位于传输带中部极靠近带平面，因此，相对于该场点，带有电荷的传输带可以视为无限大电流平板，电流线密度
（3分）
σv j =取如图所示的回路abcd
，由安培环路定理
（3分）
⎰==+=∙lj I Bl Bl l d B 00μμ
所以 （2分）v B σμ02
1
=
设带电荷平面法线方向的单位矢量为，则可表示为
n e
B （2分）
n e v B
⨯=σμ02
18．在半径为a 的金属长圆柱体内挖去一半径为b 的圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d,如图所示。

今有电流沿轴线方向流动，且均匀分布在柱体的截面上。

试求空心部分中I 的磁感强度。

l t 解 圆柱中挖去了一部分后使电流的分布失去对称性。

因此采用“补偿法”。

将挖去部分
认为同时存在电流密度为和的电流，这样，空心部分任一点的磁场可以看成由半
j j -B
径为，电流密度的长圆柱体产生的磁场和半径为b 、电流密度为的长圆柱体产
a j 1B
j -生的磁场的矢量和，即
2B
（2分）
21B B B
+=由安培环路定理可求得
， （3分）
rj B 2
1μ=
j r B '0
22
μ=
式中和分别为由两圆柱体轴线到空心部分任一点P 的径矢。

注意到与垂直，
r '
r 1B 1r
与垂直，可得
2B 2r
4)(2424)(4)(cos 22
'
22
'22'2
02'020212
2
2
1dj rr d r r j rr j rr rj B B B B B μμμμθ=
-+∙-+=-+= （2分）由于圆柱体剩余部分中的电流密度,代入得
)
(22b a I
j -=
π
t n
g （2分）
)
(22
2
0b a Id
B -=
πμ由几何关系可以得到，的方向与两轴线的连线相垂直，故此空心部分内为均匀磁场。

B
（1分）
9．如图所示的长空心柱形导体半径分别为和，导体内载有电流I ，设电流均匀分1R 2R 布在导体的横截面上。

求
（1）导体内部各点的磁感应强度。

（2）导体内壁和外壁上各点的磁感应强度。

解：导体横截面的电流密度为
（2分）
)
(2122R R I
-=
πδ在P 点作半径为r 的圆周，作为安培环路。

由
⎰∑=∙I l d B 0μ
得 （2分）
21
22
212021
2
0)
()(2R
R R r I R r r B --=
-=μδπμπ即 （2分）)
(2)
(212
22120R R r R r I B --=πμ对于导体内壁，，所以 （2分）1R r =0=B 对于导体外壁，，所以 （2分）2R r =2
02R I
B πμ=
10．厚度为2d 的无限大导体平板，体电流密度j 沿z 方向，均匀流过导体，求导体内外的
磁感应强度。

（10分）
解：厚为2d 的无限大导体平板其磁场的对称性特点与无限大平面相似，建坐标系OXYZ ，O 在板的中部，以O 1O 2为对称轴取回路ABCD
如图所示。

O 1A=O 1D=O 2B=O 2C ，AB=CD=h （1）当O 1A>d 时，求得的是板外的磁场分布情况由环路定理。

B 为常数，
()()分
分
2jd B ,dh 2j Bh 2,2dh 2j l d B 00
0L μμ
μ===⋅⎰
与距板的远近无关，左右两边分别为匀强磁场，在y>0的空间，的方向指向X 轴负方向，
B
在y<0的空间，的方向指向X 轴正方向B
（2）当O 1A<d 时，求得的是板内的场强分布情况
（2分）。

的方向：y>0，
()jy B ,2yh 2j Bh 2,d y ,yh 2j l d B 000L μμμ==<=⋅⎰'
分
B
与X 轴正方向相反，y<0，与X 轴正方向相同（2分）
B B。