九年级数学第七讲：相似图形的判定、相似三角形的应用—黄金分割

九年级数学第七讲：相似图形的判定、黄金分割和
相似三角形的应用
一、知识点归纳：（一）1、形状相同的图形
①表象：形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例
2、相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).
3.相似多边形性质：①相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
②相似多边形周长的比等于相似比.
③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
（二）相似三角形的判定方法：表示方法：△ABC∽△DEF。

1、三边对应成比例的两个三角形相似；
2、两角对应相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且夹角相等；
4、定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（三）把矩形ABCD 的长AB 与宽BC 画在同一条直线上，此时点B 把线段AC 分成两部分，如果
AB BC
AC AB
，那么线段AC 被点B 黄金分割。

（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）
BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.
注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；
（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
（四）利用阳光下的影子测量旗杆高度
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形.即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据
可得BC=
，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
二、典型例题讲解：1、
已知；如图，D是AC上一点．BE∥AC，BE＝AD。

AE分别交BD、BC于点F、G。

∠1＝∠2。

求证：
＝FG·EF。

2、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相
交于点F.则BD2=AD·DF成立吗?请说明理由.
3、如图，在
中，
，
是
边上的高，
是
边上的一个动点（不与
重合），
，
，垂足分别为
．
（1）求证：
；
（2）
与
是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当
时，
为等腰直角三角形吗？并说明理由．
4、如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
三、强化训练：1、.下列判断正确的是（）
A. 两个直角三角形相似
B.两个相似三角形一定全等
C.凡等边三角形都相似
D.所有等腰三角形都相似
2、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，
④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）
(A)②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥
3、如下左图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2，那么S1：S2的值为（）
A.
B.
C.
D.
4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为
（）
A、
B、
C、
D、5（5—
）
5、已知：上中图中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC= 。

6、如上右图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则。

7、如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为
60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。

8、在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度
为 (精确到0.1m)．
9、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．
10、如左图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）
11、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB ＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设
＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．
12、如图：矩形ABCD中，BC＝12 cm，CD＝6 cm，点P沿CB边从点C开始向点B以每秒2 cm的速度移动，点E沿DC边从点D开始向点C以每秒1 cm的速度移动，如果P、E同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6），
那么：⑴当t为何值时，△CPE为等腰三角形；
（2）请计算四边形APCE的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以C、P、E为顶点的三角形与△BAC相似。