2.2.2等差数列的通项公式
等差数列(2)
an a1 d n1
an am d nm
□课前练习 2. 在3与27之间插入7个数，使它们成为等差 数列，则插入的7个数的第四个数是( D ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 3. 已知三个数成等差数列，它们的和为18，
它们的平方和为116，求这三个数.
☆可设这三个数为：a-d，a，a+d
□课前练习 1.①等差数列{an}是首项 a3＝4，a4＝3， 则公差d＝ -1 . ②等差数列{an}是首项 a1＝0，a6＝2005， 则公差d＝ 401 . ③等差数列{an}是首项 a3＝1，a8＝2006， 则公差d＝ 401 .
总结： 有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
(2)若a3＋a8＝9 , 则 a5＋a6 =
思考：还有其他解法吗？
9
.
例2. 数列{an}的通项公式为an＝pn＋q， 其中p、q为常数，且p≠0， 那么这个数列一定)- [p(n-1)＋q] ＝p ，
则p是与n无关的常数， 故{an}是等差数列.
2. 作业本 1-9.
这个等差数列的首项与公差分别是多少？ 首项a1＝p＋q 公差d＝p.
分别作出数列{an}通项为an=3n+5与 函数y=3x+5的图像，并说明有何区别.
an=3n+5
a1=8，d=3
y=3x+5
课堂小结
1. 等差数列的性质；
2. 判断数列是否为等差数列常用的方法．
课后作业
1. 课本P.40 第1题；
4. 已知四个数成等差数列，它们的和为28，
中间两项的积为40，求这四个数. ☆可设这三个数为：a-3d，a-d，a+d，a+3d
2.2.2等差数列的性质
[小组合作型]
灵活设元解等差数列
已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求 这四个数．
【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？ (2)等差数列相邻四项和为 26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？
【自主解答】
法一
设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意，得 a＝2， b＝5， 解得 c＝8， d＝11 a＝11， b＝8， 或 c＝5， d＝2，
【答案 ③④
2．在等差数列{an}中，若 a5＝6，a8＝15，则 a14＝
.
【解析】 ∵数列{an}是等差数列， ∴a5，a8，a11，a14 也成等差数列且公差为 9， ∴a14＝6＋9×3＝33.
【答案】 33
3． 在等差数列 {an}中， 已知 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 则 a2＋a8＝
2．等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋n＝p＋q， 则 am＋an＝ ap＋aq .
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和 ， 即 a1＋an＝a2＋an－1＝„＝ak＋an－k＋1＝„.
第 2 课时
等差数列的性质
1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.重点、易错点 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.难点
[基础· 初探]
教材整理
等差数列的性质
阅读教材 P39 探究及练习第 4,5 题，完成下列问题． 1．等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 当 d＝0 时， an 是一固定常数； 当 d≠0 时，an 相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条 直线上的一列孤立的点．
§2.2.2等差数列(二)
∴
cn 11 (n 1) 12 12n 1
又∵ a100 302 ，
b100 399 ∴ cn 12n 1 302
∴ n 25.25 ，知数列有25个共同项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 17
§2.2.2等差数列(二)
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 21
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
∵
4 n k 1, 而 n N , k N 3
∴ k 必须为3的倍数，设 k 3r (r N ), 得n 4r 1 由条件知 又∵ r N
1 3r 100 1 101 , 解得 r 2 4 1 4r 1 100
，∴
1 用递推关系an 1 (an an 2 )给出的数列 2 也是等差数列。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§2.2.2等差数列(二)
3．有几种方法可以计算公差d
(1)d an an1
2013-1-19
an a1 (3)d an am (2) d nm n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.2.2等差数列(二)
4.等差数列对称项设法： (1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,… (2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用 对称项设出这个数列，则其各项和为na．
2.2.2等差数列的通项公式
高度 （km）
1
2
3 4 5 6 78
温度 （℃）
28 21.5 15 8.5
2 -4.5 -11 -17.5
思考：以上这些数列有什么共同特点？
等 文字语言：
差 数
一般地， —如差这—果都个—一等常—个于数—同数叫—一列做——个从等——常第差——数二数——项列，—起的那—，么公—每这差—一个，—项数公—减列差—去就通—它叫常—的做用—前等d—表一差—示项数—。所列—得；—的—
等差数列
第一课时
复习回顾：
数列的概念、通项公式与递推公式、数列的表示与分类
按照一定次序排列的一列数称为数列； 数列中的每个数都叫做这个数列的项。 一般写成a1、a2、a3、……an、……简记为{an}。 第一项（首项）为a1，第二项为a2，……，第n项为an。 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示， 这个公式就叫做这个数列的通项公式。
只要知道首项a1和公差d就可以确定通项公式。 在这个数列中，a1=-1，a5=7， 根据a5=a1+4d，就可以确定公差d了。 这样就可以求出该数列的通项了。
巩固练习：
（1）求等差数列2、9、16、……的第11项；并判断 102是否为该数列中的项，如果是，是第几项？如果不 是，说明理由。
（2）已知a1=9，d=-2，an=-15，求n。 （3）已知a1+a6=12，a4=7，求a9.
从而 a100=4+3×99=301 =a1+99d 那么an=？？？
等 等差数列{an}，首项为a1，公差为d。 an=a1+(n-1)d
差 根据等差数列的定义，我们有： 数
列
a2-a1=d
必修5课件2.2.2等差数列的通项公式
2在数列 an 中, 如果对于任意的正整数n n 2, 都有
an 1 an 1 an , 那么 an1 an an an1 n 2. 2 这表明, 这个数列从第2 项起 , 后一项减去前一项所 得的差始终相等, 所以数列 an 是等差数列.
an1 an 1 所以有 an . 2
2 . 2 . 2 等 差 数 列的 通 项 公 式
观察等差数列 an : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ,
如何写出它的第 项呢 ? 100
我们有 a1 4 , a2 7 4 3 , a3 10 4 3 2 ,
a4 13 4 3 3 ,
an a1 n 1 d .
证 因为 an 为等差数列, 所以当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a1 d , an an1 d .
将上面 n 1 个等式的两边分别相加 , 得
an a1 n 1 d , 所以 an a1 n 1 d .
例6 如图, 三个正方形的边 AB, BC , CD的长组成等差数 列, 且AD 21cm, 这三个正方 形的面积之和是179cm 2 C B A D 21cm 1求AB, BC , CD 的长 ; 2以 AB, BC , CD 的长为等差数列的前三 ,以第10 项为边长 项 的正方形的面积是多少 ? 解 1 设公差为d d 0, BC x , 则 AB x d , CD x d . x d x x d 21 , x 7, x 7,舍去. 解得 则 或 2 2 2 x d x x d 179, d 4 d 4 所以 AB 3 cm, BC 7 cm, CD 11 cm.
等差数列(二)
2.2.2 等差数列(二)教学目标：1.明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2.培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一.复习回顾等差数列定义：a n－a n－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n ≥1)，推导公式：a n＝a m＋(n－m)d二.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A 应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝a＋b2.反之，若A＝a＋b2，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.总之，A＝a＋b2a，A，b成等差数列.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92＝3＋112＝1＋132.看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a 1＝33，a 12＝110，n ＝12.由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ，即：110＝33＋11d ，解得：d ＝7. 因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数就行了.解：取数列{a n }中的任意相邻两项a n －1与a n (n ≥2)，a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列，且公差是p .在通项公式令n ＝1，得a 1＝p ＋q ，所以这个等差数列的首项是p ＋q ，公差是p .看来，等差数列的通项公式可以表示为：a n ＝pn ＋q （其中p 、q 是常数）当p ＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y ＝q 的图象上.当p ≠0时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数 列的各点均在一次函数y ＝px ＋q 的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：a n ＝2n －1，相应的图象是直线y ＝2x －1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x －d 、x 、x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝15（x －d ）2＋x 2＋（x ＋d ）2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)×3＝4n －3项.（1）当n ＝12时，4n －3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n －3＝29，解得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为dm ＋1，原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)m ＝(m ＋1)n －m 项.［例5］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝4 ①（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ② ①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d )＝7 ③ ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d )＝8即16－25d 2＝7，解得d ＝±35. 当d ＝35 时，a 1＝－15 ，a n ＝－15 ＋(n －1)·35 ＝35 n －45当d ＝－35 时，a 1＝415 ，a n ＝415 ＋(n －1)·（－35 ）＝－35 n ＋445. 分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法二：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8a 3·a 13＝7 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1a 13＝7 或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7a 13＝1 由a 3＝1，a 13＝7得d ＝a 13－a 313－3 ＝7－110 ＝35. ∴a n ＝a 3＋(n －3)·35 ＝35 n －45由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n ＝－35 n ＋445. 评述：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 18＝12及a 3a 8a 13＝28就无法求出a 3，a 8，a 13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8.三.课堂练习课本P36练习已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1，a2，…，a m，a m+1，…，a n，…若去掉前m项，则新数列为：a m+1，…，a n，…，即首项为a m+1，公差为d的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，…，a n，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，…，a2m－1，…即，首项为a1，公差为2d的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，a n，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.四.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝a＋b2与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.五.课后作业课本P39习题 4，5，6，7教后感:本节课首先检查了上节课的掌握情况，结果令人满意。
(完整版)等差数列(第二课时)
探究
已知数列{an} 通项公式为an=pn+q (p、q是
常数),那么这个数列一定是等差数列吗？
若把条件和结论互换， 此说法是否仍然成立？
结论 : 数列an为等差数列 an pn q
其中p为公差.
判断一个数列是等差数列的常用方法 证明一个数列是等差数列常用的方法有： (1)定义法：利用 an－an－1＝d(常数)(n≥2 且 n∈N＋)等价 于{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N＋)等价于 {an}是等差数列． (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数 列．
等差数列an中，若m n p q,那么
am an与ap aq间存在什么样的关系？
等差数列的性质：
数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p，则am+an=2ap。
等差数列的性质应用
[典例] (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋
数列an是等差数列 ， an pn q(其中p为公差)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
小试牛刀
(1)设 c, b 为常数，若数列{an} 为等差数列，则数 列{an b} 及{c an b} 为等差数列.
(2) 设 p, q 为常数，若数列 {an}、{bn}均为等差数列， 则数列 { p an q bn } 为等差数列.
&2.2.2等差数列的前n项和公式
等差数列前n 等差数列前n项和公式
2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n − 1)d
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
1。对于这两个公式分别有四个未知数，如果 已知其中的任何三个可以求另外一个 2。请注意这两个公式的灵活运用
1 练习： 的前n项和为 练习： 已知数列 {an } 的前 项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。这个数列是等 差数列吗？如果是，它的首项与公差分 差数列吗？如果是， 别是什么？ 别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多 少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3项 和与前11项和相等,问此数列的前多少项和 最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12, 且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
an − an −1 = d (n ≥ 2且n ∈ N * ) 1．等差数列的定义 ．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：(1)an = a1 + (n − 1)d ．等差数列的通项公式： (2)an = am + (n − m)d
a+b 3．等差中项：A = 2 ⇔ a, A, b 成等差数列 ．等差中项：
实际上高斯解决了1+ 2 + 3 + ... + n + ... 等差数列的前 n 项和的问题
1 + 2 + ... + n-1 + n n + n-1 + ... + 2 + 1
2.2 等差数列
2.2 等差数列1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）2、等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=。
3、等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+课堂训练 一.选择题。
1.2005是数列7,13,19,25,31,, 中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列3.若a ∈、b 、c R ，则“2b a c =+”是“a 、b 、c 成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A. 83d >B. 3d <C. 833d ≤<D. 833d <≤ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++， ，32313n n n a a a --++，是（ ）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项. 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12.已知(1)2f =，2()1(1)()2f n f n n N +++=∈，求(101)f .同步提升例1若{a n }是等差数列,a 15＝8,a 60＝20,求a 75.【解答】设{a n }的公差为d .方法一由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.方法二∵a 60＝a 15＋(60－15)d ,∴d ＝a 60－a 1560－15＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.【总结】方法一.先求出a 1,d ,然后求a 75;方法二.应用通项公式的变形公式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【变式1】在等差数列{a n }中,已知a m ＝n ,a n ＝m ,求a m ＋n 的值.【解答】方法一设公差为d ,则d ＝a m －a n m －n ＝n －mm －n＝－1, 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.方法二设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ,b 为常数), 则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1,b ＝m ＋n .∴a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0. 二.等差数列的性质例2已知等差数列{a n }中,a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45,求此数列的通项公式. 【解答】∵a 1＋a 7＝2a 4,a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15, ∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45,∴a 2a 6＝9,即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9, (5－2d )(5＋2d )＝9,解得d ＝±2. 若d ＝2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3; 若d ＝－2,a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .【总结】要求通项公式,需要求出首项a 1和公差d ,由a 1＋a 4＋a 7＝15,a 2a 4a 6＝45直接求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝2a 4问题就简单了.【变式2】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 【解答】设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.三.等差数列的判断例3已知数列{a n }满足a 1＝4,a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),令b n ＝1a n －2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.分析计算b n ＋1－b n ＝常数,然后求出b n ,最后再由a n 与b n 的关系求出a n .(1)证明∵a n ＝4－4a n －1 (n ≥2),∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *). ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12.∴b n ＋1－b n ＝12,n ∈N *.∴{b n }是等差数列,首项为12,公差为12.(2)解b 1＝1a 1－2＝12,d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2,∴a n ＝2＋2n. 【总结】判断一个数列{a n }是否是等差数列,关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数.【变式3】若1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明∵1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b 是等差数列,∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a .∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2∴a 2＋c 2＝2b 2,∴a 2,b 2,c 2成等差数列. 【小结】1.证明数列{a n }为等差数列的方法(1)定义法:a n ＋1－a n ＝d (d 为常数,n ≥1)⇔{a n }为等差数列或a n －a n －1＝d (d 为常数, n ≥2)⇔{a n }为等差数列.(2)等差中项法: 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列.(3)通项法:a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )⇔{a n }是等差数列,只要说明a n 为n 的一次函数, 就可下结论说{a n }是等差数列.2.三个数成等差数列可设为:a －d ,a ,a ＋d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ;四个数成等差数列可设为: a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d 或a ,a ＋d ,a ＋2d ,a ＋3d . 一.选择题1.在等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.－8 【解答】A2.已知等差数列{a n }中,a 2＝－9, a 3a 2＝－23,则a n 为( )A.14n ＋3B.16n －4C.15n －39D.15n ＋8 【解答】C解析∵a 2＝－9, a 3a 2＝－23,∴a 3＝－23×(－9)＝6,∴d ＝a 3－a 2＝15,∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝－9＋(n －2)·15＝15n －39.3.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4＝12,a 2＋a 4＝8,则数列{a n }的通项公式是( )A.a n ＝2n －2 (n ∈N *)B.a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C.a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D.a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 【解答】D解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,即a n ＝8＋(n －1)(－2),得a n ＝－2n ＋10.4.等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 【解答】C解析方法一设{a n }首项为a 1,公差为d ,a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝5a 1＋20d 即5a 1＋20d ＝450,a 1＋4d ＝90,∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180.方法二∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8,∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝52(a 2＋a 8)＝450,∴a 2＋a 8＝180.5.一个等差数列的首项为a 1＝1,末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数,那么项数n 的取值个数是( )A.6B.7C.8D.不确定 【解答】B解析由a n ＝a 1＋(n －1)d ,得41＝1＋(n －1)d ,d ＝40n －1为整数.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个.二.填空题6.若m ≠n ,两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为______.【解答】43解析n －m ＝3d 1,d 1＝13(n －m ).又n －m ＝4d 2,d 2＝14(n －m ).∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43.7.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 4＝6,a 6＝4,则a 10＝______.【解答】125解析 1a 6－1a 4＝14－16＝2d ,即d ＝124.∴1a 10＝1a 6＋4d ＝14＋16＝512,∴a 10＝125. 8.已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m －n |＝______.【解答】12解析由题意设这4个根为14, 14＋d , 14＋2d , 14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2,∴d ＝12,∴这4个根依次为14, 34, 54, 74, ∴n ＝14×74＝716,m ＝34×54＝1516或n ＝1516,m ＝716,∴|m －n |＝12.三.解答题9.等差数列{a n }的公差d ≠0,试比较a 4a 9与a 6a 7的大小. 【解答】设a n ＝a 1＋(n －1)d ,则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11da 1＋30d 2)＝－6d 2<0,∴a 4a 9<a 6a 7.10.已知数列{a n }满足a 1＝15,且当n >1,n ∈N *时,有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ,设b n ＝1a n,n ∈N *.(1)求证:数列{b n }为等差数列.(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(1)证明当n >1,n ∈N *时, a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4,且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n＝14n ＋1,n ∈N *. ∵a 1＝15,a 2＝19,∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145,∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11,∴a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.2.2 等差数列课堂训练参考答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219.23n - 10.811.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12.∵(1)2f =，2()1(1)2f n f n ++=，∴1(1)()2f n f n +-=，∴{}()f n 是以2为首项，12为公差的等差数列，∴13()22f n n =+，∴(101)52f =.。
苏教版数学必修五：2.2.2等差数列的通项公式(2)作业纸
课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2） 总第____课时班级_______________姓名_______________1．已知在等差数列{}`n a 中，15-=a ，4=d ，则=n a ． 2．已知在等差数列{}`n a 中，22=a ，43=a ，则=10a ． 3．已知在等差数列{}`n a 中，1261=+a a ，74=a ，则=3a ． 4．已知在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，则=3a ______． 5．已知在等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，则127a a a +++= ．6．数列{}n a 中，23=a ，17=a ，且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则=11a ．7．设{}n a 是公差为-2的等差数列，若a 1+ a 4+ a 7+…+a 97=50，a 3+a 6+a 9+…+a 99=_______.8．已知等差数列{}`n a 中，14715a a a ++=，24645a a a =，则=d ． 9．在等差数列{}`n a 中，已知q a p =，()q p p a q ≠=，则=+q p a ． 10．数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 1＝－6，则a 10＝_____. 11．在等差数列{}n a 中,已知467632=+++a a a a ,7672=a a ,求其通项公式.12．(1)在数列{}n a 中，5,131==a a ,且)(221*++∈+=N n a a a n n n ,求{}n a 的通项公式;(2)数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，求{x n }的通项公式.13．已知数列{a n }中，a 1=0, a 2=1，1(1)n n n a na +-=),2(*∈≥N n n ．(1)证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (2)设12+=n a n b ，试问数列}{n b 中是否存在三项，他们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由.三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]2．填空题具体订正：_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
高中数学第2章数列2等差数列的通项公式课件必修5高二必修5数学课件
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若 a2＝1，a6＝9，则 d＝a66－－2a2＝2， 所以 an＝a2＋(n－2)d＝2n－3. 若 a2＝9，a6＝1， 则 d＝a66－－2a2＝－2， 所以 an＝a2＋(n－2)d＝13－2n. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－3 或 an＝13－2n.
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【解析】 (1)因为此等差数列的公差 d＝2， 所以 an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即 2 016＝2n＋2， 所以 n＝1 007. (2)由已知有aa51＝ 2＝aa1＋ 1＋（（51－2－1）1）d，d， 即1301＝ ＝aa11＋ ＋411dd，， 解得 a1＝－2，d＝3.
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2.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105， a2＋a4＋a6＝99，则 a20＝________． 解析：法一：因为 a1＋a3＋a5＝105， 即 3a3＝105，解得 a3＝35， 同理 a2＋a4＋a6＝99，得 a4＝33， 因为 d＝a44－ －a33＝33－1 35＝－2. 所以 a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.
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(1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为 n＝24 也满足条件． (2)由通项公式计算时，易把公式写成 an＝a1＋nd，导致结果错 误． (3)等差数列通项公式中有 a1，an，n，d 四个量，知三求一， 一定要准确应用公式．
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等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然 后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 m＋n＝ p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq＝2ar.
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一、判断下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； √
√ ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……；
③. 1，2，1，2，………………；
×
④. 1，2，4，6，8，10， ……；× ⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
√
二、填空题：
∴｛pan+qbn｝是等差数列
思考：等差数列的判定方法有哪些?
①｛an｝成等差数列 an+1－an=d(常数)（n∈N*） ② ｛an｝成等差数列 2an+1=an+an+2
(n∈N*）
③ ｛an｝成等差数列 an=kn+b(k、b为常数,n
例4.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽 110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差 数列，计算中间各级的宽度.
则n = 13
13 6
；
(4) 已知{an}为等差数列，若a10= 5 ，d= 2 ，则
2 3
a3=
.
（5）在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
新课讲解
例1 在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及
思考
你能得到什么一般结论吗？
等差数列an 中, * 若m n p q(m, n, p, q N ), 则
am an a p aq
这个命题的逆命题成立吗？
举例
例2、在等差数列{an}中
(1)若a59=70，a80=112，求a101； (2)若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；
举例
例5
解： 则
解得： 所以：
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数 的积为 12 ，求此三数. 6，4，2或2，4，6 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101；a101=154 (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
(1) 等差数列8,5,2,…，的第20项是
-49
；
在等差数列{an}的通项公式 anan=-4n-1 ； = -5+(n-1).(-4) (2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是 中a1、d、an、n 3 (3) 已知{an}为等差数列，若a1=3，d= 任知 个，可求 . 2 ，an=21，
ac b 2
2b= a+c
【说明】
an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm
练习：已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，
求a14及公差d.
分析： 由a4+a5+a6+a7=56得 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得 a4= 17 或 a7= 11
a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
（2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
3 ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2
练习
已知an 为等差数列,下列结论是否成立:
2a5 a3 a7 , 2a5 a1 a9 ;
解：设各级的宽度成等差数列{an},公差为d 由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通项公式，得a12＝a1＋（12－1）d， 即110＝33＋11d，解得：d＝7. a2＝33+7＝40，a3＝40＋7＝47， a4＝54， a5＝61，a6＝68，a7＝75， a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 答（略）
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
举例
例3.已知三个数成等差数列，其和15， 其平方和为83，求此三个数.
解：设此三个数分别为x-d，x，x+d，
(x-d)+x+(x+d)=15
(x-d)2+x2+(x+d)2=83
则
解得x＝5，d＝±2.
∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.
ap+q =0
4.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、 ab b、c互不相等，则 为（ ） C bc a c b a A. B. C. D. b a c c
5.已知等差数列{an}的公差d＝1，且a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么a2+a4+a6+·+a98的值等于 · · （C ） A.97 B.95 C.93 D.91
3.已知数列{an} 的通项公式为an 19 2n(n N )
*
问数列从第几项开始小于0？
已知｛an｝、｛bn｝是项数相同的两 个等差数列，那么｛pan+qbn｝(其中p、q 是常数）是不是等差数列？
答：｛pan+qbn｝是等差数列 证明：设等差数列｛an｝,｛bn｝的公差分别为 d1,d2, 则an－an－1=d1,bn－bn－1=d2 ∵(pan+qbn)－(pan－1+qbn－1)=p(an－an－1)+q(bn－ bn－1)=pd1+qd2 而pd1+qd2是与n无关的常数
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列 有多少项在300到500之间？40
2 2 提示：d=5, 300< an=78+5n <500 44 n 84 5 5
n=45，46，…，84
(3)若a12=20，a42=140， 求a10，a40，a27 (4)若a2=20，a12=10，求a40，a30，a7
等差数列的性质2
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
（ an= a1+(n-1) d an= kn + b k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项.