数字信号处理1-1 序列

常用序列

矩形序列 1
0 1 与

2 3 4
n
的关系:
复指数序列的虚部
复指数序列
，式中ω0为数字频率
复指数序列的实部
17
常用序列
复指数序列实部与虚部示意图：
18
常用序列
令 则有： 余弦与正弦序列示意图： 中σ = 0
常用序列的matlab实现
19
序列的周期

定义 若序列 x(n) 满足
x ( n) x ( n N )
离散卷积的性质与计算 1、卷积的性质： 可交换性：
35
单位脉冲响应与离散卷积
结合性：
分配性：
36
单位脉冲响应与离散卷积
2、卷积的计算 包括以下四个步骤：反褶、 移位、相乘、求和 1) 反褶：先将 x(n) 和 h(n) 中的变量 n 换成 m，变成 x(m) 和 h(m)，再将 h(m)以m 0 为轴反褶成 h(m)。 2) 移位：将h(m)移位 n ，变成 h(n m)。n为正数， 右移 n 位， n 为负数，左移 n 位。 3) 相乘：将 h(n m)与 x(m)在相同的对应点相乘。 4) 求和：将所有对应点乘积累加起来，就得到 n 时刻 的卷积值。对所有的 n 重复以上步骤，就可 得到所有的卷积值 y (n) 。
n=0时
3/2
1/2
3/2
n
m
－1 0 1
m
n＝1>0右移
40
例 1-2-2
x(m) 1 1/2 0 1 2 3 m 3/2 1 0 1 2 m h(m) n=0时 1 －2 －1 0 m h(－m)
x(m) 1 1/2
3/2
－1 0 1 2 3
m
0 1/2 3/2 3 5/2 3/2 0
41
例
27
解答

1
2

1）N=30 2) 非周期序列
28
§2 线性移不变系统

离散时间系统的定义和性质 线性时不变离散系统 线性时不变离散系统的基本元件 单位脉冲响应与卷积 序列的相关性 离散时间系统的因果性与稳定性
29
Hale Waihona Puke 离散时间系统的定义和性质
定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。


0, n 1 1 / 2, n 1 当3<=n<=5时，x(m)和h(n-m)有交叠，从m=n－2到m=3 3 / 2, n 2 2 y ( n ) 3, n 3 y ( 2 ) x ( m ) h ( 2 m ) x (1) h (1) x (1) h ( 0 ) m 1 5 / 2, n 4 3 / 2, n 5 当6<=n时，x(m)和h(n-m)无交叠，相乘处处为零，故y(n)=0 0, n 5 3 3 1 y (n) x(m )h(n m ) m 2 mn2 mn2

能量为有限值，平均功率等于0的信号称为能量信号。 能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。 2、对周期为 N 的周期序列 ~ (n) ，其平均功率定义为： x
显然，周期序列通常为功率信号
25
例
设离散信号 x(n) 的表达式为 x(n) 6(1) u (n)
n
试判断该信号是能量信号还是功率信号。 解：∵该信号为有界信号，其总能量为：
m 1 m 1

n
x(m )h(n m )
n
1
m
1

1
n (1 n )
2
2
2
39
x(m) 1 1/2
3/2
0 1 2 3
h(－1－m)
m
h(m)
1 0 1 2 m h(－m) 1 －2 －1 0
1 y(n) －3 －2 －1 0 m n=-1<0 左移 h(1－m) 1 0 1 2 3 4 5 3 5/2
x ( n) x R ( n) jxI ( n)
4
离散时间信号及其时域表示
3、图形式： 例如：
图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整 数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。
5
序列的基本运算（共八种）

序列的加减 将两序列序号相同的数值相加减，即：
z ( n) x ( n) y ( n)
序列y(n)是对 序列x(n)的插 值
序列x(n)是对 序列y(n)的抽 取
13
例
2 n 解： （ ）y1 ( n) x2 ( n) 1 0
3 ( n 5 ) ( 2) y2 ( n) x1 ( n 5) 0
n 0 n 0
n 5 n 5
E
n


x ( n)
2
当
时，称信号为能量有限信号。
若序列的长度为有限长时，只要信号 为有限值， 则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长 时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。
24
序列的能量与功率
序列的平均功率 1、对非周期序列 x(n) ，若序列为无限长，其平均 功率定义为：
x ( n)
m
x(m) (n m)
为其他
在离散系统的分析 中，这种表示方法 非常有用
例如对序列
用单位脉冲序列的加权可表示为：
23
序列的能量与功率

有界信号
若存在有界常数B，使序列 x(n)满足
x(n) B
则称序列为有界信号。

序列的总能量 有界信号的总能量定义为序列各样点值的平方和，即：
在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，样 品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过 采样得来的或者是用计算机产生的。 在数学上可用时间序列 {x(n)} 来表示。 其中 x(n) 代表 序列的第 n 个样点的数字，n 代表时间的序号， 的可取 n 值范围为 n 的整数。 许多时候为了方便，直接用 x(n)来代表序列全体{x(n)} 。 本教材及课件中，离散时间信号与序列将不予区分。
n n
m
x ( m) y ( m)
m
30
线性时不变离散系统

定义 同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即：
x(n)
T

y (n)
y(n) T x(n)

线性性
31
线性时不变离散系统

时不变性
例：试证明以下系统为线性时不变系统。
证明：1、线性性 设有序列 x1 (n)和 x2 (n)及常数 a1 和 a2 ，则有
6 4
sin[ 4 (n 64k )] 3
p k 2 N 3
当 k 取2时，可得到 p 的最小正周期数3，即序 列 x(n) 的周期 N 3 。
22
0
2
k
k
用单位（脉冲）序列表示任意序列
任意序列 x(n)都可用单位（脉冲）序列 (n)表示 成样点值的加权和形式，即：
x(n) x(n 1) x(n) x(n) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
2
9
序列的基本运算

序列的抽取 将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉 其中的M-1个样点而形成的新序列。即：
y (n) x(nM )
例：求如下图所示的序列 x(n)，经 M 3 的抽取运算 后所形成的新的序列 y(n) 。
3
离散时间信号及其时域表示

离散时间信号的时域表示（三种）
1、枚举式： 例如：
{x(n)} {,1.5,8.7,2.53,0.0,6,7.2,1,5.6, }
2、公式（封闭式）： 例如： x ( n) sin n
a n x ( n) n b
零点位置
n n 0, a 1 n 0, b 1
z(0)=x(0)+y(0)
z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2)
…
6
序列的基本运算

序列的乘积 将两序列序号相同的数值相乘，即：
z ( n ) x ( n ) y ( n)
z ( n ) x ( n ) y ( n)
z(0)=x(0)· y(0)
z(1)=x(1)· y(1) z(2)=x(2)· y(2)
n
且 N 是使其成立的最小正整数，则称序列 x(n) 为以 N 为周期的周期序列。 周期为4的序列示意图：
20
序列的周期

正弦序列及其周期 按周期序列的定义，
x(n) sin( 0 n ) sin( 0 n 2k )
k sin[ 0 (n 2 ) ]
0
其中 k为整数，除非p= 2kπ / ω0 为整数。否则正弦序 列没有周期。 2π / ω0=整数 2π / ω0=有理数 2π / ω0=无理数
21
例
求序列 x(n) sin( 解： x (n) sin(
4 3
n)的周期 N 。
~
4 3
n) sin( 4 n 2k ) 3
5 （ ）y3 (n) a1 x1 (n) a2 y1 (n) 3 n n 5 3 3 2
n0 n0
14
常用序列

单位（脉冲）序列
1 n
-2 -1 0 1 2
1
1…m
-2 -1
0
n
15
常用序列

单位阶跃序列 u(n) 1 ... 0 1 2 3 n
与
的关系
16
结论： 两个长度分别为M和N 的有限长序列的卷积 结果是长度为M+N-1 的序列
y(n)
3 5/2 3/2 1/2 3/2
0 1 2 3 4 5
n
42
序列的相关性

定义 两个序列 和 的线性互相关序列 为：

说明
1、上式中 代表两个序列
和
间的相对位移。
2、序列的互相关运算用于比较两个序列之间的相似性， 并根据这种相似性进行信号的检测和测量。 3、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上 十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。
第一章 离散时间信号和系统
离散时间信号－序列
线性移不变系统
常系数线性差分方程 连续时间信号的抽样
1
§1 离散时间信号－序列
离散时间信号定义与分类 时域表示 序列的基本运算 常用序列 序列的周期 用单位脉冲序列表示任意序列 序列的能量与功率

2
离散时间信号及其时域表示

离散时间信号(序列)
…
7
序列的基本运算

序列的延时 将序列全体在时间轴上移动，即：
y(n) x(n n0 )
n0 0 时左移，n0 0 时右移，如：
8
序列的基本运算

序列乘常数
y (n) ax(n) y ( n) x ( n)
序列的反褶

序列的差分 同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向差分。 前向差分 后向差分


齐次性：
叠加性： 线性性：
ax(n) ay (n)
x1(n)+ x2(n) y1(n)+ y2(n) a1 x1(n)+ a2 x2(n) a1 y1(n)+ a2 y2(n) x (n) y (n)
时不变性(延迟性或移不变性)： x (n-m) y (n-m) 差分性： 累加和性：
可见信号的能量是无限的，但其功率为：
∴该信号是功率信号。
26
练习
1. {x(n)} {,4,3,2,1,0,1,2,3,4, } 试画出下列信号的波形 1) y1(n)= x(n+2) + x(n-2) 2) y2(n)= x(-n+2)

2. 判断周期性，并写出其周期 1）x(n) = cos(2πn/3)+sin(3πn/5) 2) x(n) = cos(n/4)cos(πn/4)
10
序列的基本运算
解：
y(-1)= x(-1· 3) y(0)= x(0· 3) y(1)= x(1· 3) …
11
序列的基本运算

序列的插值 在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的 样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。即：
显然序列的抽取运算与序列的插值互为逆运算。
12
序列的基本运算
∴该系统为线性系统。
32
线性时不变离散系统
2、时不变性：
在上式中令
，则上式右边变为：
∴系统为时不变系统。
33
线性时不变离散系统的基本元件

基本元件 1、加法器
2、系数乘法器
3、延时器
34
单位脉冲响应与离散卷积

单位脉冲响应 线性时不变离散系统任意激励下的响应 响应 之间的关系 与单位脉冲

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例
设
求： 解：由所给序列表达式先给出 x(m)和h(m)的图形
x(m) 1 1/2 0 1 2 3 m 3/2 1 0 1 2 h(m)
m
38

当n<1时，x(m)和h(n-m)无交叠，相乘处处为零，故y(n)=0 当1<=n<=2时，x(m)和h(n-m)有交叠，从m=1到m=n，故
y (n)