解非线性方程组的数值方法

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数值计算方法
(1)描图法
画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。也可将f(x)=0等价变形为g1(x)=g2(x)的 形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在 的子区间即为含根区间。 例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。
将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与 y=cosx的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
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数值计算方法
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数值计算方法
一、非线性方程求根的基本问题包括：根的存在 性、根的隔离和根的精确化
根的存在定理(零点定理)： f(x)为[a,b]上的连续函数，若 f(a)·f(b)<0，则[a,b]
中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调递 增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。
在用近似方法时，需要知道方程的根所在区间。若区间 a,b含有方程f(x)=0的根，则称a,b为f(x)=0的有根区间；若 区间a,b仅含方程f(x)= 0的一个根，则称a,b为f(x)= 0的一 个隔根区间。求隔根区间有两种方法：
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数值计算方法
(2)逐步搜索法 运用零点定理可以得到如下逐步搜索法：
先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为 [a,b],从x0=a 出发,以步长
h=(b-a)/n
其中n是正整数，在[a,b]内取定节点：
xi=x0＋ih (i=0,1,2，……，n) 计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定 隔根区间,通过调整步长，总可找到所有隔根区 间。
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数值计算方法
对于m次代数方程 f (x) = xm+am-1xm-1+ …+a1x+a0=0其根的 模的上下界有如下结论：
(1)若μ= max { |am-1| , ……, |a1| , |a0| }，则方程根的模小于μ+1
1
1
(2)若ν= a0max {1， |am-1| , ……, |a1| },则方程根的模大于 1
f '( p)(x
p)
f (m1)( p) (x
p)m1
f
(m)( x ) ( x
p)m
(m 1)!
m!
x位于 x 与 p 之间。
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数值计算方法
由假设 f (x) f (m)(x ) (x p)m (x p)m g(x)
m!
这里，g( p)
f (m)( p) 0
m!
g(x)
f
( m ) ( m!
x
)
由定义 1，p是 f ( x)的 m 重零点.
证毕
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数值计算方法
例 给定方程： x-sinx =0,问x*=0是几重零点. 解：设 f(x) = x-sinx,则 f(0)=0;
f’(x) =1-cosx , f ’(0)=0; f’’(x)=sinx , f’’(0)=0; f (3)(x)=cosx , f (3)(0)=1; 由定理1, x*=0是3重零点.
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数值计算方法
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程
的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分
解为
f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0,
则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。
当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
数值计算方法
第八章 非线性方程组的数值方法
在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题， 它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的 求解问题。
第一节 非线性方程求根的迭代法
第二节 非线性方程组的简单迭代法
第三节 非线性方程组的Newton型迭代法
第四节 无约束优化算法
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数值计算方法
例2.2 求方程 x3-3.2x2+1.9பைடு நூலகம்+0.8=0的隔根区间。
解：设方程的根为α ，
μ= max { |-3.2| , |1.9| , |0.8| }=3.2
ν=
1 0.8max
{1，
|-3.2|
，|1.9|
}
故 0.2 | | 4.2 ,即有根区间为(-4.2,-0.2)和(0.2,4.2)
第一节 非线性方程求根的迭代法
非线性方程的一般形式 f(x)=0
(1)
这里f(x)是单变量x 的函数，它可以是代数多项式
f(x)=a0+a1x+……+anxn (an≠0) 也可以是超越函数，即不能表示为上述形式的函数。
满足方程(1)的x值通常叫做方程的根或解， 也叫函数f(x)=0的零点。
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h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
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f=inline('x^3-3.2*x^2+1.9*x+0.8') h=1; n=4/h; for i=0:n f(-4.2+i*h) end for i=0:n f(0.2+i*h) end
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数值计算方法
h=1 -1.377160000000e+002 -70.81600000000002 -29.51600000000001 -7.81600000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.20000000000000 0.14000000000000 6.88000000000000 26.42000000000000
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数值计算方法
定理1 设函数 f(x)∈Cm[a,b], 则点p∈(a,b)是f(x) 的m重零点，当且仅当
f(p) = f’(p) = f’’(p) =…=f(m-1)(p)=0, 但 f(m)(p) ≠0
证明:(充分性)将f(x)在点p作m-1阶Taylor展开
f (x)
f ( p)