2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期开学考试数学(理)试题 PDF版

焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点
A
，若
AF1F2
的内切圆半径为
b 4
，
则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 3 3
5
B.
5
C.
D. 3 2
4
3
2
12.已知 f x ax ln x 1x ln x 1与 gx x2 的图像至少有三个不同的公共点，则实数 a 的取值范
题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 x2 y2 1 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标 43
系，直线
l
由列联表，得： K 2 200 50 30 50 702 25 8.333 6.635 ，
120 80 100 100
3
∴能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的 10 名女市民中，经常网购的有10 70 7 人，偶尔或不用网购的有10 30 3
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常网购的人数为 X ，
求随机变量 X 的数学期望和方差．
参考公式：
K
2

a

nad bc2 bc da cb

d

P K 2 K0 0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2020 届黑龙江省大庆实验中学高三下学期开学考试 数学（理）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知集合 A y y log3 x, x 1 , B x x2 2x 3 0 ，则 A B ( )
100
100
人，
∴选取的
3
人中至少有
2
人经常网购的概率为： P

c72c31 c73 c130

49 60
．
页
6第
② 由 2 2 列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为： 120 0.6 ，将频率视为概率， 200
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为 0.6，
由题意 X : B10，0.6 ，∴随机变量 X 的数学期望 E X 10 0.6 6 ，方差 D（X）
3 （1）证明： MN // 平面 PBC ；
（2）求二面角 C MN D 的余弦值.
20.（本小题满分 12 分）
如图,椭圆 E : x2 a2
y2 b2
1a b 0 的左、右焦点分别为 F1, F2, MF2 x 轴,直线 MF1 交
y
轴于 H
点, OH
2 4
= D X 10 0.6 0.4 2.4 ．
页
7第
页
8第
20.解析 (1)设 M(c,yM),由题意可得+=1,即 yM=.
∵OH 是△F1F2M 的中位线,且 OH=, ∴|MF2|=,即=,整理得 a2=2b4,① 又由题知,当 Q 在椭圆 E 的上、下顶点时,△F1F2Q 的面积最大,∴()max=·2c·b=1,整理得 bc=1,即 b2(a2-b2)=1,② 联立①②可得 2b6-b4=1,变形得(b2-1)(2b4+b2+1)=0,解得 b2=1,进而 a2=2. ∴椭圆 E 的方程为+y2=1. (2)设 A(x1,y1),C(x2,y2),则由对称性可知 D(x1,-y1),B(x2,-y2),设直线 AC 与 x 轴交于点(t,0),直线 AC 的方程为 x=my+t(m≠0), 联立消去 x,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0, ∴y1+y2=,y1y2=,由 A,B,S 三点共线有 kAS=kBS, 即=,将 x1=my1+t,x2=my2+t,代入整理得 2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,从而=0,化简得 2m(4t-2)=0,解得 t=. 于是直线 AC 的方程为 x=my+,故直线 AC 过定点. 同理可得 BD 过定点. ∴直线 AC 与 BD 的交点是定点,定点坐标为.
12 2
C．函数 f x 在区间[ , ] 上单调递减
63
B．函数 f x 图象关于直线 x 7 对称
12
D．函数 f x 图象关于点 ( , 0) 对称
3
9．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和
行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均
距离如下表：
星名
水星
金星
来自百度文库地球
火星
木星
土星
与太阳的距 4
7
10
16
52
100
离
除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时
德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳 的 平 均 距 离 为 28 处
还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐 通 过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳
页
1第
2x y 2 0 6.已知实数 x, y 满足 3x y 3 0 ，则 z x 3y 的最小值为（ ）
x 2y 4 0
A． 7
B． 6
C．1
D．6
7．若把单词“ anyway ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
已知函数 f (x) (ax2 x a)ex (a R) . （1）若 a 0 ，函数 f (x) 的极大值为 5 ，求实数 a 的值；
e （2）若对任意的 a 0 ， f (x) b ln(x 1) ，在 x [0, ) 上恒成立，求实数 b 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做
A．y 0 y 3 B．y 0 y 1 C．y y 1
D．y y 3
2．已知复数 z 满足 1 i z 4i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z （ ）
A． 2 2i
B． 2 2i
C．1 2i
D．1 2i
3．下列说法中正确的是（ ）
,Q
为椭圆
E
上的动点,△
F1F2Q
的面积的最大值为
1.
页
4第
(1)求椭圆 E 的方程;
(2)如图,过点 S 4,0 作两条直线与椭圆 E 分别交于 A,B,C,D,且使 AD⊥x 轴,问四边形 ABCD 的两条对角线
的交点是不是定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说 明理由.
21. （本小题满分 12 分）
（1）求 m 的值；
（2）若实数 a, b 满足 ab 0 ，且 a2 b2 m2 ，求证： a3 b3 1. ba
页
5第
ABDDD AACBC CB
42
13.
14.-160 15.6
5
17. （1）
16. e4
（2）由题意知， bn

2n 2
n 12 n

2
nn 1

2
1 n

1 n 1
，
Tn

21
1 2

1 2
1 3

1 n

1 n 1
21
1 n 1

2n n 1
18.解：（1）完成列联表（单位：人）：
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50
50
100
女性
70
30
100
合计
120
80
200
A．“ a b ”是“ a2 b2 ”成立的充分不必要条件
B．命题 p : x R, 2x 0 ，则 p : x0 R, 2x0 0
C．为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40 的样本， 则分组的组距为 40
D．已知回归直线的斜率为 1.23，样本点的中心为 (4,5) ，则回归直线方程为 y^ 1.23x 0.08 .
_______
三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）
已知数列 an的各项均为正数，且 n N*, a13 a23 a33 …… an3 Sn2 2Sn , 其中 Sn 为数列 an的前
n 项和
0.001
K0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形，M , N 分别是棱 AB, PD 的中点， PA PB ， AD PB ，直线 MN 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 2 .
的极坐标方程为

sin


4



2．
(1)求曲线 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C 上的动点，求△PAB 面积的最大值．
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | x m | | x 2m | 的最大值是 3 ，其中 m 0.
围是
A.


1 2
,
2 2

B. 1 ,1 2
C.
2 2
,1
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
D. 1, 2
13．已知 0， ，tan 4 ，则 sin cos __________.
4．函数 f x ln x sin x x ,且 x 0 的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南 人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小
4 3
1
14．已知 a
1 x2 dx ，则[(a 2 )x 1]6 展开式中的常数项为______．
1
2x
15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 125 ，三视图如图所 6
示，则其侧视图的面积为__________.
16.已知实数 , 满足 e e3, ln 1 e4, 其中 e 是自然对数的底数，则
A．179
B．181
C．193
D．205
ur
r
8．已知向量 m sin x, cos2 x ，n cos x,
ur r
3 ，设函数 f x mgn
3 ，则下列关于函数 f x
2
的性质描述错误的是（ ）
A．函数 f x 在区间[ , ] 上单调递增
平均距离为
28的谷神星。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约
是
A．388
B．772
C．1540
D．3076
10.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德，欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字
命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值 0, 1的动点的轨迹。已知在 ABC 中，
角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 sin A 2sin B, a cos B b cos A 2, 则 ABC 面积的最大值为
4
5
A. 2
B. 3
C.
3
D.
3
页
2第
11.
如图，已知双曲线
x2 a2

y2 b2
1(b a
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，过右
（1）求数列 an 的通项公式
（2）设数列 bn 满足 bn

2n 2
an2 an 1
，求数列bn 的前 n 项和Tn
18. （本小题满分 12 分）
页
3第
随着科技的发展，网络已逐渐融入人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及 情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各 100 人进行分析， 从而得到下表（单位：人）
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性 50
100
女性 70
100
合计
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为我市市民网购与性别
有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取 10 人，再从这 10 人中随机选取 3 人赠送优惠券，
求选取的 3 人中至少有 2 人经常网购的概率；