投入产出模型PPT课件

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二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作a iji,j 1 ,2 , ,n 。
由定义得
aij
xiji,
xj
j1,2,,n
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 x ij 换成相应
的a ij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并
称n阶矩阵
Aaij
为直接消耗系数矩阵。 .
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例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 中间消耗
投入
123
中 1 100 25 30
间 投
2
80 50 30
入 3 40 25 60
净产值
总投入 400 250 300 .
最终需求
总产出 400 250 300
.
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投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用
量，x 1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用
量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、
政府使用、出口和社会储备等）为 y j
(7-18)式可表示为 A Y X X ，或
E A XY
(7-19)
称矩阵E-A为列昂捷夫矩. 阵。
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类似地把 xij aijxj 代入平衡方程(7-14)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
a12x1
a22x2 an2xn
z2
x2
a1nx1 a2nx2 annxn zn xn
x2n
y2
x2
xn1 xn2 xnn yn xn
(7-11)
n
xijyi xii. 1,2,,n
j1
(7-12) 6
需求平衡方程组：
n
xi xijyii1,2,,n (7-13) j1
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
x12
x22
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解
由直接消耗系数的定义
a ij
x x
ij j
，得直接
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A0.20 0.20 0.10
0.10 0.10 0.20
直接消耗系数 a iji,j 1 ,2 , ,n 具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 a ij 1 i,j 1 ,2 , ,n
性质7.2.2
0.75 0.1 0.1
EA0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
.
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0.630.09 0.09
EA10.4145 0.517 0.59 0.095
0.1 0.0850.58
XEA1Y
0.63 0.09 0.09235 400 0.414505.17 0.59 0.095125300
0.1 0.0850.58210 350
投入产出数学模型
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1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的
数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
比较成熟的经济分析方法。
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一、投入产出数学模型的概念
(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这
个时期的总产出水平。.
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投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (7-9)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
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三、完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，
不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出
如下定义。
定义7.2.2 第j部门生产单位价值量直接和间
接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部
门对第i部门的完全消耗系数，记作
b iji,j 1 ,2 , ,n 。
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运
用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
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表7.1：投入产出表
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
生 产 部 门
新 创 价 值
1 2 n
工资 纯收入 合计
1 2 n 消费 累计 出口
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n
xn1 xn2
x nn
v1 v2 vn m1 ຫໍສະໝຸດ Baidu2 mn z1 z2 zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
解 X x 1 x 2 x n 。
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周
期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求
如表7.3，求各车间的总产值。
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表7.3
车间 直耗系数 车间
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
ⅠⅡⅢ
0.25 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2
最终需求
235 125 210
解
xn2
z2
x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xijzj xjj1,2,,n .
i1
(7-14)
(7-15)
7
由(7-11)和(7-14)，可得
n
n
yi zj
i1
j1
(7-16)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生
产的消费、积累、储备和出口等方面产品的
总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
写成矩阵形式为
(7-20)
X D Z 或 X E D X Z(7-21)
其中 Ddiagin1ai1
n
ai2
i1
in1ain,
Zz1 z2 zn .
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定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求Y y 1 y 2 y n
已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一
n
aij1. j1,2,,n
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i1
由直接消耗系数的定义 xij aijxj，代入(7-17)，得
a11x1 a12x2 a1nxn y1 x1
a21x1
a22x2 a2nxn
y2
x2
(7-18)
an1x1 an2x2 annxn yn xn
令 X x 1x 2 x n , Y y 1y 2 y n ，