阵列信号处理(知识点)

信号子空间：

设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1

p

i

i

i

i x t s t a N t θ==

+∑

在无噪声条件下，()()()()()

12,,,P x t span a a a θθθ∈

称()()()()

12,,,P span a a a θθθ 为信号子空间，是N 维线性空间中的P 维子空间，记为

P N

S 。P

N S 的正交补空间称为噪声子空间，记为N P N N -。 正交投影

设子空间m S R ∈，如果线性变换P 满足，

()

1),,,2),,,0

m m

x R Px S x S Px x x R y S x Px y ∀∈∈∀∈=∀∈∀∈-=且

则称线性变换P 为正交投影。 导向矢量、阵列流形

设N 元阵接收p 个信源，则其信号模型为：()()()()1

p

i

i

i

i x t s t a N t θ==

+∑，

其中矢量()i i

a θ称为导向矢量，当改变空间角θ，使其在空间扫描，所形成的矩阵称为阵列流形，用符号A 表示，即(){|(0,2)}a A θθπ=∈

波束形成

波束形成（空域滤波）技术与时间滤波相类似，是对采样数据作加权求和,以增强特定方向信号的功率，即()()()()H

H

y t W X t s t W a θ==，通过加权系数W

实现对θ的

选择。 最大似然

已知一组服从某概率模型()

f X θ的样本集12,,,N X X X ，其中θ为参数集合，使条件概率()

12,,,N f X X X θ 最大的参数θ估计称为最大似然估计。

不同几何形态的阵列的阵列流形矢量计算问题

假设有P 个信源，N 元阵列，则先建立阵列的几何模型求第i 个信源的导向矢量()i i a θ 选择阵元中的一个作为第一阵元，其导向矢量()1[1]i a θ=

然后根据阵列的几何模型求得其他各阵元与第一阵元之间的波程差n ∆，则确定其导向矢量

()2j

n i a e

π

λ

θ∆

=

最后形成N 元阵的阵列流形矢量()11221N j j N P

e A e πλπλθ-∆∆⨯⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 例如各向同性的NxM 元矩形阵，阵元间隔为半个波长，当信源与阵列共面时：

首先建立阵列几何模型：

对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为

(1)sin()(1)cos()mn i i n d m d θθ∆=---

故：()1122(sin()cos())

22((1)sin()(1)cos())11N j j d j j d N M NM P NM P

e e A e e ππ

θθλλ

ππθθλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

而当信源与阵列不共面时： 首先将信源投影到阵列平面

然后建立阵列模型

对于第m 行、第n 列的阵元，其与第1行、第1列阵元之间的波程差为

[(1)sin()(1)cos()]sin()mn i i i n d m d θθϕ∆=-+-

故：()1122(sin()cos())cos()

22((1)sin()(1)cos())cos()11N j j d j j d N M NM P NM P

e e A e e ππ

θθϕλλ

ππθθϕλλθ-∆-∆---⨯⨯⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

线性约束最小方差准则（LCMV ）的自适应波束形成算法： 对于信号模型：()()()0X t s t a J N θ=++， 波束形成输出：()()()()0()H H H y

t W X t s t W a W J N θ==++

LCMV 准则实际上是使()0H

W a θ为一个固定值的条件下，求取使得()H

W

J N +方差最小

的W 作为最有权值，即：()0min .H X W

H

W R W

s t W a F

θ⎧⎪⎨⎪=⎩，其中F 为常数

利用拉格朗日乘子法可解得：()1

0X opt W R a μθ-=

当取1F =时，则()()

1

1

H X a R a μθθ-=

，μ的取值不影响SNR 和方向图。 在精确的方向矢量约束条件和相关矩阵精确已知的情况下，LCMV 准则与SNR 准则等效。 对于最有波束形成()1

'0|n opt LCMV W R a μθ-=，其中n R 应不含信号分量。

SMI （采样协方差矩阵求逆）算法是在此准则上，用一批次采样数据(),1,2,,i X t i M = 来

估计得到n R ，()()()1

1M

H

n i i i R M X t X

t M

∧

==

∑

此估计为最大似然无偏估计，即：(),

n n R M R M ∧

→→∞

()()()1

0n opt W M R M a μθ-∧=

SMI 算法输出SNR 损失会随着M 的增加而减小，当M →∞，输出无损失；为了使性能损失不超过3dB ，一般取2M N >。

当精确的方向矢量约束条件和精确的相关矩阵已知的条件不满足时，直接使用()n R M ∧

估计