三角形的判定(SAS)

如果△ 探究（二） ： ABC和△A`B`C`的位置关系如图所示，则两
个三角形全等吗？
A A'
旋转演示：
C'
．
A'
B (B')
C C'
因为BC=B`C`,将△A`B`C`绕着B点旋转，可使 B`C`的像与 BC重合，又因∠ABC=∠A`B`C`，AB=A`B`, 所以A`B`的像与AB重合，从而A`C`的像与AC 重合，于是△A`B`C`的像与△ABC重合。因 此：△A`B`C` ≌△ABC
摆 齐 根 据
课堂练兵：
1.已知：如图，AB＝DC, AC=DE, ∠A=∠D。求证： △ABC≌△DCE
A D
证明：在△ABC≌△DCE 中 ∵ AB=DC
∠A=∠D AC=DE
∴ △ABC≌△DCE (SAS)
B
C
E
2.在△ABC与△DEF中，已知： AB=DE,∠A=∠D,AF=DC。 求证： △ABC≌△DEF
为什么A’B’ 的长度就是AB的长呢？
探究
画△ABC使∠B＝45°， AB＝3cm，
AC＝２.５cm，比较各位同学画的△ABC ，
它们全等吗？你能得出什么结论？
探究
如果在△ABC和 △A`B`C`中， AB= AB, BC = BC ∠ABC=∠A`B`C`，那么△ABC与△A`B`C`全等吗？ A A′
⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中.
•
⑵分析要证全等的这两个三角形，已知什么条件， 还缺什么条件. ⑶设法证出所缺的条件. ⑴先确定实际问题应用哪些几何知识解决. ⑵根据实际抽象出几何图形. ⑶结合图形和题意写出已知，求证. ⑷经过分析，找出证明途径. ⑸写出证明过程.
• 2.利用全等三角形解决实际问题的步骤：
探究（四）： 如果△ ABC
和△ ABC △ ABC 那么△ ABC 和
的位置关系如图3-27 全等吗？
轴反射及平移演示：
先把 △ABC以边B`C为轴作轴反射，再 作平移使 △A`B`C`的像和△ABC重合， 从而 △ABC ≌ △A`B`C`
结论
边角边定理 有两边和它们的夹角对应相 等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或 “SAS”).
2.5..2三角形全等的判定 (SAS)
Ａ Ｂ' Ａ' Ｂ Ｃ Ｃ'
什么叫全等三角形？ 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 已知△ABC≌ △A’B’C’， △ABC的周长 为10cm，AB=3cm，BC=4cm，则： A’B’= 3 cm,B’C’= 4 cm ,A’C’= 3 cm.
∵ AB＝AC （已知）
在△ABD和△ACD中
∠BAD=∠CAD （已证） AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌△ ACD (SAS)
5、已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2
求证:∠A=∠D
证明:∵ ∠1＝∠2(已知) ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质) 即∠ABC＝∠DBE 在△ABC和△DBE中, AB＝DB(已知) ∠ABC＝∠DBE(已证) CB＝EB(已知)
有一条铁路须通过一座大山，现打算 从山中挖一条隧道，为了预算隧道的造价 必须知道隧道的长度，即这座山A,B两处的 距离，铁路工程测量员选择了这样一种测 量方法：
任取一点 O，使 得点O可直接到达 A、B两点处， 连接AO并延长， 使得OA’=OA 连接BO并延长， 使得OB’=OB
.
O
B’
A’
连结A’B’，测量 A’B’的长度，即为 AB的长度.
解 决 问 题
任取一点 O，使 得点O可直接到达 A、B两点处 连接AO并延长， 使得OA’=OA 连接BO并延长， 使得OB’=OB 连接A’B’，测量 A’B’的长度，即 AB的长度
1 2
.
B’
O
A’
现在你能说明为什么A’B’=AB吗？
练习
1.在下列图中找出全等三角形,并把它们用符号写出来.
B 1 2 C A D
E
∴△ABC≌△DBE(SAS)
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)
探究2
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角 为40° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
C
F
A
40°
40°
B
等
D
E
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全
1 本节课学习了用 两边及夹角 来判定三角形 全等，可以通过三角形的全等来去求得线 段或者角的相等关系。
• • • • •
如果△ABC和△A‘B’C‘的位置关系如图所示， 探究（三） 则两个三角形全等吗？
A A' C'
变换演示：
B' B
．
C C'
A'
B'
作平移使顶点B′和顶点B重合，得到（2）情 况. (然后将△A`B`C`在平移下的像绕顶点B旋转，可 以△A`B`C` 的像和 △ABC重合.从而△ABC ≌ △A`B`C`)
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º Ⅴ 30º
Ⅵ
Ⅶ Ⅷ
例1 在图3-28中，AB和CD相交于O，且AO=BO， CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.
证明：
在△ACO和△BDO中， 因为AO=BO
∠AOC=∠BOD，（对顶角相等） CO=DO 所以△ACO≌△BDO.（SAS）
图3-28
分析
A
B
E
证明：∵AF=DC ∴AF+CF=DC+CF 即：AC=DF 在△ABC与△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF(SAS)
F
C
D
3、如图，在△ABC中，AB＝AC， AD平分 ∠BAC，求证： △ABD≌△ACD．
证明:
∵ AD平分∠BAC （已知） ∴ ∠BAD=∠CAD （角平分线定义）
B
C
B′
C′
探究（一）如果 △ABC 和 △ ABC 的位置关系如图所示
ABC 全等吗？ 那么△ABC与 △ A
A′
平移演示：
B C B′ C′
因为BC=B`C`，将△A`B`C`向左平移，可以 使B`C`的像与BC重合.又因为 ∠ABC=∠A`B`C` ，AB=A`B`，所以 A`B` 的像与AB也重合，从而A`C`的像就与AC重 合.于是△A`B`C` 的像就与△ABC重合. 因此： △ABC ≌ △A`B`C`
S ——边 A——角
边角边定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等，简写成“边角边”或“SAS”
A
\\ \\ \
D
因为AB=DE， ∠B=∠E，BC=EF，
\
B
C E
F
在△ABC和△ DEF中，
根据“SAS”可以得 到△ABC≌△DEF
AB DE B E ABC ≌ DEF BC EF
2 判定三角形全等的一般步骤 （1）准备条件 结合题意推导出全等需要 的条件 （2）指明范围 指明需要证明的三角形 （3）摆根据 列举出三角形具备的对应 相等关系 （4）写出结论
3 两边一角必须是两边及夹角的关系，否 则三角形不一定全等
利用全等三角形证明线段或角相等, 是证明 线段 或角相等的重要方法之一， 其思路如下：
如图 已知AD∥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC，AD=BC，那么AB=CD吗？ ∠B和∠D呢？ 边
角 AD=BC 边∠DAC=∠ACB
两直线平行 内错角相等
AD // BC
AC = CA 证明： ∵AD//BC ∴ ∠DAC=∠BCA （两直线平行，内错角相等） 在△ACD和△CAB中 准备条 AD=CB（已知） 件 ∠DAC=∠BCA（已证) AC=CA（公共边） 指明范围 ∴ △AFD≌△CEB（SAS） ∴AB=CD(全等三角形对应边相等) 写出结论 ∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)