第八章非线性控制系统B

系统的振荡也能持续下去.式中：
1
NX
称负特性。
➢奈奎斯特稳定判据:如果 则非线性系统稳定。
1
NX
轨线没有被
G(jω)曲线包围,
如果
1
NX
被Gj
曲线包围,则非线性系统为不稳定。
如果
1
NX
轨迹与 G(jω)曲线相交,则系统的输出有可能产生
自持振荡,图C)中的B点能产生稳定的自持振荡而交点A处产生 不稳定的自持振荡。
图8-5
5
第二节 非线性元件的描述函数
一、描述函数
图8-6 非线性控制系统
图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加 一幅值为X频率为ω的正弦信号,即 e=Xsinωt，则其输出为：
y A0 A1 sint B1 cost A2 sin 2t B2 cos 2t
假设:
1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0 2）r(t)=0
b a
x (t)
0a b
e (t )
1 a X N (X)
a
2b
X
X 2a
Im Re
0
(a) 静特性
(b) 负倒特性
15
图8-17 具有死区的单值继电器特性
（3）具有滞环的继电器特性（m=-1）
N ( X ) 4b
X
1 (
a X
)2
j
4ab
X 2
它是一个复函数，其负倒特性为
1 X 2 a2 j a
1 T1T2
1 50 0.1 0.2
1
Im
N(X)
Re
X B 0
G(j)
图(a) 24
由:
G( j) 1
得:
N(X)
1 50
T1T2
X 1 X 4 1.27
4
25
第四节 相轨迹
➢一、相轨迹的基本概念
设二阶系统微分方程式的一般形式为
x ax, xx bx, xx 0
不同的初始条件,方程式的解是不相同的,即 x, x间的关系随
图8-3
3
死区非线性特性对系统的主要影响 1）使系统的稳态误差增大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系 统抗扰动的能力。
3）使系统的输出在时间上滞后。
（4）继电器特性
0 ;
y 0bsgnx
; ;
b ;
- b ;
- ma＜x＜a - a＜x＜ma
x ma x ma x ma
θ＞0 θ＜ 0
θ 0
b 齿轮间隙
1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究
竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。
2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输
出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动
态性能的恶化，甚至使系统产生自持振荡。
（3）死区特性
0
x＜Δ
y kx-Δsgn x x＞Δ
图中箭头表 示X增大时，负倒特性曲线的变化方
向。
Im
1
X
N (X)
X S
Re
1
0
k
图8-15 饱和特性负倒特性
13
下面进一步讨论继电特性的几种特殊情况
（1）理想继电器特性(m=0) 理想继电特性的描述函数： N(X ) 4M
X
它是一个实函数，其负倒特性为
1 X
N(X ) 4M
负倒特性曲线如图8-16所示
12
三、描述函数的负倒特性曲线
在分析非线性系统稳定性时，常用描述函数的负倒
特性曲线，或者称为负倒描述函数。饱和特性的
负倒特性为
1
1
N ( X ) 2k [sin 1( S ) S 1 ( S )2 ]
XA X
可内见绘，出当饱X为和定特值性时的，负 N倒(1X )特为性一曲负线实如数图。8在-1复5平所面示，
A1
2k
arcsin
S
S
1
S
2
X π
X X X
图 8-8
图8-9 饱和非线性的描述函数 9
（2）理想继电器型非线性
由图8-10可知
A0 0, B1 0,1 0,于是得
A1
2M
0
s
in
td
t
4M
y1
4M
sin t
N X A1 4M
X X
图 8-10
图8-11 理想继电器型
初始条件而变化,把 x, x的关系画在以 x和 x为坐标的平面上,
这种关系曲线称相轨迹。由 x, x组成的平面叫相平面。
设弹簧,质量,阻尼器系统的齐次方程为 mx fx kx 0
写成标准化形式
x
2
n
x
2 n
x
0
令 x1 x, x2 x为系统的两个状态变量,则有
x x2
x2
2 n
x1
2 n x2
, x＞0 , x＜0
, x＜0 , x＞0
继电器非线性特性一般会使系统产生 自持振荡，甚至系统不稳定，并且使 稳态误差增大 。
图8-4
4
二、非线性系统的特点
1）非线性系统的输出与输入间不存在着比例关系,且不适 用叠加原理。
2）非线性Biblioteka Baidu统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而 且也与初始条件和输入信号的大小有关。 下面举例说明初始偏差对系统稳定性影响
21
解得
1
2
当KG j 曲线通过 1, j0点,即系统处于稳定的临界状态,
对应的K值应满足下式
KG j 1 1 2
K 1 1 33 22
K 3 2
当K 3时,KG jω曲线与 1 NX轨迹相交于负实轴在, 相交点处系, 统
产生稳定的自持振荡其, 振荡频率为1 2 s1,而振幅X由下式求得
1
y1t Y sin t A1 sin t
式中
A1
4
2 y sintdt
0
4
0
kX
sin t
sin
td t
2
kS sin
td t
8
2kX sin cos
由于X
sin β
S,故 sin
β
S
,β
arcsin
S
代入上式
X
X
A1
2kX π
arcsin
S
X
S X
1
S
2
X
NX
NX
Y1 X
1
A12 B12 arctan B1
X
A1
N(X):非线性特性的描述函数
图8-7 用描述函数表示非线性特性的系统
二、非线性元件描述函数的举例
（1）饱和非线性 由图8-8可知，输出y(t)是一个周期性的奇函数，因而它的傅氏
级数展开式中没有直流项，也没有余弦项。即 A0=0，B1=0，
φ1=0
同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。
非线性特性线性化的条件：
1）假设系统的输入r(t)=0 2）非线性元件的静特性不是时间t的函数
3）非线性元件的特性是奇对称的，即有 f1e f1 e
7
4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能 ，经过 线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为 ：
N ( X ) 4b
4b
可见，负倒特性的虚部是一负常数，实部是随
A变化的负实数。负倒特性曲线如图8-18（b）
所示
x(t) b
a
e(t)
0a
b
X
1 N ( X)
Im
Re
Xa
0 a
4b
(a)静特性
(b)负倒特性
图8-18具有滞环的继电器特性
16
第三节 用描述函数分析非线性控制系统
r=0
x
y
- N(X)
G j
18
图8-20非线性系统的稳定性判别
➢自持振荡稳定性判别方法
假设系统处于自持振荡状态，即系统的输出是近 似的正弦波。如果在干扰作用下，自持振荡的幅值 和频率保持不变，则称为稳定的自持振荡。如果在 干扰作用下，系统的输出发散或收敛，或者自持振 荡的幅值和频率改变，则称为不稳定的自持振荡。 注意，自持振荡的稳定性与系统的稳定性，是完全 不同的概念。 自持振荡稳定性可以从振荡幅值增加时，负倒特性轨 迹的移动方向判别。当负倒特性轨迹从不稳定区进 入稳定区时，交点处的自持振荡是稳定的自持振荡。 反之，当负倒特性轨迹从稳定区进入不稳定区时， 交点处的自持振荡是不稳定的自持振荡 。
NX arcsin1
2
X 1 X
1 1
X2
3 2 2 3
即
NX 1 , NX 0.5 0.166,由图8 9查得X 2.5
2K 3
22
例8-2 图8-22所示控制系统，其非线性元件为理 想继电器特性，确定系统自持振荡的振幅和频率。
e(t) 1
x(t)
15
c(t)
s(0.1s 1)(0.2s 1)
26
求解方法：
1）用解析法求出x1和x2与t的关系(见图8-23a) 2）以t为参变量,求出x2=f(x1)的关系，并把它画在x1-x2平面 上，(见图8-23b）
图8-23二阶线性系统的时域响应和相轨迹
27
对于非线性微分方程,一般难于得到x1和x2的解析解,而 用下述的图解法可以求得系统瞬态响应的相关信息。 相轨迹的性质：
x(t) M
e(t)
0 M
X
1 N ( X)
Im X 0 Re
0
(a)静特性
(b)负倒特性
图8-16 理想继电器特性
14
（2）具有死区的单值继电器特性（m=1）
N ( X ) 4b 1 ( a )2
X
X
它也是一个实函数，其负倒特性为
1
X
N(X )
4b 1 ( a )2
X
负倒特性曲线如图8-17所示
解: 令放大器的增益为1,把K放到系统的线性部分。
1
1
NX
arcsi
n
1 X
2
1 X
1
12 X
X1 X1
令 KGj 1NX
求交点的频率
φω 90 arctan2ω arctanω 180
arctanω arctan2ω 90 2ω ω 1-2ω2
图8-21 具有饱和放大器的非线性系统
G( j) c
图8-19 非线性控制系统
若把图中N(X)与G(jω)间的通路断开，并在G(jω)的输入 端加一正弦信号y1=Y1sinωt，则N(X)的输出为：
y G jN X Y1 sin t
如果 y y1,则得
1 G jN X 0
G
j
N
1
X
自振荡的条件
17
此时若把N(X)与G j 间的断开点接通,即使撤消外施信号 y1
设非线性系统的微分方程为 x 1 xx 0
当初始偏差 x0<1时,1-x0>0,方程具有负实根,相应的系统是稳定的 当x0>1时,1-x0<0,方程具有一个正的实根,系统为不稳定
非线性系统常会产生自持振荡
研究非线性系统的方法:
1）描述函数法---用于研究系统的稳定性和 自持振荡问题。
2）相平面法---只适用于一阶和二阶系统。 3）李雅普诺夫第二法。
10
（3）死区非线性
0
yt kX sin t
0
0 t t1
t1
t
t1
t1 t
式中
A0 0, B1 0,1 0
y1t A1 sin t
A1
1
2
0
ytsin tdt
4
0
2
yt
sin
td
t
4k
2X sin t sin tdt
t1
图8-12死区非线性和非线性特性曲线
x＜x0 x＞x0
图8-1
系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大
幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增
加和稳态误差变大。
（2） 回环特性 图(a)为齿轮传动中间 隙，图(b)为齿轮传动 的输入、输出特性。
图8-2 2
它的数学表达式为
k θi b 2 ;
θ0
k
θi
b 2
;
θm sgnθ0 ;
第八章 非线性控制系统
➢ 第一节 非线性系统的概述 ➢ 第二节 非线性元件的描述函数 ➢ 第三节 用描述函数分析非线性控制系统 ➢ 第四节 相轨迹 ➢ 第五节 奇点与极限环 ➢ 第六节 非线性系统的相平面分析
1
第一节 非线性系统的概述
一、典型的非线性特性
（1）饱和特性
y
k x;
ym sgn x;
19
➢ 自持振荡振幅和频率的确定
自持振荡可以用正弦振荡近似表示，其
幅值和频率分别为交点处负倒特性轨迹上的
X值，和 G( j) 轨迹上对应的值。即:
G(
j)
N
1 (X
)
G( j)
1
N(X)
, X
或:
Re[
G(
j)]
Re[
N
1 (X
)
]
Im[ G( j)] Im[
1
]
, X
N(X)
20
例8-1 非线性系统为图8-21所示,其中放大器线性 部分的增益为K.试确定系统临界稳定时的K值,并计 算K=3时,系统产生自持振荡的幅值和频率。
11
其中
X
sin t1,t1
arcsin
X
代入上式,得
A1
2kX
2
arcsin
X
X
1
2
X
NX
A1
k
2k
arcsin
1
2
X
X X X 图8-13 死区非线性的描述函数
如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为 图8-14(b)所示：
图8-14 二个非线性元件相串联的系统
-1
图8-22 非线性系统
23
解:
绘出
G( j)
和
N
1 (X
)
曲线如图(a)所示
G( j) 与实轴的交点： KT1T2 15 0.1 0.2 1
T1 T2
0.1 0.2
1 X
N(X) 4
X : 0 , 1 : 0 N(X)
由于相交点B处描述函数负 倒特性曲线当X增大时是从 不稳定区进入稳定区,所以交 点B处的自持振荡是稳定的 自持振荡。
3）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中各项高次
谐波滤掉，只剩一次谐波项。
6
则 y1 A1 sin t B1 cost Y1 sint 1
其中
Y1
A12 B12
,1
arctan
B1 A1
A1
1
2 0
y sin tdt
B1
1
2 0
y costdt
经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号
1）相轨迹上每一点都有其确定的斜率