线性代数第二章矩阵及其运算2-4矩阵分块法

以对角矩阵 n 右乘 A 的结果是 A 的每一列乘以
中与该列对应的对角元.
例 17 证明矩阵 A = O 的充分必要条件是方
阵 ATA = O .
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A (a1 , a2 ,, an ) ,
a1T T a2 T A A (a1 , a2 ,, an ) aT n
求 AB. 求 AB.
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 ,,B B 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 ,, 0 4 1 0 4 1 1 2 0 1 2 0 0 0 2 2
a11 a12 a1n 1T T a21 a22 a2 n 2 A . a T am1 amn m m1
2. 按列分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
其中
A11 A12 , A A 21 A22 a13 a14 a11 a12 A11 a a , A12 a a , 21 22 23 24 A21 a 31 a 32 , A22 a 33 a 34 ,
2. 数乘运算
A11 A1r 设A , A A sr s1
为常数,那么
A11 A A s1
3.

. Asr
A1r
分块矩阵的乘法运算
设 A 为 m×l 矩阵, B为 l×n 矩阵, 分块成
1 0 0 1 0 0 ， 0 2 3 B2 0 2 1 0 7 0 0 0 4 4 0 10 9 3 0
A1 B1 则AB= 0
7 0 17 = A2 B2 0 0
三、两种常用的分块法
1. 按行分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
其中 Ai ( i = 1, 2, … , s ) 都是方阵,那么称 A 为分块
分块对角矩阵的性质: 1) 2) |A| = |A1| |A2| … |As| ; 若 |Ai| 0 ( i = 1, 2, … , s) , 则 |A| 0, 且
A
1
A1
1
A2
4
1 4 0 0 2 10 0 0 ，则|B | 若 B 5 6 1 2 7 8 3 7
2· 1=2
1 3 设 A 0 0
A1
2 0 0 B1 3 4 0 0 2 ，B= 0 0 1 1 0 2 3 0
A2
即
x1a1 + x2a2 + … + xnan = b .
（4）
（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的
A11 A1t B11 B1r A ,B , A A B B st tr s1 t1
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j ,
…, Btj 的行数,那么
上的矩阵称为分块矩阵.
例如将 3×4 矩阵
a11 a12 a13 a14 A a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34
分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:
(1)
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 , a a32 a33 a34 31
A11 A1r B11 B1r A ,B , A A B B sr sr s1 s1
其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同, 那么
A11 B11 A1r B1r A B . A B A B s1 sr sr s1
1Tb1 1Tb2 1Tbn T T T 2 b1 2 b2 2 bn AB (b1 , b2 ,, bn ) T Tb Tb Tb m m n m1 m 2
即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为
以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的
分块矩阵可类似写出, 这里略.
二、分块矩阵的运算
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分别说明如下:
1. 加法运算
设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用 相同的分块法, 有
T 1 T 2
= ( cij )m n ，
cij b aik bkj .
T i j k 1
s
以对角矩阵 m 左乘矩阵 Am n 时，把 A 按行
分块，有
m Amn
1 1T 1 1T T T 2 2 2 2 , T T m m m m
C11 AB C s1
t

C1r , C sr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中
Cij Aik Bkj i 1, ,s; j 1, ,r .
k 1
例 15 设 例 15 设
1 1 0 0 A A 1 1 1 1
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
程组 Ax = b 可记作
1T 1T x b1 , b1 T T 2 2 x b2 , b2 x , 或 T b T m x bm , m m
1

. 1 As
例 16 例 16
5 5 设 A 0 设 A 0 0 0
解
5 A 0 0
0 A1 3 1 O 2 1 0
1
0 0 0 0 3 1 , 求 A-1 . 3 1 , 求 A-1 . 2 1 2 1
以对角矩阵 m 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 中与该行对应的对角元.
以对角矩阵 n 右乘矩阵 Am n 时，把 A 按列 分块，有
1 2 An (a1 , a2 ,, an ) m (11 , 2 2 ,, n n ) ,
am 2 amn
b1 b2 bm
其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知向量，b 称为常
数项向量，B 称为增广矩阵. 按分块矩阵的记法，
可记
B=(A b),
或 B = ( A , b ) = ( a1 , a 2 , … , an , b ) .
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b . (1) 的解向量. (2) 方程（2）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组
解 把 A、B 分块成
4. 分块矩阵的转置
设
A11 A1r A , A A sr s1
A A T A . T A1r Asr T
T 11 T s1
则
练习：
A1 设 A A3
(2)
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 , a a32 a33 a34 31 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 . a a32 a33 a34 31
(3)
分法 (1) 可记为
记
x1 b1 a11 x2 b2 a21 A (aij ) , x , b , B x b a n m m1
a12 a22
a1n a2 n
O , A2
1 A1 ( 5 ) , A1 ; 5 3 1 1 1 1 A2 2 1 , A2 2 3 ;
练习：
1 3 设 A 0 0
2 0 0 4 0 0 ，则|A | 0 5 6 0 7 8
第四节
矩阵分块法
主要内容
分块矩阵的定义 分块矩阵的运算
两种常用的分块法 方程组的各种形式
克拉默法则的证明
一、分块矩阵的定义
对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用
分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为 A 的子块,以子块为元素的形式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a am1 amn m1
(a1 , a2 ,, an ).
对于矩阵 A = ( aij )m s 与矩阵 B = ( bij )s n 的 乘积矩阵 AB = C = ( cij )m n ，若把 A 按行分成 m 块，把 B 按列分成 n 块，便有
(3)
这就相当于把每个方程
ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi
记作
x bi (i 1, 2, , m) .
T i
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相
乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作
x1 x2 (a1 , a2 ,, an ) b, x n
a1T a1 a1T a2 a1T an T T T a2 a1 a2 a2 a2 an , aTa aTa aTa n n n 1 n 2
则
四、线性方程组的各种形式
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
A2 T ，则A A4
A1T T A2
A A
T 3 T 4
5. 分块对角矩阵
设 A 为 n 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在主对
角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零 子块都是方阵,即
A1 A
对角矩阵.
A2
, As