高中数学校本课程3

第三讲数学思维的严密性

一、概述

在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：

概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。

判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数

是一个减函数”就是一个错误判断。

推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。

例如，解不等式

解

或

这个推理是错误的。在由

推导

时，没有讨论

的正、负，理由不充分，所以出错。

二、思维训练实例

思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。

(1) 有关概念的训练

概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”

例1、 不等式

错误解法

错误分析 当

时，真数

且

在所求的范围内（因

），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数

的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。

正确解法

例2、 求过点

的直线，使它与抛物线

仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点

的直线为

，则它与抛物线的交点为

，消去

得：

整理得

直线与抛物线仅有一个交点，

解得

所求直线为

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为

时，没有考虑

与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在

的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即

而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直

轴，因为过点

，所以

即

轴，它正好与抛物线

相切。

当所求直线斜率为零时，直线为

平行

轴，它正好与抛物线

只有一个交点。

设所求的过点

的直线为

则

，

令

解得

所求直线为

综上，满足条件的直线为：

(1) 判断的训练

造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。

①注意定理、公式成立的条件

数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。

例3、 实数

，使方程

至少有一个实根。

错误解法

方程至少有一个实根，

或

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法 设

是方程的实数根，则

由于

都是实数，

解得

②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的

运用

我们知道：

如果

成立，那么

成立，即

，则称

是

的充分条件。

如果

成立，那么

成立，即

，则称

是

的必要条件。

如果

，则称

是

的充分必要条件。

充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。

例5 解不等式

错误解法 要使原不等式成立，只需

解得

错误分析 不等式

成立的充分必要条件是：

或

原不等式的解法只考虑了一种情况

，而忽视了另一种情况

，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。

正确解法 要使原不等式成立，则

或

·P

·

C(3,0)

y

x

O

图3－2－1

M

N

，或

原不等式的解集为

例6（轨迹问题）求与

轴相切于右侧，并与

⊙

也相切的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，

已知⊙C的方程为

设点

为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与

轴相切于M点，

与⊙C相切于N点。根据已知条件得

，即

化简得

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以