(统编版)2020学年高中数学第一章1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案苏教版选修231

1.2.3 简单复合函数的导数

[对应学生用书P11]

已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2

.

问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．

问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2

是如何复合的？

提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2

是由 g (u )＝u 2

，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2

，g (u )＝u 2

，u ＝3x ＋2的导数．

提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2

]′＝[9x 2

＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.

若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .

1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．

[对应学生用书P11]

复合函数的求导

[例1] (1)y ＝

12x ＋3

3

；

(2)y ＝e

－0.05x ＋1

；

(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．

[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．

[精解详析] (1)y ＝

12x ＋3

3

＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －3

2

，u ＝2x ＋3的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3

2)′·(2x ＋3)′

＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.

(2)y ＝e

－0.05x ＋1

是函数y ＝e u

，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝

(e u

)′·(－0.05x ＋1)′

＝－0.05e u

＝－0.05e

－0.05x ＋1

.

(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．

(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1

u ln 2

＝

－35－3x ln 2＝3

3x －5ln 2

.

[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．

1．若函数f (x )＝ln 1

x

，则f ′(x )＝________.

解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1

x

的复合函数，

所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x

′

＝1u ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x 2＝－1x

.

答案：－1

x

2．函数y ＝sin 3

x ＋sin x 3

的导数为________．

解析：y ′＝(sin 3

x ＋sin x 3

)′＝(sin 3

x )′＋(sin x 3

)′ ＝3sin 2

x cos x ＋cos x 3

·3x 2

＝3sin 2

x cos x ＋3x 2

·cos x 3

. 答案：3sin 2

x cos x ＋3x 2

·cos x 3

3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝

11－3x

4

.

解：(1)y ＝e u

，u ＝2x 2

＋3x ，

所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2

＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2

＋3x . (2)∵y ＝

11－3x

4

＝(1－3x )－4

，

∴可设y ＝u －4

，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5

，u ′x ＝－3，

∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5

×(－3)＝12(1－3x )－5

.

求导法则的综合应用

[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝3

1－x

sin(2x －1)；

(2)y ＝ln 2x －12x －1

.

[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x

)′sin(2x －1)＋3

1－x

·[sin(2x －1)]′

＝－31－x

ln 3·sin(2x －1)＋31－x

·2cos(2x －1)

＝3

1－x

[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．

(2)y ′＝

[ln

2x －1]′·2x －1－ln 2x －1·

2x －1′

2x －1

2