空间向量的应用_课件
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时课件
因为平面α 经过三点A 1,0, −1 ，B 0,1,0 ，C −1,2,0 ，所以AB = −1,1,1 ,
BC = −1,1,0 ,又向量1 = 1, u, t 是平面α 的一个法向量，所以
→
AB ⊥ 1 ,
→
BC ⊥ 1 ,
→
所以
确.故选ACD.
AB ⋅ 1 = 0,
→
BC ⋅ 1 = 0,
1
2
1
2
则AN = AB + BN = − − λ,
3
2
−
3
λ, 0
2
，
3
λ, 0
2
3
,0
2
，
，
课中探究
设 = x, y, z 是平面AFN的法向量，
→
则
⋅ AF = 0,
→
即
z = 0,
1
−
2
1
− λ
2
3
3
− λ
2
2
x+
y = 0,
⋅ AN = 0,
z = 0,
1+λ
∴
取x = 3，则y =
（2）若m ⊄ α ，n ⊂ α ，m//n，则m//α
若直线l的方向向量与平
面α 的法向量垂直且
l ⊄ α ，则l//α
备用习题
续表
几何法
向量法
对于直线l，m和平面α ，β ，
面面 （1）若l ⊂ α ，m ⊂ α ，l//β ，m//β ，
若平面α ，β 的法向量
平行 且l ∩ m = A，则α//β ；
，∴ =
1−λ
3 1 − λ y = 1 + λ x,
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
1.4空间向量的应用 -1.4.2用空间向量研究夹角问题课件
|=
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
14
15
课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
v
1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
||||
||||
2、直线与平面的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
|=
||||
||||
3、平面与平面的夹角 0，2
| ∙ |
= | < , > | =
||||
∠CBA=∠DBC=120°.求:
(1)直线AD与直线BC所成角的大小;
(2)直线AD 与平面BCD所成角的大小;
(3)平面ABD 和平面BDC的夹角的余弦值.
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课堂小结
u
1、直线与直线的夹角 0，2
∙
| ∙ |
= | < , > | = |
||||
n1
n2
思考：面面角与二面角
的区别？
0，
11
例题讲解
∘
例8 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=CB=2, AA1=3 ,∠=90 ，P 为B
C 的中点，点Q, R 分别在AA1, BB1上，A1Q =2AQ， BR =2RB1.
求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
l
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1
l2
u A
n
B
C
n
n2 1
1.4.2用空间向量研究夹角问题
谢
谢
听
THANKS
FOR聆YOUR
WATCHING
求异面直线AC’与B’D’所成角的余弦值.
D'
C'
A'
B'
D
1.4.2用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高中数学人教A选择性必修第一册
因为△SAB与△SAC均为等边三角形， 所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
设 B(1，0，0)，则 C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1). 设 SC 的中点为 M，连接 OM，AM，则 M－12，0，21， 所故以M→OM→＝O·S12→，C＝0，0，－M→21A，·S→M→CA＝＝0，12，1，－21，S→C＝(－1，0，－1)，
则n1·A→M＝0，即－12x＋12z＝0， n1·A→N＝0， －21x＋12y＝0，
令 x＝1，解得 y＝1，z＝1，于是 n1＝(1，1，1).
同理可求得平面 BMN 的一个法向量
所以 cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝
－1 3×
n2＝(1，－1，－1)， 3＝－31.
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为 θ，
A.α＝θ C.cos θ＝|cos α|
B.α＝π－θ
√D.cos α＝|cos θ|
α＝θ 或 α＝π－θ，且 α∈0，π2， 因而 cos α＝|cos θ|.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n
70 70
C.2 7070
D.
70 70
建立如图所示的空间直角坐标系，则 D10，0，32， B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所所以以B|c→Dos1〈＝B→－D21，，A－→C2〉，|＝32，|B|B→→AD→DC11|＝··|A→A→C(C－||＝2，0，2，0)， 即 AC 与 BD1 所成角的余弦值为 0.
空间向量课件
空间向量课件
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
目录
• 空间向量基本概念 • 空间坐标系与向量坐标表示 • 空间向量数量积与夹角计算 • 空间向量外积与叉乘运算 • 空间向量混合积及其几何意义 • 空间向量在解决实际问题中应用案例
01
空间向量基本概念
向量定义及表示方法
定义
既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，可用 字母a、b、c等表示，也可用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示。
力学中力、速度、加速度等矢量合成问题
力的合成
多个力作用于同一物体时，可用空间向量表示各个力，通过向量加法求解合力。
速度与加速度的合成
物体在多个方向上有速度和加速度时，可用空间向量表示各方向上的速度和加速度，通过向量加法求 解合速度和合加速度。
电磁学中电场、磁场等矢量分析问题
要点一
电场强度与电势差的计算
向量坐标性质
向量坐标具有唯一性，即空间中任意 一个向量都可以用一个有序实数组 (x,y,z)来表示。同时，向量坐标具有加 法和数乘运算性质。
向量坐标运算性质
加法运算
若有两个向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则它们的和 a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
数乘运算
性质3
与标量乘法结合律，即 (ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k
为实数。
夹角计算公式推导及应用举例
01
02
03
夹角计算公式
cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)， 其中θ为两向量夹角，||a|| 和||b||分别为两向量的模 长。
应用举例1
计算两个给定向量的夹角 。
应用举例2
要点二
空间向量的应用
法向量坐标., • 第四步：计算向量的夹角或函数值 ., • 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角., • 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点
和答题规范.
• 一个平面的法向量有无数个，过一个定点 作平面的法向量有无数个.
1.利用空间向量证明平行垂直问题：
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2 的法向量分别为 n1, n2
平行 垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1
n1 n2
e1 e2
知识回顾：
• 1.直线的方向向量. • 我们把直线l上的向量 e(e 0)以及与 e共线的
非零向量叫做直线l的方向向量．
• 2.平面的法线．
• 与平面垂直的直线叫做平面的法线．
• 3.平面的法向量．
• 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂 直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记 作 .此时，我们把向量叫做平面α的法向 量．
e1 n1
n1 n2
2.利用空间向量求空间角：
• 1．设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1， m2，则l1与l2的夹角θ满足 cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
2．设直线l的方向向量和平面α的向量分别为 m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ ＝|cos〈m，n〉|二面角α －l －β的 两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小θ= AB．,CD
• b．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－ β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的 大小θ满足
• cosθ=cos〈n1，n2〉
=－cos〈n1，n2〉．
解题步骤：
• 第一步：建立空间直角坐标系., • 第二步：确定点的坐标., • 第三步：求向量直线的方向向量、平面的
和答题规范.
• 一个平面的法向量有无数个，过一个定点 作平面的法向量有无数个.
1.利用空间向量证明平行垂直问题：
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2 的法向量分别为 n1, n2
平行 垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1
n1 n2
e1 e2
知识回顾：
• 1.直线的方向向量. • 我们把直线l上的向量 e(e 0)以及与 e共线的
非零向量叫做直线l的方向向量．
• 2.平面的法线．
• 与平面垂直的直线叫做平面的法线．
• 3.平面的法向量．
• 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂 直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记 作 .此时，我们把向量叫做平面α的法向 量．
e1 n1
n1 n2
2.利用空间向量求空间角：
• 1．设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1， m2，则l1与l2的夹角θ满足 cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.
2．设直线l的方向向量和平面α的向量分别为 m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ ＝|cos〈m，n〉|二面角α －l －β的 两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大 小θ= AB．,CD
• b．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－ β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的 大小θ满足
• cosθ=cos〈n1，n2〉
=－cos〈n1，n2〉．
解题步骤：
• 第一步：建立空间直角坐标系., • 第二步：确定点的坐标., • 第三步：求向量直线的方向向量、平面的
高考数学空间向量的综合应用ppt课件
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第八章 立体几何与空间向量
5
设平面 PAD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AP→→AD＝＝00，，即－2x＋ x＋y＝y－0，3z＝0，令 x＝1，则 y＝－2，z＝－ 3，故 n＝(1，
－2，－ 3)为平面 PAD 的一个法向量．
所以点 E 到平面 PAD 的距离 d＝|n·|nP→|E|＝
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第八章 立体几何与空间向量
10
设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由D→A1·n＝0 得 x＋z＝0，由D→B·n＝0 得 x＋y＝0， 取 x＝1，则 n＝(1，－1，－1)， 所以点 D1 到平面 A1BD 的距离是 d＝|D→D|n1·| n|＝ 23＝233.
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第八章 立体几何与空间向量
24
翻折与展开问题
(2021·江西红色七校第一次联考)如图 1.梯形 ABCD 中，AB∥CD，过 A，B 分别作 AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.AB＝AE＝2，CD＝5， DE＝1，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 折起，得空间几何体 ADE-BCF，如图 2.
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第八章 立体几何与空间向量
21
所以 AD⊥AN，所以 AN⊥MN， 因为 AP＝AB，所以 AN⊥PB，MN∩PB＝N，所以 AN⊥平面 PBC，
因为 AN⊂平面 ADM，所以平面 ADM⊥平面 PBC.
(2)存在符合条件的 λ. 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，
12×1＋0×（－2）＋－ 23×（－ 12＋（－2）2＋（－ 3）2
3） ＝
空间向量的应用 求空间角与距离 公开课一等奖课件
[点评与警示]
1.在难以建空间直角坐标系的情况下，
可用平移的方法求异面直线所成的角． 2．利用空间向量求两异面直线所成角，是通过两条直 线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角范围为 θ π ＝[0，2]，两向量夹角 α 的范围是[0，π]，要注意两者的区 别．cosθ＝|cosα|.
如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那 么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于( 10 A. 5 4 C.5 15 B. 5 2 D.3 )
[解析] 所成的角，
连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1
AB＝BC＝2⇒A1C1＝AC＝2 2，又 AA1＝1 ∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 ＝AC ＝3，故选 D. 1
[答案] D
2 ．(2009· 江西，9) 如图，正四面体 ABCD 的顶点 A， B ， C
[解析]
如图所示，建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，
F(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，设 OE 和 FD1 所成的角为 θ， 则 cosθ＝|cos〈OE，FD1〉| OE· FD1 15 ＝ → ＝ . → 5 |FD1| |OE|·
→ → → →
→ →
(2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向 量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图 (b)(c)所示)．
4．利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 a 的法向量， |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝ |AB|· |cos〈AB，n〉|＝ |n| .
3.2空间向量在立体几何中的应用课件人教新课标B版
(2)∵P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)， ∴cos〈P→A，B→C〉
2×－2＋0×－3＋－2
＝
4× 13
3×0 ＝－
1133.
∴异面直线
PA
与
BC
所成角的余弦值为
13 13 .
例2 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧 棱长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角．
【思路点拨】 建立坐标系→写出点的坐标→求出 P→A与B→C的坐标→计算P→A与B→C的夹角．
【解】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)． 由 PD⊥平面 ABCD， 得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0,0,2 3)．
∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，
∴cos〈A→C1，n〉＝|nn|·|AA→→CC11|＝－2λ|λ|. ∴|cos〈A→C1，n〉|＝12. ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
二.立体几何中的空间距离
1.两点之间的距离； 2.点到直线之间的距离； 3.异面直线之间的距离； 4.点到平面之间的距离； 5.两个平面之间的距离；
变式练习
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点， 求B1到面A1BE的距离.
解:建立坐标系.
A1E
=(-1,1 2
,0),
z
A1B =(0,1,-1),
D1
设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量 A1
人教A版高中数学选择性必修第一册1.4.2空间向量的应用课件
∵M为BC中点，
∴M14， 43，0. ∴―M→N＝－14， 43，14，―A→B 1＝(1,0,1)，
∴―M→N·―A→ B 1＝－14＋0＋14＝0. ∴―M→N⊥―A→ B 1，∴AB1⊥MN.
反思与感悟
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系―→ 写出点的坐标―→ 求直线的方向向量―→证明向量垂直―→得到两直线垂直.
梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k_∈__R_)_.
知识点三 向量法判断面面垂直 思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向 量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
23a，
23a，0，D(0，
3a,0)，E
43a，
43a，a2，
F(0， 23a，a2)，
故―A→ B ＝(0,0，－a)，―BC→＝
23a，
23a，0.
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则nn11··― ―BACB→ →＝ ＝00， ，
即－x1＋azy1＝1＝00，，
取 x1＝1， ∴n1＝(1，－1,0)为平面 ABC 的一个法向量. 设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量， 同理可得 n2＝(1,1，－ 3). ∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－ 3)＝0， ∴平面 BEF⊥平面 ABC.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2， c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔_a_1_a_2＋__b_1_b_2_＋__c1_c_2_＝__0_.
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
高二数学——空间向量全部课件空间向量的应用
D
E C
OF
y
A
B
x
课堂小结：
1.基本知识：
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
2.思想方法：
用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐 标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐 标运算法则进行计算或证明。
l1与l2
l1与1 1与 2
平行
ur uur uer1 Peu2r eu1r nuu1r n1 Pn2
垂直
ur uur uer1 eu2r eur1 Pnuu1r n1 n2
例题1:平面内的一条直线,如果它和一条斜线
在平面内的射影垂直,那么这条直线和这条
斜线也垂直 (三垂线定理)
已知:PA是平面 的斜线,A为斜足,PO⊥平
3.2空间向量的应用(2)
----空间线面关系判定
温故知新:
(1)空间两条直线平行、垂直的判定.
(2)空间直线和平面平行、垂直的判定.
(3)空间两平面平行、垂直的判定.
怎样利用直线的方向向量来判定线面的位置关系? ur uur
设空间两条直线l1,l2的方向向量ur分u别ur e1, e2 ,两
个平面1, 2的法向量分别为 n1, n2,
D1 E
A1
(1)证明直线垂直于平面
内两条相交直线.
D
O
C1 B1 F
C
y
(2)证明直线的方向向量 和平面的法向量平行.
x
A
B
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,
1.4.1 用空间向量研究直线平面的位置关系课件高二数学人教A版选择性必修第一册(共50页PPT)
一的有序实数对 (x, y) ，使得 OP xa yb .
这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 ，
b
还可以具体表示出 内的任意一点.
Oa α
P
空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条 件是存在实数 x，使
OP OA x AB y AC ③.
l1 l2 u1 u2 R ，使得 u1 u2 .
u1
l1
l2
u2
如图，设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量，l ，则 l unun 0.
u
l
n
如图，设 n1 ， n2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1 n2 R ，使得 n1 n2 .
n2
n1
例 2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图， a ， b ， a b P ， a ，b .求证： .
空间中点、直线和平面的向量表示
如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用 向量 OP 来表示. 我们把向量OP 称为点 P 的位置向量.
P
p
定点O
对空间中点的位置向量的理解
（1）空间中点的位置向量是空间中点的向量表示，是空间中点的另一种表 示形式，即用向量语言表示空间中的点; （2）用点的位置向量表示点时，基点可以任意选取，例如可选取定点 A 作为基 点，用 AP 表示点 P 的位置； （3） 在确定好基点的情况下，点P的位置向量由点P的位置唯一确定； （4）在空间直角坐标系下，如果选择坐标原点O作为基点，则空间中点P的 位置向量的坐标即为P的坐标.
空间向量的应用课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
（2）平面 平面 .
【答案】结合（1）知，，,, ．设平面的法向量为 ，则即令，则,,得 ．设平面的法向量为，则即 得,令，则,得 .因为，所以 ,故平面 平面 ．
5.中等［苏教选必二P53复习题第13题变式］如图，在三棱柱中， 平面， ，且，，点是 的中点.
（1）求证：平面 .
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,的方向分别为轴,轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，，，,, ,
教材知识萃取
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
线线垂直
证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．
线面垂直
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．
面面垂直
（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.
4.［人A选必一P33练习第3题变式］如图，已知 平面，四边形 为矩形，，,分别为, 的中点，求证：
（1）平面 ；
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设,，则有,,,, ．第2步：求出，， ,利用向量知识证明因为,分别为,的中点，所以,,所以 ,又,,所以 ．又 平面，所以平面 ．
利用空间向量求线线角
贰
教材知识萃取
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,设a,b所成的角为θ,则cos θ=. Nhomakorabea易错提醒
利用空间向量求异面直线所成的角时,注意角的范围是(0,].
教材知识萃取
方法技巧求异面直线所成角的方法
几何法
将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.
【答案】结合（1）知，，,, ．设平面的法向量为 ，则即令，则,,得 ．设平面的法向量为，则即 得,令，则,得 .因为，所以 ,故平面 平面 ．
5.中等［苏教选必二P53复习题第13题变式］如图，在三棱柱中， 平面， ，且，，点是 的中点.
（1）求证：平面 .
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,的方向分别为轴,轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，，，,, ,
教材知识萃取
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
线线垂直
证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．
线面垂直
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．
面面垂直
（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.
4.［人A选必一P33练习第3题变式］如图，已知 平面，四边形 为矩形，，,分别为, 的中点，求证：
（1）平面 ；
【答案】第1步：建系由题意，以为坐标原点，,,所在的直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设,，则有,,,, ．第2步：求出，， ,利用向量知识证明因为,分别为,的中点，所以,,所以 ,又,,所以 ．又 平面，所以平面 ．
利用空间向量求线线角
贰
教材知识萃取
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,设a,b所成的角为θ,则cos θ=. Nhomakorabea易错提醒
利用空间向量求异面直线所成的角时,注意角的范围是(0,].
教材知识萃取
方法技巧求异面直线所成角的方法
几何法
将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.
高考数学专题复习《空间向量在立体几何中的应用》PPT课件
π-<n1,n2>
则θ= <n1,n2>
或θ=
,sin θ= sin<n1,n2>
.
12.用空间向量求空间距离
(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则
|·|
点A到平面α的距离为d= ||
.
(2)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平
3
√3
,0, 2
2
.
,
- + 2 = 0,
· = 0,
(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,由
即
2√3 + 3 = 0.
· = 0,
令 y=2,得 n=(-√3,2,1).
∵n·=-√3 ×
PAD.
3
√3
+2×0+1× =0,∴n⊥
2
2
.又 CM⊄平线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( √ )
(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到
α 的距离为
| ·|
d=
.(
||
√ )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,
(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分
都
称为一个半平面.
(2)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形称为二面角,
这条直线称为二面角的 棱 , 这两个半平面 称为二面角的面.棱为l,两
个面分别为α,β的二面角的面,记作 α-l-β ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记
则θ= <n1,n2>
或θ=
,sin θ= sin<n1,n2>
.
12.用空间向量求空间距离
(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则
|·|
点A到平面α的距离为d= ||
.
(2)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平
3
√3
,0, 2
2
.
,
- + 2 = 0,
· = 0,
(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,由
即
2√3 + 3 = 0.
· = 0,
令 y=2,得 n=(-√3,2,1).
∵n·=-√3 ×
PAD.
3
√3
+2×0+1× =0,∴n⊥
2
2
.又 CM⊄平线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( √ )
(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到
α 的距离为
| ·|
d=
.(
||
√ )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,
(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分
都
称为一个半平面.
(2)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形称为二面角,
这条直线称为二面角的 棱 , 这两个半平面 称为二面角的面.棱为l,两
个面分别为α,β的二面角的面,记作 α-l-β ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记
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向量法求两条直线的夹角
向量法求两条直线的夹角
异面直线所成角的范围
：
C
D
A B
结论： =
拓展练习
例题
向量法求两条直线的夹 角 理解并掌握向量法求两条直线的夹
角
平面的法向量
P 除此之外，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位 置
平面的法向量
例题
例题
练习
练习
练习
平面的法向量
理解并掌握平面法向量的求 法
平面法向量求法 空间线线夹角、线面夹角的求 法点线距离、点面距离、线面距离的求 法 教学难点
空间线线夹角、线面夹角的求 法点线距离、点面距离、线面距离的求 法
空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要 的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从 而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的 一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎 么样用向量的办法解决立体几何的问题。
精品 课件
高中数学选择性必修1
第一章 空间向量与立体几何
空间向量的应用
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
掌握直线方向向量，并会用直线方向向量求两直线夹 角理解并掌握平面法向量的求 法理解并掌握直线与平面夹角的求 法理解并掌握二面角的求 法理解点到直线的距离有求 法理解点面距离、线面距离的求 法
教学重点
例题
空间向量研究距离、夹角问题
线面夹角 直线与平面所成角的范围 ：
结论： =
拓展练习
拓展练习
拓展练习
拓展练习
例题பைடு நூலகம்
直线与平面的夹 角 理解并掌握直线与平面夹角的求
法
空间向量研究距离、夹角问题 二面角的范围：
O
关键：观察二面角的范 围
例题
例题
练习 A C
练习
练习
例题
例题
例题
例题
例题
练习
练习
练习
二面角及其度量
理解并掌握直线与平面夹角的求 法
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
习题
总结
总结
总结
角的分类
向量求法
范围
异面直线 所成的角
直线与平面所 成的角
二面角
= =
=
向量法证明平行
利用以上结论，可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题 ．
拓展练习
向量法证明平行 用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
例题
例题
练习
练习 不存在
练习
向量法证明垂直
例题
例题
练习
练习
练习
标题空间向量研究距离、夹角问题
拓展练习
拓展练习
点线距离
理解并掌握点线距离的求 法
空间向量研究距离、夹角问题
空间向量研究距离、夹角距离
平行于平面的直线到平面的距离，只需要在直线上取一点，转 化为点面距离即可
例题
例题
练习
1
1
1
练习
练习
点面距离与线面距离
理解并掌握点面距离与线面距离的求 法
空间向量研究距离、夹角问题
线线夹角的求法我们在前面已经讲过了，这里我们练习一题复 习一下