类比归纳猜想
类比猜想两例
类比猜想两例
数学推理由合情推理和演绎推理,合情推理又分为,归纳推理与类比推理。
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理。
就类比推理给出几个简单的例子。
例1:数学名词猜想一例
图一扇形,图二圆环,图三既有扇形的部分,又有圆环的部分,可以看成扇形与圆环的交集,图形的名称也取交集叫“扇环”
例2:面积猜想一例
三角形面积:12S ah =,扇形面积公式为:12
S lR =,公式形式完全相同。
而扇环可以看作大扇形去掉一个小扇形得到;梯形可以看作大三角形去掉一
个小三角形得到。
既然如此,梯形面积:1()2
S a b h =+ 扇环面积公式应该为121()2
S l l h =+
下面给出扇环面积公式的推导。
由弧长公式可知2111
l l h h h =+,即2111()l l h l h -= 扇环面积21211121121211111())()22222
S S S l h h l h l l h l h l l h =-=+-=-+=+( 既然扇环面积公式可以这样推,梯形面积公式也可以用这个方法推出来。
由三角形相似可知11
b a h h h =+,即1()b a h ah -= 梯形面积2111111111())()22222
S S S b h h ah b a h bh a b h =-=+-=-+=+( 从上面的推理可以看出两公式不仅形式一样,而且推理过程也完全一样的。
《归纳、类比、演绎推理》课件
构建数学:
类比推理的定义:
类比推理:根据两个(或两类)对象之间在
某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称:类比)
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实,还需经过逻辑证明和实践证明,因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理,通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点,帮助人们发现问题和提出问 题。
情景创设1: 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班 (后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗?
情景创设2:
数学巩固:
1. 观察下列等式,并从中归纳出一般的结论:
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
类比、归纳、猜想
归纳法.由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象, 归纳法.由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象, 得出的结论只能算猜想, 得出的结论只能算猜想,结论的正确与否有待进一步证明 或举反例
【例5】证明:任何面积等于 的凸四边形的周长及两条对 】证明:任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对 角线的长度之和不小于4十 角线的长度之和不小于 十 8 . 【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一 分析】 起令人棘手,我们可以从特例考察起: 起令人棘手,我们可以从特例考察起:先考虑面积为 1的正方形,其周长恰为 ,对角钱之和为 2 2 即 8. 的正方形, 的正方形 其周长恰为4, 其次考察面积为1的菱形 若两对角线长记为l 的菱形, 其次考察面积为 的菱形,若两对角线长记为 1、l2, 那么菱形面积S= 那么菱形面积 菱形周长: = 菱形周长: l=4
选后者为类比物, 选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问 作代换: ),证明必存在 题.作代换:xk=tgαk(k =l,2,…,7),证明必存在 , , , ), αi,αj,满足不等式 满足不等式0≤tg(αi-αj)≤
1
3
.
证明: ),α 证明:令xk=tgαk(k =l,2,…,7), k∈(-л/2, , , , ), , +л/2),则原命题转化为:证明存在两个实数 i, ),则原命题转化为 ),则原命题转化为:证明存在两个实数α αj∈(-л/2,+л/2),满足 ),满足 , ),满足0≤tg(αi-αj)≤ 3
若球O交 于 点 若球 交OC于T点。△TON中,ON= 中 cos∠TON=cos(π-∠TOM)= ∠ ∠
OM OC
2 4
,OT=2
1 6
【高考数学二轮复习】运用类比思想和方法求解推广性问题与用不完全归纳法猜想,以完全归纳法证明猜想-原卷
第69讲 运用类比思想和方法求解推广性问题数学的创造能力一般指对已经掌握的数学知识、方法进行推广和拓展,对末知的数学领域通过探索得到新的结果的能力,而类比法就是这种创造能力的一个方面、一种体现,通过类比可以由此及彼发现新问题,总结新规律,也可以对原有问题在知识层面或方法层面上加以拓展,使认识不断深人,并推广到更为一般的结论.运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象,但是很多待解决的问题没有现成的类比物,这就需要我们通过观察、提炼,凭借结构上的相似性寻找类比对象,类比的基础是联想的发生,而联想的发生是以与问题相关的丰富的知识为基础的,高中阶段所学的基本上属于古典数学范畴,但是随着时代的进展,我们要改变对原有知识的认识方式.典型例题【例1】(1)函数()f x 对于任何x +∈R ,恒有()()()1212f x x f x f x ⋅=+,若()164f =,求()4f ;(2)定义在+R 上的函数()f x 满足:(1)()101f =;(2)对任意实数(),b b f x =()bf x .① 求()111,,24f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及满足()1003lg1003f k -=的k 值; ② 求证:对任意实数()()(),,x y f xy f x f y +<=+R ; ③求证:()f x 是+R 上的增函数.【例2】(1)若函数()()f x x ∈R 满足:()()()()1f x m f x m f x f x +=+++,且()f x ≠1,m 是非零常数,问()f x 是否是周期函数?若是,求出它的一个周期,若不是,请说明理由.(2)如图121-所示,12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 在椭圆上,若设12F PF ∠θ=,则12F PF 的面积为2tan2S b θ=;相应地,如图122-所示,12,F F 是双曲线2222(0,0)x y a b a b->>的两个焦点,P 在双曲线上,若设12F PF ∠θ=,则12F PF 的面积S 的表达式是什么?并对两个命题加以证明.【例3】设()()111222,,,?P x y P x y 是函数()xf x =图像上的两点,()121.2OP OP OP =+ (1)若点P 的横坐标为12,求证P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值. (2)若1231n n n S f f f f f n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求;?n S(3)记n T 为数列⎧⎫的前n 项和,若(1n n T a S +<对一切*n ∈N 都成立,试求a 的取值范围.【例4】若椭圆2212211:1x y E a b +=和椭圆2222222:1x y E a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比.(1)求经过点(,且与椭圆22142x y +=相似的椭圆方程; (2)设过原点的一条射线l 分别与(1)中的两个椭圆交于,A B 两点(其中点A 在线段OB 上),求OA OB 的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆2212:2x C +1=和2222:14x C +=交于,A B 两点,P 为线段AB 上的一点,若,,OA OP OB 成等比数列,则点P 22212y +=”,请用类比法提出类似的一个真命题,并给予证明.第70讲 用不完全归纳法猜想,以完全归纳法证明猜想从观察一些特殊的简单的问题人手,根据它们所体现的共同性质,运用不完全归纳法作出一般命题的猜想,由于这个猜想是通过试验、观察、分析、综合、抽象概括出来的,其缺点是探索得到的猜想不一定正确,需要加以证明,而数学归纳法只能对所发现的结论正确与否加以论证,不能直接发现结论,因此,将不完全归纳法与数学归纳法并举是一种探讨数学问题的好方法,从而就有了“归纳一猜想一证明”题型,它是一个完整的思维过程,是人们从事科学研究,认识发现规律的有效途径,归纳是“猜想”的前提,它体现了由“特殊”到“一般”的转化,为了增强“猜想”结论的可靠性,在“归纳”阶段,一般应多演算几种特殊情形,然后通过对特殊的情形的分析去研究其一般规律,最后结论的正确性必须用数学归纳法证明.当然,有些题也可以由特殊到一般进行分析论证.典型例题【例1】(1)观察下表:.113587911271315171964212325272..9125=+=++=+++=++++=推测由上表各行所提示的一般规律,用适当的数学记号表达并加以证明..(2)观察下列各式:①1 cos32π=②21 cos cos554ππ=③231 cos cos cos, 7778πππ=④2341 cos cos cos cos, 999916ππππ=...根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.【例2】已知函数()y f x =与函数0)y a =>的图像关于y x =对称,(1) 在数列{}n a 中。
类比联想 猜想证明
(一 Ⅱ
广为以 A 大 J B为 直径 的 圆经 过 椭 圆 的有 顶 点 ,
所 以 LAC B:9 。 0, j - , . :0,
定( 点
,) 之 若 线 经 定 ( 等,) o 反 , 直 f过 点 兰 0 , ,
( 2 ) +2 m Z b +a k k a x+a ab :0 2 一2 m ,⑧
点) ,且 以 A 为直 径 的 圆经 过 椭 圆 的 右 顶 点 , 则 直 线 Z 过 定 B 经
点 (
,右顶 点为
一0. ,
没 4、日两点 的坐标分别为 A(
C( a,0 ),
一
、
角 的 类 比
k22 + 2k a + a k ab m 3 4 + bm 2
圆周 角 定理 :直 径 所 对 的 圆周 角为 直 角 .
一
类 比猜 想 :圆 经 过 压 缩 变 换 可 以得 到 椭 圆 ,我 们 可 以 把 圆 周 角 定 理 直 接 类 比到 椭 圆 中 ,即 “ 过 椭 圆对 称 中心 的 弦 ( 经 连 接 椭圆上任 意 两点的线段 )所 对 的椭 圆周角 ( 点在 椭 圆上 , 顶
反 , 直 A经 定 ( ,) 之 若 线 B 过 点等 0 ,
则 . : 恒成立,即厶4 口: 0. 商 0 c 9。
综 上所 述 ,我们 探 索 出定 理 1 、定 理 2 、定 理 3 . 定理 1 :若 直 线 z h +m :y ∈R,m ∈R) 与 椭 圆 + l( 。>6>0 相 交 于 A、曰 两 点 ) 、日 不 在 左 、 右 顶
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类比猜想的主要步骤
类比猜想的主要步骤
类比猜想是一种基于类比推理的数学猜想方法,其主要步骤如下:
1. 观察问题:观察需要解决的问题,了解问题的背景和相关信息,寻找可能存在的关系和规律。
2. 寻找类比对象:根据观察到的信息,寻找与问题类似或相关的对象,作为类比的对象。
3. 建立类比关系:分析类比对象与问题之间的相似性和差异性,建立合理的类比关系,以便将类比对象的知识和经验应用到问题中。
4. 进行推理和验证:根据建立的类比关系,进行推理和计算,预测问题的解决方案或结果。
同时,需要对推理过程进行验证,确保推理的正确性和可行性。
5. 得出结论:根据推理和验证的结果,得出结论,判断问题的解决方案或结果是否正确。
如果结论正确,则可以将其推广到其他类似的问题中;如果结论错误,则需要重新进行类比推理,寻找更合适的类比对象和方法。
总之,类比猜想是一种基于类比推理的数学猜想方法,其主要步骤包括观察问题、寻找类比对象、建立类比关系、进行推理和验证以及得出结论。
通过类比猜想,可以提高数学问题的解决效率和准确性,同时也可以培养数学思维和推理能力。
归纳法和类比法
12
12 12 15
6
8 7 7 6
V+F-E=2
——笛卡儿-欧拉多面体定理
7 10
8
12
一、 归纳法的概念
归纳法,是指通过特别分析引出普遍的结论 的推理方法。和类比一样,它在数学发现中也具 有十分重要的作用。 在科学认识活动中,归纳法可以理解为用来 概括由观察和实验获得的事实,确立科学认识基 础的客观性,从而探索事物的规律性。即归纳常 常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理,其猜想或论断 尽管是符合情理的,但不一定是正确的,还需要 有严格的证明。
引例2:观察如下几个等式: 10=3+7,20=13+7,30=13+17
再如: 6=3+3, 8=3+5,10=3+7=5+5, 12=5+7,14=3+11=7+7
能否有论断:“任何一个大于4的偶数都 是两个奇质数之和”。 ——哥德巴赫猜想 1966年,数学家陈景润证明了“每一个充分 大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二 个质数的乘积之和”。
二、 归纳法的类型
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法,是根据某类事物中每一个 对象的情况或每一个子类的情况,而作出关于该 类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真 的,那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法,是根据对某类事物中的 一部分对象的情况,而作出关于该类事物的一般 性结论的推理。
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用, 具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、 较容易的问题去解决它,以便它可以作为一个模式。 然后利用这个刚刚建立起来的模式,以达到原来问 题的解决。” 例5 6 计 算 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
类比猜想——联系新旧知识的桥梁
已知 条 件 中 的 数量 关 系 . 题 方 法 仍 解
学 生 利 用 已有 的 知 识 经 验 去 理 解 分 是 相 同 的 . 即桃 树 的种 植 面积 x 0 4 %
的 2倍 .梨 树 种 植 面 积 是 多 少 平 方
本 文 力 求 从 以 下 几 方 面 阐 述 笔 者 在 行 辨 析 、 较 . 出新 旧 知 识 之 间 的 比 找
教学 中 巧 妙 渗 透 类 比法 的 探 索 与 思 联 系 . 样 既 可 鲜 明 地 展 示 获 取 知 识 米 ? 学 生理 解 题 意 , 一 个 数 的几 倍 这 求
例 如 。 教学 《 在 比的 基 本 性 质 》 一
要 注 重发 掘 和 渗 透 . 引导 学 生 在 掌 握
基础 知识 和基 本 技 能 的 基 础 上 . 用 路 为 :桃 树 的种 植 面 积× :梨树 的 运
]
课 时 师 先 引 导学 生 复 习 商 不 变 的 教 类 比 的方 法 展 开 丰 富 的 联 想 . 生 正 产
二 、 用 类 比提 升 拓展 巧
在 数 学 中 ,类 比是 发 现 规 律 、 定
的“ 2倍” , 改为 j 引导学生理解告
的含义 .当数量之 间的倍 数小 于 1 时 , 常 说 成 几分 之 几 . 以看 作 分 通 可
生 类 比猜 想 出 新 授 知 识 的 内 容 、 结 理 和公 式 的重 要 手 段 . 也是 学 生 拓 展
师讲 授 概 念 、 法 、 律 和 公 式 的 重 变 。 方 规 要 手 段 , 是 学 生 发 现 问 题 、 索 问 也 探 题 、解 决 问 题 的一 种 基 本 思 维 方 法
归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.在解决问题的过程中,合情推理具有猜侧和发表结论,探索和提供思路的作用.有利于创新意识的培养.在能力高考的要求下,推理方法就显得更加重要.在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识,使得问题的解决有章有法,得心应手.合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.说明:归纳推理的思维过程大致如下:2归纳推理的特点:(1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.3归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型,归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同本质;②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.说明:归纳推理基于观察和实验,像“瑞雪兆丰年”等农谚一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等,也都是在实验和观察的基础上,通过归纳发现的.二类比推理(以下简称类比)1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.2类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).3说明:类比推理的思维过程大致如下图所示:类比推理是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理,公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的.因此,类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图,①,②,③,…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n个图形中的花盆数a n=.【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图,过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA,OB1∥VB,OC1∥VC,A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点.求证:为定值.分析考虑平面上的类似命题:“过△ABC(底)边AB上任一点O分别作OA1∥AC,OB1∥BC,分别交BC、AC于A1、B1,求证为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1.另外,过A、O分别作BC垂线,过B、O分别作AC垂线,则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形,也可用两种方法证明其定值为1.证明:如图,设平面OA1VA∩BC=M,平面OB1VB∩AC=N,平面OC1VC∩AB=L,则有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1∽△LCV.得=。
归纳、类比与猜想
归纳、类比与猜想作者:杨起群来源:《小学教学研究》2008年第03期在小学数学教材中有许多法则、公式等,是按照从特殊到一般的认识规律,通过对特例的观察、分析、实验,从而归纳出一般性结论,即归纳法。
类比在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想来启发诱导以寻求思维的变异和发散。
在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容,帮助理解和记忆。
在解决问题时,无论是对于命题本身或解题方法,都是产生猜测、获得命题的推广或引伸的原动力。
因此,归纳法和类比法既是数学学习的重要方法,也是数学发现的有效方法。
归纳和类比都属于合情推理,其结论需要演绎证明。
猜想是归纳与类比的成果,它们都包含有猜想的成分,所以猜想本身就是一种合情推理,直截了当一点,合情推理就是猜想。
牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。
”因此,合理地设计富有猜想的教学过程,不仅可以很好地组织教学,而且还可以提高学生学习兴趣,培养学生的创新能力。
一、归纳法归纳法是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般性结论的方法,也就是由特殊到一般的推理方法。
1.归纳法具有发现真理、探索真理的作用数学中的许多著名定理都是先运用不完全归纳法发现而后给予证明的。
如德国著名数学家哥德巴赫从3+7=10,3+17=20,13+17=30等算式中观察出两个奇素数之和等于一个偶数,他做了进一步的实验,发现6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7,14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,于是,他得出了:任何一个既不是素数也不是素数平方的偶数(即大于4的偶数),是两个奇素数之和。
这就是著名的哥德巴赫猜想,尽管到如今这还是一个猜想,但数学家们在证明这个猜想的过程中,已经发现、发明了许许多多的数学定理,为数学的发展乃至社会的发展作出了巨大的贡献。
2.归纳法在小学数学教育中具有十分重要的意义小学数学中几乎所有的公式、法则和性质都是通过不完全归纳法来认识。
观察、类比、归纳、猜想作业1
观察、实验、类比、归纳作业姓名一、数的规律1:(06重庆市)按一定的规律排列的一列数依次为:┅┅,按此规律排列下去,这列数中的第7个数是 .第n个数为 .二、式的规律2:(06四川省眉山市)观察下面的单项式:根据你发现的规律,写出第7个式子是.第n个数为 .三、图形的规律3:(06河北省)观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律:(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式:(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.四、动手操作找规律4:(05河北)一根绳子弯曲成如图1所示的形状.当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图3那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪(n-1)次(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时绳子的段数是( )A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+55、(2006年河北)观察下图左给出的四个点阵,s表示每个点阵中的点的个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜想第n个点阵中的点的个数s为().A.3n-2 B.3n-1 C.4n+1 D.4n-36、(2006年泰州)如上图右,每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,根据图中提供的信息,用含的等式表示第个正方形点阵中的规律.六、拼图中的规律7、(2006年十堰)用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第n个图形需____________根火柴棒.(第一个图形)(第二个图形)(第三个图形)8、(2006年武汉)如下左图,下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成.依次规律,第n个图案中白色正方形的个数为.七、网格中规律9、(2006年温州市)如上右图,在边长为l的正方形网格中,按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8,第2个“L”形图形的周长是12,则第n个“L”形图形的周长是.10、(2006年海南)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖__________块,第n个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含的代数式表示).11、(2006年吉林)如图7,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第n个图案中白色瓷砖块数为_________.九、摆棋子中规律12、(2006年河池)观察如图用棋子摆成的一列图案,每个图案棋子的个数记为S.按此规律,推断第n个图形中棋子的个数为S=_____________.13、(2006年湘潭)如图用棋子按下列规律摆图案:上面是用棋子摆成的“H”字.(1)摆成第一个“H”字需要个棋子,第二个“H”字需要棋子个;(2)按这样的规律摆下去,摆成第10个“H”字需要多少个棋子?第n个呢?十、摆花盆规律14、(2006年汉中油田)“五一”国际劳动节,广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案,如图所示,已知第一层摆黄色花,第二层摆红色花,第三层是紫色花,第四层摆黄色花……由里向外依次按黄、红、紫的颜色摆放,那么第n 层应摆 盆 花.十一、程序变化规律15、(2006年湖北孝感)为迎接2008年北京奥运会,孝感市某中学课外科技小组的同学们设计制作了一个电动智能玩具,玩具中的四个动物小鱼、小羊、燕子和熊猫分别在1、2、3、4号位置上(如图11),玩具的程序是:让四个动物按图12所示的规律变换位置,第一次上、下两排交换位置;第二次是在第一次换位后,再左、右两列交换位置;第三次再上、下两排交换位置;第四次再左、右两列交换位置;按这种规律,一直交换下去,那么第2008次交换位置后,熊猫所在位置的号码是 _______________号.图11 图12【思考】、The sequence ,51,44,43,42,41,33,32,31,22,21,11,then the 2003th number is . 2、设计方案,比较20092008与20082009的大小,并猜想1+n n 与nn )1(+(n 式自然数)的大小关系。
第21讲-类比与猜想
第21讲类比与猜想每当理智缺乏可靠的论证思路时,类比这个方法往往指引我们前进。
——康德知识方法扫描传说木工用的锯子是鲁班发明的,有一天他到山上去,手指突然被一根丝毛草划了一下,划破了一道口子。
他想一根小草怎么会这样厉害呢?鲁班仔细一看,发现草叶子的边缘生着许多锋利小齿。
鲁班立即想到,如果照着丝毛草叶子的模样,用铁片打制一把带利齿的工具,用它在树上来回拉,不就可以很快地将树割断吗?回去后他马上打了一把这样的工具,这就是锯子。
聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比(analogy)。
类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处,推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处,如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构相似,由前者能划破手指,推出后者能割断树木。
这种仿照生物机制的类比,到了近代,便发展成了一门新兴的学科,即所谓近代仿生学,例如,潜水艇的设计思想来自鱼类在水中浮沉之生物机制的类比。
类比是一种相似,即类比的对象在某些部分或关系上的相似。
在文学艺术与科学研究中都充满了类比。
类比用得好,在文学作品中可使文章大为生色,在科学研究中可引出新的发现。
“问君能有几多愁,恰似一江春水向东流”(李煜)用的就是类比。
医药试验不宜直接在人体上进行。
老鼠、猴子与人在身体结构上具有类似之处,于是,有理由相信,在这些动物身上的试验结果类似于在人体上试验的结果。
代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式,从而推出分式具有分数相似的性质,分式可以如分数一样进行化简和运算,这就是类比。
我们在学习立体几何时常常可以类比平面几何,将在平面几何中成立的结论进行推广,得到许多类似的结论。
例如,长方形和长方体的类比,如图23-1所示。
图23-1长方形的每一边恰与另一边平行,而与其余的边垂直。
长方体的每一面恰与另一面平行,而与其余的面垂直。
长方形长方体类比是从人们已经掌握的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识为基础,类比出新的结果。
合情推理-归纳推理与类比推理
分析:面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
.
P
S1 C S2
C
A
A
S3
B
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象
平面图形(二维) 点
立体图形(三维) 点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体(各面均为三角形)
四边形
六面体(各面均为四边形)
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果,具有发现的功能,启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。
类比推理的结论不一定成立
• 1.下面几种推理是类比推理的是( ) • A.因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角和
是180°×(4-2),…,所以n边形的内角和是180°×(n-2) • B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 • C.某校高二年级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c
2
c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b2c
2
s12
s22
s32
s 2 s12 s22 s32
变式练习:在三角形ABC中有结论:
AB+BC>AC,类似地在四面体P-ABC中
归纳与类比三星堆文化猜想
古以色列人
对石头的崇拜 金仗与鼎 神树
牛崇拜的半人半兽面具 小圆帽[吉帕帽] 五幅太阳形 悬棺与船形棺 人像外观 犹太文明标志
三星堆文明是古犹太文化的遗泽
对石头的崇拜 是古犹太文明的表现 金仗与鼎是古犹太文明的表现 神树是古犹太文明的表现 牛崇拜的半人半兽面具是古犹太文明的表现 小圆帽[吉帕帽]是古犹太文明的表现 五幅太阳形是古犹太文明的表现 悬棺与船形棺是古犹太文明的表现 人像外观是古犹太文明的表现 对石头的崇拜……是三星堆文化的部分对象,目前还没有反例。
所以,三星堆文化是古犹太文明的表现。
简单枚举归纳推理的公式
S1 是P, S2 是P, S3 是P, …… Sn 是P, S1,S2,S3……,Sn是S类的部分对象,并且没有遇到反例。
所以,所有S都是P
形式逻辑学的框架
概念
判断
直接 复合 三段论
演绎
推理
【有效性与真实性】
枚举 完全 科学
第6讲 类比与归纳:三星堆文化猜想
类比与归纳作为推理方式同演绎推理有什么本质的不同? 类比与归纳之间又究竟是一种什么样的关系呢?
神秘的三星堆文化
苏三 河南洛阳人, 现居北京。民间文化学者。 所著《三星堆文化大猜想》 引来毁誉各半。
犹太人古代称
为希伯来人。所罗 门王统治古以色列 时期,国家兴旺。
石头祭祀:四川境内羌族至今石头盖房
战国圆鼎与三星堆神树
三星堆金面青铜人头像
三星堆青铜太阳形器 埃塞俄比亚国旗 以色列国旗
以色列人石头悬棺和三星堆船形棺
三星堆贝币[海币]
三星堆铜人头像和古埃及神像造型
四川罗中立的《父亲》和埃塞俄比亚人
秦兵马俑与古埃及法老像
பைடு நூலகம்
归纳、类比与猜想
、
归 纳 法
归 纳 法 是 通 过 对 同 一 类 事 物 的 特 殊 对 象 的 研 究 而 得 出 一 般 性 结 论 的 方
供 任 凭 他们 想 象 发 挥 的 时 间 和 空 问 . 然
因 此 . 纳 法 和 类 比法 既 是 数 学 学 习 的 归
于 是 , 得 出 了 : 何 一 个 既 不 是 他 任 素 数 也 不 是 素 数 平 方 的偶 数 f 大 于 4 即 的 偶 数 )是 两 个 奇 素 数 之 和 。这 就 是 著 , 名 的哥 德 巴赫 猜 想 . 管 到 如 今 这 还 是 尽
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口口口‘ \ 归纳 娄比与猜想 口口口
广西 桂 林 师 范 高 等 专 科学 校 教 育 与管 理 系 杨 起 群
在小 学 数学教 材 中有 许 多法 则 、 公 式 等 . 是 按 照 从 特 殊 到 一 般 的 认 识 规
是 。 学 生 对 定 义 、 算 性 质 f 律1数 的 运 定 、 整 除 性 特 征 等 知 识 的 学 习 . 一 不 是 通 无
过 不 完 全 归 纳 法 来 理 解 、 握 的 。 这一 掌
的 过 程 中 . 经 发 现 、 明 了许 许 多 多 已 发
重 要 方 法 . 是 数学 发 现 的 有 效 方 法 。 也 归 纳 和 类 比 都 属 于 合 情 推 理 . 结 其 论 需 要 演绎 证 明 猜 想 是 归 纳 与 类 比 的 成 果 . 们都 包含 有猜 想 的成 分 . 以 它 所 猜 想 本 身 就 是 一 种 合 情 推 理 . 截 了 当 直
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-类比、归纳、猜想
数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.
所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。
类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证.
运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下:
可见,运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型.
(1)降维类比
将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.
【例1】如图,过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA,OB1∥VB,OC1∥VC,A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点.
求证:++为定值.
分析考虑平面上的类似命题:“过△ABC(底)边 AB
上任一点O分别作OA1∥AC,OB1∥BC,分别交BC、AC于
A1、B1,求证+为定值”.这一命题利用相似
三角形性质很容易推出其为定值1.另外,过A、O分别作BC垂线,过B、O分别作
AC垂线,则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形,也可用两种方法证明其定值为1.
证明:如图,设平面OA1VA∩BC=M,平面OB1VB∩AC=N,平面OC1VC∩AB=L,则有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1∽△ LCV.得
++=++。
在底面△ABC中,由于AM、BN、CL交于一点O,用面积法易证得:
++=1。
∴++=1。
【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球,S是所作六个球的交集.证明S 中没有一对点的距离大于.
【分析】考虑平面上的类比命题:“边长为1的正三角形,以各边为直径作圆,S‘是所作三个圆的交集”,通过探索S’的类似性质,以寻求本题的论证思路.如图,
易知S‘包含于以正三角形重心为圆心,以为半径的圆内.因此S’内任意两点的距离不大于.以此方法即可获得解本题的思路.
证明:如图,正四面体 ABCD中,M、N分别为BC、AD的中点,G为△BCD的中心,MN∩AG=O.显然O是正四面体ABCD的中心.易知OG=·AG=,并且可以推
得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于,其球O必包含S.现证明如下.
根据对称性,不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点,且P 不在球O内,现证P亦不在S内.
若球O交OC于T点。
△TON中,ON=,OT=,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。
由余弦定理:
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,∴TN=。
又在Rt△AGD中,N是AD的中点,∴GN=。
由GN= NT=, OG=OT, ON=ON,得△GON≌△TON。
∴∠TON=∠GON,且均为钝角.
于是显然在△GOC内,不属于球O的任何点P,均有∠PON>∠TON,即有PN>TN=,P点在 N为球心,AD为直径的球外,P点不属于区域S.
由此可见,球O包含六个球的交集S,即S中不存在两点,使其距离大于.(2)结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.
【例3】任给7个实数x k(k=1,2,…,7).证明其中有两个数x i,x j,满足不等
式0≤≤·
【分析】若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立.若7个实数互不相等,
则难以下手.但仔细观察可发现:与两角差的正切公式在结构上极为相似,
故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换:x k=tgαk (k =l,2,…,7),证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tg(αi-αj)≤·证明:令x k=tgαk(k =l,2,…,7),αk∈(-,),则原命题转化为:证明存在两个实数αi,αj∈(-,),满足0≤tg(αi-αj)≤·
由抽屉原则知,αk中必有 4个在[0,)中或在(-,0)中,不妨设有4个在[0,)中.注意到tg0=0,tg=,而在[0,)内,tgx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj <即可。
为此将[0,)分成三个小区间:[0,]、(,]、(,)。
又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj≤,故
0≤tg(αi-αj)≤·这样,与相应的x i=tgαi、x j=tgαj,便有0≤≤·(3)简化类比
简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等.
【例4】已知x i≥0(i=1,2,…,n),且x l+x2+…+x n=1。
求证:1≤++…+≤.
【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题:“已知x l≥0,x2≥0,且x l+x2=1,求证1≤+≤”.本类比题的证明思路为:∵2≤x l+x2=l,
∴0≤2≤1,则1≤x l+x2+2≤2,即1≤(+)2≤2,∴1≤
+≤.这一证明过程中用到了基本不等式和配方法.这正是要寻找的证明原命题的思路和方法.
证明:由基本不等式有0≤2≤x i+x j,则
0≤2≤(n-1)( x l+x2+…+x n)=n-1
∴1≤x l+x2+…+x n +2≤n,即1≤(++…+)2≤n
∴1≤++…+≤.
所谓归纳,是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式.它由推理的前提和结论两部分构成:前提是若干已知的个别事实,是个别或特殊的判断、陈述,结论是从前提中通过推理而获得的猜想,是普遍性的陈述、判断.其思维模式是:设M i(i=1,2,…,n)是要研究对象M的特例或子集,若M i(i=1,2,…,n)具有性质P,则由此猜想M也可能具有性质P.
如果=M,这时的归纳法称为完全归纳法.由于它穷尽了被研究对象的一切特
例,因而结论是正确可靠的.完全归纳法可以作为论证的方法,它又称为枚举归纳法.
如果是M的真子集,这时的归纳法称为不完全归纳法.由于不完全归纳法
没有穷尽全部被研究的对象,得出的结论只能算猜想,结论的正确与否有待进一步证明或举反例.
本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想,对于完全归纳法,将在以后结合有关内容(如分类法)进行讲解.
【例5】证明:任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十.
【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手,我们可以从特例考察起:先考虑面积为1的正方形,其周长恰为4,对角钱之和为2即.其次考
察面积为1的菱形,若两对角线长记为l1、l2,那么菱形面积S=l1·l2,知
l1+ l2≥2=2=,菱形周长: l=4≥2=4。
由此,可以猜想:对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑.
【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形,其有关线段及角标如图.则
S ABCD=(eg+gf+fh+he)sinα
≤(e+f)(g+h)≤,
∴e+f+g+h≥2,即对角线长度之和不小于.
∴a+b+c+d≥4,即周长不小于4.
综上所述,结论得证,
【例 6】在一直线上从左到右依次排列着 1988个点P1,P2,…,P1988,且P k是线段P k-1P k+1的k等分点中最靠近P k+1的那个点(2≤k≤1988),P1P2=1,
P1987 P1988=l.求证:2l<3-1984。
【分析】本题初看复杂,难以入手.不妨先从特殊值出发,通过特殊值的计算,以便分析、归纳出一般性的规律.
当k=1时,P1P2=1(已知);当k= 2时, P2是P1P3的中点,故P2P3= P1P2= 1;当k=3时, P3是P2P4的三等分点中最靠近的那个分点,即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) = P2P3+ P3P4,故P3P4= P2P3=①
由此可推得4 P5=×②,P5P6=××③
由①、②、③,可归纳以下猜想:
P k P k+1=P k-1P k。
【证明】
于是有:
令k=1987,则有
故2l<3-1984。