简单曲线的极坐标方程
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程
预习 思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2， 半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐 标 系
1.3 简单曲线的极坐标方程
栏 目 链 接
1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标 系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定义． 如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝ ， 4
栏 目 链 接
∴∠OAB＝
3π π 5π － ＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
栏 目 链 接
∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 ＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
栏 目 链 接
3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝ ； 3
人教版数学选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程
理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二 先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】 求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程． 思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系 式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一 由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M， 在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程 的曲线．
•要点二 曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上 的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的 点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲 线C的____极__坐_标__方_程______．
1.3 简单曲线的极坐标方程(1)
(2) 圆心在Ｃ(a, 0)，半径为a； ＝2acos
(3) 圆心在(a, )，半径为a； 2
(4) 圆心在Ｃ(0, ０)，半径为r. 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
＝2asin
高中 数学备课组
课堂小结
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程 求曲线的极坐标方程步骤
高中 数学备课组
在平面直角坐标系中， 平面曲线Ｃ可以用方 程 f(x, y)=0表示. 曲线与方程f(x, y)=0满足如下关 系: (1) 曲线Ｃ上点的坐标都是方程f(x, y)=0的解 ； (2) 以方程 f(x, y)=0 的解为坐标的点都在曲线 Ｃ上. 那么, 在极坐标系中，平面曲线是否可以用方 程 f( ,)=0 表示呢?
高中 数学备课组
设M(ρ,θ)为圆上任意一点，则|OM|=r，即 ρ=r 为所求的圆的极坐标方程 . 显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形 式上比 ρ=2acosθ更简单. 与直角坐标方程 x2+y2=r2 比较, 你能说说极坐 标方程 =r 的优点吗?
高中 数学备课组
题组练习
求下列圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点，半径为2； ＝ 2
高中 数学备课组
由此可知，ρ=2acosθ 就是圆心在C(a, 0) (a>0) 半径为a的圆的极坐已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程简单？ 解：如果以圆心O为极点， 从O出发的一条射线为极 轴，建立极坐标系(如图)，
M
O r x
那么圆上各点的几何特征 就是它们的极径都等于半 径r .
1、根据题意画出草图； 2、设点M(, ) 是曲线上任意一点，并连接OM； 3、根据几何条件建立关于, 的方程，并化简； 4、检验并确认所得的方程即为所求.
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。
2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。
二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。
2. 极坐标与直角坐标之间的关系。
3. 圆的极坐标方程。
4. 直线的极坐标方程。
5. 椭圆的极坐标方程。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。
2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。
4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。
5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。
六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 极坐标系的图示或模型。
3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。
4. 练习题。
七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。
2. 讲解圆的极坐标方程。
以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。
将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。
利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。
3. 讲解直线的极坐标方程。
以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。
(完整版)简单曲线的极坐标方程练习题有答案
简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出知足以下条件的圆的极坐标方程直线地点极坐标方程图 形圆心地点 极坐标方程图 形过极点， (1) θ＝ α(ρ∈ R) 或 θ＝ α＋ π(ρ∈ R ) 圆心在极点 (0， 0)ρ＝ r 倾斜角为 α(2) θ＝ α(ρ≥ 0) 和 θ＝π＋ α(ρ≥ 0)半径为 r (0 ≤θ<2π)圆心在点 (r ， 0)ρ＝ 2r cos_θ过点 (a ， 0)，且π ππ π与极轴垂直ρcos_θ＝ a －<θ<2半径为 r(－2≤ θ< )2 2 圆心在点 (r ，πρ＝2r sin_θπ2)ρsin_θ＝ a(0< θ<π)半径为 r(0≤ θ<π)过点 a ， 2 ，且与极轴平行圆心在点 (r ， π)ρ＝－ 2rcos_θ半径为 rπ3π 过点 (a ， 0)倾斜角为 αρsin(α－θ)＝ asin α(0< θ<π)( ≤θ< 2 )2 圆心在点 (r ，3πρ＝－ 2rsin_θ2)半径为 r(－π<θ≤ 0)ρsin( α－ θ)＝ ρ0过点 P(ρsin(α－ θ)．0， θ0)，倾斜角为 α圆心 C(ρ0， θ0) ，2－ 2ρ 22＝ 0.ρ0ρcos(θ－ θ0)＋ ρ0－ r半径为 r3.将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程2.在极坐标系中，求出知足以下条件的直线的极坐标方程① x ＋ y ＝ 0；② x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0(a ≠ 0)．(2) 将以下曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判断曲线形状：21① ρcos θ＝ 2；② ρ＝ 2cos θ；③ ρcos 2θ＝2；④ ρ＝.1－ cos θ[ 思路点拨 ](1) 先把公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入曲线 (含直线 )的直角坐标方程，再化简．(2) 先利用公式 222代入曲线的极坐标方程，再化 ρcos θ＝ x ， ρsin θ＝ y ， ρ＝ x ＋ y 简．[解 ] (1) ①将 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x ＋y ＝ 0 得 ρcos θ＋ ρsin θ＝ 0，即 ρ(sin θ＋ cos θ)＝ 0，3π 7π∴ tan θ＝－ 1， θ＝ 4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥ 0)，∴直线 x ＋ y ＝ 0 的极坐标方程为 θ＝3π7π．4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥0) ②将 x ＝ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0 得2ρ＋ 2a ρcos θ＝0，∴ ρ＝ 0 或 ρ＝－ 2acos θ.又 ρ＝ 0 表示极点，而极点在圆 ρ＝－ 2acos θ上 ∴所求极坐标方程为 ρ＝－ 2acos θ(2)①∵ ρcos θ＝ 2，∴ x ＝ 2，即直线 ρcos θ＝ 2 的直角坐标方程为 x ＝ 2， 它表示过点 (2， 0)且垂直于 x 轴的直线，222②∵ ρ＝ 2cos θ，∴ ρ＝ 2ρcos θ，即 x ＋ y ＝ 2x.∴ (x － 1)2＋ y 2＝ 1，即 ρ＝ 2cos θ的直角坐标方程．它表示圆心为 (1， 0)，半径为 1 的圆．2③∵ ρcos 2θ＝ 2，222∴ ρ(cos θ－ sin θ)＝ 2， 2222即 ρcos θ－ ρsin θ＝2，∴ x 2－ y 2＝ 2，故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线．1④∵ ρ＝，∴ ρ＝ 1＋ ρcos θ，1－ cos θ∴ x 2＋ y 2＝ 1＋x ，两边平方并整理得 y 2＝ 2 x ＋12 ，1故曲线是极点为 －2， 0 ，焦点为 F(0， 0)，准线方程为 x ＝－ 1 的抛物线． 4.曲线 x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2的极坐标方程是 ____________．22222，分析： ∵x ＋y ＝ ρ， ρ≥ 0，∴ ρ＝ x ＋y∴ x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2可化为 ρ2＝ 2ρ，即 ρ(ρ－ 2)＝ 0.答案： ρ(ρ－ 2)＝0 5.曲线 ρsin θ－ π＝ 0 的直角坐标方程是 ______________．4π 2 2分析： ∵ρsin θ－ 4 ＝ 0，∴ 2 ρsin θ－ 2 ρcos θ＝ 0，∴ ρsin θ－ρcos θ＝0，即 x － y ＝ 0. 答案： x －y ＝ 0 6.圆 ρ＝ 5cos θ－ 53sin θ的圆心坐标是 ()A. 5，－ 2πB. 5， 2π33C. 5， πD. 5，5π33分析： 选 D.∵ ρ＝ 5cos θ－ 5 3 sin θ，2∴ ρ＝ 5ρcos θ－ 5 3ρsin θ，∴ x 2＋ y 2＝ 5x － 5 3y ，522∴ x － 2 ＋ y ＋ 5 2 3＝25，∴圆心 C 5，－5 3， ρ＝ 25＋ 75 ＝5，2 2 44tan θ＝ y＝－ 3，θ＝5πx3∴圆心 C 的极坐标为 C5π5， 3 .π) 7.极坐标方程 ρ＝ cos( － θ)表示的曲线是 (4A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆分析： 选 D. ∵ ρ＝ cos π2－θ，即 ρ＝ 2 (cos θ＋ sin θ)，422∴ ρ＝ 2 (ρcos θ＋ ρsin θ)，2 222 21 222∴ x ＋ y ＝ 2 x ＋ 2 y ，即 x － 4 ＋ y － 4 ＝4.8.曲线的极坐标方程为1 ，则曲线的直角坐标方程为 __________ ．ρ＝ tan θ·cos θ1分析： ∵ ρ＝ tan θ· ，222θ＝ ρsin θ， ∴ ρcos θ＝ sin θ，∴ ρcos ∴ x 2＝ y.答案： x 2＝y9.直线 2ρcos θ＝ 1 与圆 ρ＝ 2cos θ订交的弦长为 ________．[分析 ] (1)由公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ρsin θ，得直线 2ρcos θ＝ 1 的直角坐标方程为 2x＝1，22 22 2＝1， 圆 ρ＝ 2cos θ? ρ＝ 2ρcos θ的直角坐标方程为x ＋ y － 2x ＝ 0? ( x －1) ＋ y1 1 12因为圆心 (1， 0)到直线的距离为 1－2＝2，因此弦长为 2 1－ 2 ＝ 3.10.已知圆的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ，圆心为 C ，点 P 的极坐标为 4， π，则 |CP|＝3________．2＝ 4ρcos θ，(2) 由圆的极坐标方程 ρ＝ 4cos θ得 ρ化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0，因此 (x － 2)2＋ y 2＝ 4，因此圆心 C(2， 0)，半径 r ＝ |OC|＝ 2，如图，在 △ OCP 中，π ∠ POC ＝ ， |OP|＝ 4.3由余弦定理，得|PC|2＝ |OP|2＋ |OC|2－ 2|OP ||OC| ·cos ∠ POC ＝ 42＋ 22－ 2×4 × 2cosπ＝12，3因此 |PC|＝ 2 3.[ 答案 ] (1) 3 (2)2 311.(2015 高·考全国卷 Ⅰ )在直角坐标系 xOy 中，直线 1： x ＝－ 2，圆 22 ＋ (yC C ： ( x － 1)－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．(1) 求 C 1， C 2 的极坐标方程；π(2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ＝ 4(ρ∈ R) ，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ， N ，求△ C 2MN 的面积．[ 解 ] (1) 因为 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ，因此 C 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C 的12极坐标方程为 2ρ－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.π(2) 将 θ＝ 4代入 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0，得2ρ－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ2，ρ2＝ 2.1＝ 2 故 ρ2，即 |MN |＝ 2.1－ ρ＝2因为 C 2 的半径为 1，因此 △ C 2MN 的面积为 1 .2。
第一讲三简单曲线的极坐标方程
归纳升华 1．求圆的极坐标方程的步骤： ①根据题意画出草图． ②设圆上任意一点的极坐标为 M(ρ，θ)． ③在极点、圆心与点 M 构成的三角形中，运用余弦 定理等列出方程 f(ρ，θ)＝0，并化简．
④验证极点、圆心与 M 三点共线时，点 M(ρ，θ)的 极坐标也适合所得极坐标方程．
2．求圆的极坐标方程也可采用间接法，即先求出相 应的直角坐标方程再化为极坐标方程．
1．极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐 标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作 曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点(0，0)
且 ρ≠cos θ＝cos－23π＝－12.
答案：D
3．极坐标方程ρ ＝cosπ4 －θ表示的曲线是( ) A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 解析：极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ化为直角坐标方程是 x2＋y2－ 22x－ 22y＝0，表示的曲线是圆．
过点 Ma，π2(a>0)， ρsin θ＝
且与极轴平行
a(0<θ<π)
4.曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化 当我们把直角坐标系的原点作为极点，极轴与平面 直角坐标系中 x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的 单位长度，则有
利用这两个公式我们不仅可以把平面上点的两种坐 标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转 化．
[变式训练] 求圆心在 C2，3π2 处并且过极点的圆
的极坐标方程，并判断点－2，sin
5π 6
是否在这个圆上．
解：如图，由题意知，圆经过极点 O，
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
简单曲线的极坐标方程
简单曲线的极坐标方程基础·巩固1如图1-3-5，极坐标方程ρ=asinθ(a>0)所表示的曲线的图形是( )图1-3-5思路解析：如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asin θ，ρ2=ρasinθ,x 2+y 2=ay,x 2+(y-2a )2=42a ,图形显然是以(0,2a )为圆心，2a为半径的圆.选C.答案:C2极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( ) A.2 B.2 C.1 D.22 思路解析：本题有两种解法.第一种解法是直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(21,0)和(21,2π),这两点间的距离是22.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ,极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y,它们的圆心分别是(21,0),(0,21),圆心距是22. 答案:D3在极坐标系中，点P(2,611π)到直线ρsin(θ-6π)=1的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3 思路解析：可化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解. ∵x P =2cos611π=3，y P =2sin 611π=-1,∴P 点的直角坐标为(3,-1).又直线ρsin(θ-6π)=1化为直角坐标方程为23y-21x-1=0,∴点P 到直线的距离d=|-21·3+23·(-1)-1|=1+3. 答案：D4下列方程各表示什么曲线?(1)y=a,答_____________;(2)ρ=a,答_____________;(3)θ=a,答_____________.思路解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线的方程.答案：(1)在直角坐标系下,y=a 表示与x 轴平行的直线 (2)在极坐标系下,ρ=a 表示圆心在极点,半径为a 的圆 (3)在极坐标系下,θ=a 表示过极点,倾斜角为a 的射线 5画出极坐标方程(θ-4π)ρ+(4π-θ)sinθ=0的图形. 思路解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.答案：如图,将原方程分解因式得(θ-4π)(ρ-sin θ)=0, ∴θ-4π=0,即θ=4π为一条射线,或ρ-sin θ=0为一个圆. 6证明过A(ρ1,θ1)和B(ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是122112)s i n ()s i n ()s i n (ρθθρθθρθθ-+-=-.思路分析：虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.证明：设M(ρ,θ)为直线AB 上一点, ∵S △AOB =21ρ1ρ2sin(θ2-θ1), S △AOM =21ρρ1sin(θ-θ1), S △BOM =21ρρ2sin(θ2-θ),又S △AOB =S △AOM +S △BOM ,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ), 即122112)sin()sin()sin(ρθθρθθρθθ-+-=-.7在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P 是圆x 2+y 2=1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程. 思路分析：先建系,再由面积求.解：以圆心O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ,θ),P(1,2θ). ∴S △OAQ +S △OQP =S △OAP .∴21·3ρsin θ+21ρsin θ=21·3·1·sin2θ. 整理得ρ=23cos θ.8从原点O 引直线交直线2x+4y-1=0于点M ，P 为OM 上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P 点的极坐标方程. 思路分析：先把直线化为极坐标方程,由于P 点的运动与M 点有关,可以利用转移法来解决问题.解：以O 为极点,x 轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcos θ+4ρsin θ-1=0. 设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cos θ+4ρ0sin θ-1=0.又⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==,1,,1,0000ρρθθρρθθ知.代入ρ12cos θ+ρ14sin θ-1=0,∴ρ=2cos θ+4sin θ,这是一个圆(ρ≠0). 综合·应用9点A 、B 在椭圆2222by a x +=1上，O 为原点，OA ⊥OB.(1)求证：2211OB OA =为定值； (2)求△AOB 面积的最大值和最小值.思路解析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可以发现OA 与OB 长度的关系了；在△AOB 中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大值和最小值.(1)证明：椭圆半长轴长为a,半短轴长为b,以O 为极点,长轴一端与点O 的射线为极轴,建立坐标系,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入椭圆方程,得b 2ρ2cos 2θ+a 2ρ2sin 2θ=a 2b 2.∴ρ2=)cos 1(cos sin cos sin cos 2222222222222222θθθθθθ-+=+=+ab b a b b a b b a θθθ22222222222cos 1cos 1)1(cos 1∙-=∙-=--=e b ac b a b b 即ρ2=θ222cos 1∙-e b .设OA 的极角为α,则OB 的极角为2π+α. ∴222222222212sin 111,cos 111b e OB b e OA αραρ-==-==. ∴2222211be OB OA -=+为定值. (2)解：设A 的极坐标为(ρ1,θ),则B(ρ2,θ+2π).点A 、B 满足方程ρ12=θ222cos 1∙-e b ,ρ22=θ222sin 1e b -.∵OA ⊥OB,∴S △OAB =21ρ1ρ2. 而ρ12ρ22=θθθ2sin 411cos sin 1242422424e e b e e b +-=+-,这里ρ1ρ2与ρ12ρ22同时取得最大值和最小值.故当sin2θ=0时,ρ12ρ22有最大值241e b -,ρ1ρ2有最大值241e b -,(S △OAB )max =21·241eb -=2ab ； 当sin2θ=±1时,ρ12ρ22有最小值24)2(4e b -,ρ1ρ2有最小值2222e b -, (S △OAB )min =21·2222e b -=2222ba b a +.。
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
简单曲线的极坐标方程 说课稿 教案 教学设计
常见曲线的极坐标方程教学目标：1．掌握各种圆的极坐标方程；2．能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形．教学重点：极坐标系中根据条件求出圆的极坐标方程．教学难点：圆的极坐标方程及其应用．教学过程：一、问题情境：1．阅读课本12-13页回答下面问题⑴直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？⑵曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义⑶求曲线方程的步骤2．(1)如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？(2)曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？二、新知探究：思路分析：1．先和学生一齐在黑板上画出圆与极坐标轴2．把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来ρ、θ 即明确长度ρ与角度θ是哪一边， 哪一个角3．找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形4．利用三角形的边角关系的公式与定理列等式5．列式时要充分利用所给的圆心与半径的条件6．引出指明极坐标方程的条件 三、建构数学 若圆心的坐标为M (ρ0,θ0)，圆的半径为r ，求圆的方程． 022********P()MOP MP =OM +OP -2OM OP cos . -2cos()0POM r ≠∆⋅∠-+-=ρρθρρρθθρ解：当时，设圆上任意一点为，，在中，由余弦定理知 可得 022200000=0=r ()-2cos()0r r -+-=ρρρθρρρθθρ当时，圆心位于极点，圆的极坐标方程是，亦满足上面的方程.故圆心为，，半径为的圆的极坐标方程是显然点P 的坐标也是它的解．运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程．M(,0)2M(r,)==22r ρθπρθ1.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标方程是 ；.当圆心位于时，由上式可得圆的极坐标2rcos rsi 程是 n 方 .四、数学应用：O MPρρr θ0θx(1)A(3,0) (2)B(8)2 (3)O C(-4,0) (4))6ππ例1 按下列条件写出圆的极坐标方程：以为圆心，且过极点的圆；以，为圆心，且过极点的圆；以极点与点连接的线段为直径的圆；圆心在极轴上，且过极点与点，的圆.（详细解答过程见教材P23）例2 求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．变式练习：1．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程．2．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．例3 已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．五、课堂练习：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆．2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=．3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=．4．求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径．六、回顾小结：如何求圆的极坐标方程。
三、简单曲线的极坐标方程
方法归纳
可以看出，在求曲线方程时，关键是找出 曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标 （ρ ,θ ）表示，再通过代数变换进行化简。而 且，与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐
标方程更加简便，因为在极坐标系下，圆上点
的坐标所满足的条件更容易表示，代数变换也
更加直接。
变式训练1
求下面圆的极坐标方程： 中心在C r, , 半径为r; 2
三、简单曲线的极坐标方程 （第一课时）
尤溪五中
曲线的极坐标方程
定义： 如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系: (１)曲线Ｃ上点的坐标(,)(所有坐标中至 少有一个)都是方程f(,)=0的解 ； (２)以方程f(,)=0的解为坐标的点都在曲 线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 .
怎样求直线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 直线的极坐标方程就是找出直线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授
探究：直线l过极点，从极轴到直线l的
角为 ，求直线l的极坐标方程。 4
4
M
如图，以极点为分界点，直线l上 ﹚ o 的点的极坐标分成射线OM、射 线ON两部分，先看射线OM。 所求的射线上任一点的极角都是 / 4 ，其极径 可以取任意的非负数。 ( 0) 故所求射线的极坐标方程为： 4 5 射线ON上任意一点对 极角都是 ，因此射线 4 5 ON的极坐标方程为： 0
即 cos a
可以验证，点A(a,0)的坐标也满足上式。 因此，这就是所求直线的极坐标方程
求平面曲线方程步骤
探究过程
解：圆经过极点O.设圆与极轴的另一个交点 是A，那么 OA ＝2r, 设M(, )为圆上除点O，A 以外的任意一点，则OM AM.在RtAMO 中,OM OA cos MOA即＝2r cos ........... ①
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。
简单曲线的极坐标与直角坐标方程的互化技巧及方法
简单曲线的极坐标方程课件
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
简单曲线的极坐标方程
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线
4
方程为 ( B )
A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为
＝12sin( )，则过圆心与极轴垂直的
6
直线的极坐标方程是( C )
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆＝4 s in 相切的一条
直线的方程是 ( B )
A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 s in 的化为直角坐标方程是
x2 y2 4 y 0即x2 ( y 2)2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为
x 2化为极坐标方程为 cos 2
5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度
1、求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得cos 2 2
3
3
所以得tan 2 即 y 2
4x 4
两条直线l1 : 2x 4 y 0,l2 : 2x 4 y 0 所以是两条相交直线
4
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的
圆心坐标和半径是什么？圆心坐标是(2, ),半径是r=2
2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
C、(5, ) D、(5, 2 )
3
3
简单曲线的极坐标方程2(4-4)
5 射线ON： ；N 4
5 和 4 4
可以考虑允许极径可以取全体 实数。
若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ) 关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程 是： M O
45° x
5 ( R )或 ( R) 4 4
N
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线 l的极坐标方程是什么？ ρ M 当a＞0时， θ O ρcosθ＝a； x A M ρ A
O
B
x
思考4：设点P的极坐标为 ( 1 ,1 ) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 程。
,求直线 Байду номын сангаас 的极坐标方
﹚
o
1
1 P
﹚
M
x
解：如图，设点
M ( , ) 为直线上除
点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
θ
O
x
当a＜0时，ρcosθ＝－a.
例2：求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4
在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4 M(， ) A 故所求直线方程为 sin 2
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
自主学习：
时间：3分钟
请大家阅读课本P13-P14的内容，回答下面几个 问题： 1， 直线的极坐标方程如何表示？ 2，已知直线的直角坐标系方程如何求其极坐 标方程？
简单曲线的极坐标方程教学设计公开课1
.
§1.3简单曲线的极坐标方程
一、教学任务分析
知识与技能了解极坐标系中曲线和方程的关系，能求直线和圆的极坐标方程；
过程与方法掌握求曲线极坐标方程的步骤；能求直线和圆的极坐标方程；
情感、态度、价值观认识极坐标中方程和曲线的关系，并能求简单曲线的极坐标方程。
二、教学重、难点
教学重点: 能建立圆和直线的极坐标方程。
教学难点: 建立直线的极坐标方程；理解直线极坐标方程形式的不唯一性。
三、教学基本流程
由直角坐标系下曲线与方程关系类比引进曲线的极坐标方程通过“探究”求圆的极坐标方程
给出极坐标方程的定义
例1的教学
通过“探究”求过极点的直线的极坐标方
、的教
小结本节课要布置作业
.
.
. .
.。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教学目标：1. 了解极坐标系的定义和基本概念；2. 掌握极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 学习简单曲线的极坐标方程的求解方法；4. 能够应用极坐标方程解决实际问题。
教学内容：第一章：极坐标系的定义和基本概念1.1 极坐标系的定义1.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 极坐标系的应用领域第二章：极坐标与直角坐标之间的转换关系2.1 极坐标与直角坐标之间的转换公式2.2 转换关系的推导过程2.3 转换关系的应用实例第三章：圆的极坐标方程3.1 圆的直角坐标方程3.2 圆的极坐标方程的推导3.3 圆的极坐标方程的应用实例第四章：直线的极坐标方程4.1 直线的直角坐标方程4.2 直线的极坐标方程的推导4.3 直线的极坐标方程的应用实例第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的直角坐标方程5.2 椭圆的极坐标方程的推导5.3 椭圆的极坐标方程的应用实例教学方法：1. 采用讲授法，讲解极坐标系的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 通过示例和练习，让学生掌握圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解方法；3. 利用多媒体辅助教学，展示极坐标系的图像和实例，增强学生的直观感受；4. 布置课后作业，巩固学生对极坐标方程的理解和应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对极坐标系的定义和基本概念的掌握程度；3. 学生对极坐标与直角坐标之间转换关系的理解程度；4. 学生对圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解能力的掌握程度；5. 学生对极坐标方程在实际问题中的应用能力的展示。
第六章：双曲线的极坐标方程6.1 双曲线的直角坐标方程6.2 双曲线的极坐标方程的推导6.3 双曲线的极坐标方程的应用实例第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的直角坐标方程7.2 抛物线的极坐标方程的推导7.3 抛物线的极坐标方程的应用实例第八章：参数方程与极坐标方程的转换8.1 参数方程的定义和基本概念8.2 参数方程与极坐标方程之间的转换关系8.3 参数方程与极坐标方程的转换实例第九章：简单曲线的极坐标方程的综合应用9.1 综合应用实例一：测定物体的位置9.2 综合应用实例二：计算曲线的长度9.3 综合应用实例三：求解曲线上的点的坐标第十章：总结与拓展10.1 本章小结10.2 思考题10.3 拓展阅读材料教学方法：1. 通过示例和练习，让学生掌握双曲线和抛物线的极坐标方程的求解方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示双曲线和抛物线的图像和实例，增强学生的直观感受；3. 通过综合应用实例，让学生了解简单曲线的极坐标方程在实际问题中的应用；4. 采用小组讨论和报告的形式，激发学生的思考和交流能力。
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2.圆的极坐标方程
圆心位置
圆心在极点(0，0) 圆心在点(r，0)
圆心在点(r，2
极坐标方程
r ρ =__ (0≤θ <2π ) 2rcosθ ρ = _________
( ) 2 2
图
形
)
2rsinθ ρ =________ (0≤θ <π )
圆心位置 圆心在点(r，π )
2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应 用 (1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样,以平面 直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在 两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线(含直线) 的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化.
(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的 极坐标方程可以先求直角坐标方程,然后再转化. 特别提醒:极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出, 通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.
【知识探究】 探究点 曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中,点M(ρ ,θ )的轨迹方程中一定同时含 有ρ , θ 吗? 提示:不一定,如圆心在极点,半径为1的极坐标方程为 ρ =1,方程中只含有ρ .
2.如何求圆心为C(ρ 0,θ 0),半径为r的圆的极坐标方 程?
提示:设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ,θ),
2.在极坐标系中,试求该圆上的点与点 P( 4, 5 ) 距离的6Fra bibliotek最大值.
5 的距离 与点 【解析】圆心 C(2， P( 4, ) )
6
6
d 22 42 2 2 4cos
2 3， 3
故圆上的点与点P的距离的最大值为 2 3 1.
【方法技巧】求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ ,θ ). (2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或 解直角三角形列出方程f(ρ ,θ )=0并化简. (3)验证极点、圆心与M三点共线时,点M(ρ ,θ )的极坐 标也适合上述极坐标方程.
类型一
圆的极坐标方程
6
【典例】在极坐标系中,已知圆C的圆心为C (2， ) ,半径
为1,求圆C的极坐标方程.
【解题探究】求圆的极坐标方程时需要注意什么问题? 提示:求圆的极坐标方程时需要检验特殊点是否适合方 程.
【解析】在圆C上任取一点P(ρ,θ), 在△POC中,由余弦定理可得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC, 即 1 4 2 2 2 cos( )，
极坐标方程 -2rcos θ ρ = __________
3 ( ) 2 2
图
形
圆心在点
3 (r， ) 2
-2rsinθ ρ = _________ (-π <θ ≤0)
3.直线的极坐标方程(ρ ∈R)
直线位置
极坐标方程
图
形
α (1)θ =___(ρ ∈R)或 π + α 过极点,倾斜 θ =______(ρ ∈R) 角为α (2)θ =α (ρ ≥0)和 θ =π +α (ρ ≥0)
直线位置
极坐标方程
图
形
ρ cosθ 过点(a,0),且 ________=a 与极轴垂直 （ ）
2 2
过点
与极轴平行
(a， )，且 2
ρ sinθ ________=a(0<θ <π )
【即时小测】 1.极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程 为 ( ) B.ρ =4 D.ρ sinθ =1
【归纳总结】 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程 在极坐标系中,由于点的极坐标的表示形式不唯一,即 (ρ ,θ ),(ρ ,θ +2π ),(-ρ ,θ +π ),(-ρ ,θ -π )都表 示同一点,这与点的直角坐标具有唯一性明显不同.所 以对于曲线上同一点的极坐标的多种表示形式,只要求
点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即 可.
A.ρ =2 C.ρ cosθ =1
【解析】选A.由圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方 程为ρ =r,得圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为 ρ =2.
2.极轴所在直线的极坐标方程为________. 【解析】如图,设M(ρ ,θ )是极轴所在直线上的任意一 点,则θ =0(ρ ∈R).
答案:θ =0(ρ ∈R)
2.(2016·西安高二检测)将极坐标方程ρ =2cosθ 化成 直角坐标方程为________. 【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ, 所以x2+y2-2x=0. 答案:x2+y2-2x=0
如图,在△OCM中,由余弦定理,得
|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,
2 -2ρρ cos(θ-θ )=r2. 即ρ2+ 0 0 0
当O,C,M三点共线时,点M的极坐标也适合上式,所以圆
2 心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+ 0 -
2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.
【补偿训练】1.在极坐标系中,圆C过极点,且圆心的极
(a>0),则圆C的极坐标方程是 坐标是 (a， ) 2
(
)
A.ρ =-2asinθ
C.ρ =-2acosθ
B.ρ =2asinθ
D.ρ =2acosθ
【解析】选B.由于圆心的极坐标是 (a， ),化为直角坐标 2
为(0,a),半径为a,故圆的直角坐标方程为x2+(y-a)2=a2, 再化为极坐标方程为ρ =2asinθ .
三
简单曲线的极坐标方程
【自主预习】
1.极坐标方程与平面曲线
在极坐标系中,方程f(ρ ,θ )=0叫做平面曲线C的极坐 标方程,满足条件:
至少有一个 满足 (1)平面曲线C上任意一点的极坐标中___________
方程f(ρ ,θ )=0.
f(ρ ,θ )=0 的点都在曲线C上. (2)坐标适合方程___________
6
化简可得 2 4cos( ) 3 0.
6
当O,P,C共线时,此方程也成立, 故圆C的极坐标方程为 2 4cos( ) 3 0.
6
【延伸探究】 1.试求圆的直角坐标方程.
【解析】圆心的极坐标为 C(2， )， 6
故直角坐标为 ( 3,1)， 又已知圆的半径为1, 故圆的直角坐标方程为 (x 3)2 (y 1)2 1.