矩阵分析几何意义的整理
矩阵的特征值与特征向量的几何意义
矩阵的特征值与特征向量的几何意义1、矩阵乘法的几何意义矩阵乘法的几何意义就是对一个向量进行一定的变化，变成一个新的向量。
在变化过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。
如果矩阵对某些向量只发生伸缩变化的话，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
例如，这个矩阵的线性变化形式如下（）如果矩阵不是对称的，如，则该矩阵描述的变换如下：这其实相当于在平面对一个轴做拉伸变化，图中的蓝色箭头就是最主要的变化方向。
变化的方向可能不止一个，但只需要描述好这个变换的最主要的变换方向就好了。
2、特征值分解与特征向量设A为一个方阵，v为一个非零列向量，若，则称λ为A的特征值，v为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
特征值分解：将矩阵A分解为如下形式：。
Q为矩阵A的特征向量v组成的矩阵（一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基），∑为一个对角阵，主对角线上的元素为A的特征值从小到大排列。
这些特征值所对应的特征向量用来描述矩阵A的变换方向，从最主要的变换到最次要的变换排列。
也就是说，一个矩阵的信息可由其特征值和特征向量来描述。
对于矩阵为高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换。
可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N 个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。
我们利用这前N 个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。
总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。
不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。
在机器学习的特征提取中，对应特征值越大的特征向量包含的信息越多。
若果某特征向量对应的特征值很小，就可以把它去掉（降维），只保留特征值大的方向的信息，这样就可以减少数据量，PCA降维就是应用了这一原理。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是数学中重要的概念，它们不仅在代数和线性代数中有着重要的应用，而且在几何中也有着深远的意义和广泛的应用。
本文将从几何角度探讨矩阵和行列式的几何意义以及它们在几何中的应用。
1.1 点、向量和坐标在几何中，我们常常需要描述空间中的点和向量，而矩阵和行列式是描述点和向量的重要数学工具。
在二维空间中，我们可以用一个二维向量来描述点的位置，如(3, 4)表示一个距离原点3个单位向右，4个单位向上的点。
将这个向量表示成一个列向量：```| 3 || 4 |```这个列向量就是一个2×1的矩阵。
同样的，我们也可以用一个2×2的矩阵表示一个二维的旋转或缩放变换。
1.2 点和线性变换在几何中，我们经常需要对空间中的点进行变换，如旋转、缩放、平移等。
这些变换可以用矩阵来表示。
设有一个二维点p(x, y)，我们可以用一个2×2的矩阵A来表示一个线性变换，对点p进行变换得到新的点p'：p' = Ap1.3 向量和矩阵的运算在几何中，我们经常需要对向量进行加法、数乘等运算，这些运算可以用矩阵来表示。
设有向量v和w，其坐标分别为v=(x1, y1, z1)和w=(x2, y2, z2)，则向量的加法和数乘运算可以表示为：v + w = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)kv = (kx1, ky1, kz1)这些运算可以用矩阵加法和数乘来表示，即向量(矩阵)的加法和数乘等运算可以用矩阵来表示。
二、矩阵和行列式在几何中的应用2.1 点的映射2.2 向量的投影v' = nv2.3 坐标变换同样的，对于三维空间中的点，我们可以用一个3×3的矩阵来表示一个坐标变换。
这些坐标变换可以表示从一个坐标系变换到另一个坐标系。
三、结语矩阵和行列式不仅在代数和线性代数中有着重要的应用，而且在几何中也有着深远的意义和广泛的应用。
矩阵可以用来描述点、向量和坐标的几何意义，可以用来表示点和线性变换、向量投影和坐标变换等几何应用。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中具有重要意义，而且在各个领域的实际应用中也有着广泛的应用。
本文将对矩阵和行列式的几何意义及其应用进行详细介绍。
一、矩阵的几何意义1. 矩阵的基本概念矩阵是由若干行和若干列组成的数组，通常用大写字母表示。
一个3×3的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中a11、a12、a13等是矩阵元素，3×3表示矩阵有3行3列。
矩阵中的元素可以是实数、复数、函数等。
矩阵可以表示线性变换，这种线性变换可以用来描述几何问题。
对于一个二维平面上的点(x, y)，可以用一个2×2的矩阵A进行线性变换，得到新的点(x', y')：[x'] [a11 a12] [x][y'] = [a21 a22] * [y]这个矩阵A实际上描述了一个二维变换，它可以将原来的点(x, y)变换成新的点(x', y')。
这种矩阵向量的几何意义在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
3. 矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在数λ和非零向量v，使得Av = λv，那么λ称为A 的特征值，v称为A的特征向量。
特征值和特征向量可以描述矩阵的特性，它们在几何上有着重要的意义。
特征向量v描述了矩阵A的特定方向，而特征值λ描述了在这个特定方向上的伸缩比例。
特征值和特征向量的概念在物理学、工程学、统计学等领域中都有着重要的应用，例如在求解振动问题、稳定性分析等方面起着重要作用。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述线性变换的伸缩比例和方向。
对于一个n阶方阵A，其行列式的值记作|A|，它用来描述线性变换对空间体积的伸缩情况。
2. 行列式的几何意义行列式的值为正表示线性变换不改变空间的方向和体积，值为负表示线性变换改变了空间的方向，但没有改变体积，值为零表示线性变换将空间压缩成了低维空间。
图像处理之基础---矩阵和特征向量的几何意义
图像处理之基础---矩阵和特征向量的⼏何意义转载⾃：长时间以来⼀直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义（估计很多兄弟有同样感受）。
知道它的数学公式，但却找不出它的⼏何含义，教科书⾥没有真正地把这⼀概念从各种⾓度实例化地进⾏讲解，只是⼀天到晚地列公式玩理论——有个屁⽤啊。
根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以⼀个向量的结果仍是同维数的⼀个向量，因此，矩阵乘法对应了⼀个变换，把⼀个向量变成同维数的另⼀个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与⽅阵的构造有密切关系，⽐如可以取适当的⼆维⽅阵，使得这个变换的效果就是将平⾯上的⼆维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问⼀个问题，有没有向量在这个变换下不改变⽅向呢？可以想⼀下，除了零向量，没有其他向量可以在平⾯上旋转30度⽽不改变⽅向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换⾃⾝)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以⼀个特定的变换特征向量是这样⼀种向量，它经过这种特定的变换后保持⽅向不变，只是进⾏长度上的伸缩⽽已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是⽅阵A对向量x进⾏变换后的结果，但显然cx和x的⽅向相同)。
这⾥给出⼀个特征向量的简单例⼦，⽐如平⾯上的⼀个变换，把⼀个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持⼀个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表⽰为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表⽰换⾏），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表⽰取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜⼀下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持⽅向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持⽅向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜⼦表⾯上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其⽅向反向，但仍在同⼀条轴上，所以也被认为是⽅向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。
矩阵特征值和特征向量的几何意义汇总
矩阵特征值和特征向量的几何意义（---by 小马哥整理）从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：A=1.50.50.51.0⎡⎤⎢⎥⎣⎦求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(列向量特征值为：1λ=1.81，2λ=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。
用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案：图1.1为方便演示笑脸图案在[0,0]和[1,1]围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。
经过矩阵A=1.50.50.51.0⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：图1.1可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。
根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=Λ，也即，T U AU =Λ，那么：TA U U =Λ假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：TU U C Λ我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换图1.2第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.810.69⎡⎤⎢⎥⎣⎦，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放：图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了图1.4所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转-->沿坐标轴缩放-->转回来，的三步操作。
多提一句，这里给的是个(半正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转-->沿坐标轴缩放-->旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：TT U V=∑这个就是SVD 分解，就不详细说了。
矩阵的几何意义是什么
矩阵的几何意义是什么为了简单只考虑三维空间任意向量n[x,y,z]与矩阵的乘积：右乘矩阵M[1,2,3][4,5,6][7,8,9]首先对向量N的第一维x进行变换，就是向量n的每一维与矩阵M的每一列放大后的合成。
第一维：X=x*1 + y*4 + z*7;第二维：Y=x*2 + y*5 + z*8;第三维：Z=x*3 + y*6 + z*9.所以向量右乘一个矩阵，就是对向量n每一个维进行变化，具体的变化规则为：n0 = [x,y,z][m00,m01,m02]n1 = [x,y,z][m10,m11,m12]n2 = [x,y,z][m20,m21,m22]想想一下,向量[x,y,z]与M矩阵右乘其构成集合是整个三维空间。
，(2)在进一步想一下，如果我们矩阵变为M[1,2,3],[4,5,6],[5,7,9]第一维：X=x*1 + y*4 + z*5;第二维：Y=x*2 + y*5 + z*7;第三维：Z=x*3 + y*6 + z*9比较这（2）与（1）构成的三维空间的集合不同。
它是三维空间一个平面，因为我们只要知道X,Y, Z就可以通过Z=X+Y计算出来。
所以整个结果空间由X,Y决定，是一个平面(3)更进一步，如果我们矩阵变为M[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]第一维：X=x*1 + y*2 + z*3;第二维：Y=x*2 + y*4 + z*6;第三维：Z=x*3 + y*6 + z*9比较这两个矩阵构成的三维空间有什么区别。
它是不是三维空间一个直线，只要知道X，就可以计算出Y = 2X, Z=3X。
(4)如果我们矩阵变为M[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]第一维：X=x第二维：Y=y第三维：Z=z它是不是三维空间一个点[x,y,z](5)如果我们矩阵变为M[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]第一维：X=0第二维：Y=0第三维：Z=0它是不是三维空间一个点[0,0,0]同理左乘也一样，只是把矩阵列变成行而已。
矩阵分块几何意义
矩阵分块几何意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵分块是对矩阵进行更细致的处理，将矩阵分割成更小的子矩阵。
矩阵分块不仅可以简化问题的处理，还能够更直观地展示矩阵的结构和性质。
在实际应用中，矩阵分块常常用于求解大规模线性方程组、矩阵分解、图像处理等领域。
矩阵分块的几何意义主要体现在几个方面，包括矩阵的几何意义、矩阵分块的几何解释、矩阵的分块运算等方面。
让我们从矩阵的几何意义说起。
在几何代数中，向量空间中的向量可以用矩阵表示。
矩阵是由一组行向量或列向量组成的矩形阵列，每一个元素都对应着空间中的一个向量。
通过矩阵的乘法运算，我们可以实现对向量空间中的线性变换操作。
在这个过程中，矩阵的排列和元素的分布是至关重要的，它们决定了矩阵的几何形状和性质。
通过矩阵分块，我们可以更加直观地看出矩阵的结构，以及矩阵的特定性质。
对于一个大型方阵，我们可以将其分解成若干个小矩阵块，每一个小矩阵块代表着一个子空间的线性关系，通过分析这些小矩阵块之间的关系，我们可以更好地理解整个矩阵的几何特性。
矩阵分块还可以被解释为几何操作中的分块操作。
在几何变换中，我们常常需要对不同部分进行不同的操作，例如旋转、放缩、平移等。
这种分块操作可以通过矩阵的分块表示来实现。
通过对矩阵的行和列进行分块，我们可以将整个矩阵分解成若干个子矩阵，每一个子矩阵对应着几何操作中的一个分块操作。
通过分析这些子矩阵之间的关系，我们可以更好地理解和掌握整个几何变换过程。
这种几何解释的分块操作在图像处理、三维建模等领域有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和设计复杂的几何变换操作。
矩阵的分块运算也是矩阵分析中的重要内容。
通过矩阵的分块运算，我们可以对矩阵进行更加高效和便捷的计算。
对于一个大型矩阵的乘法运算，通过将矩阵分解成若干个子矩阵块，我们可以将整个乘法计算过程分解成多个小的子问题，然后分别处理每一个子问题，最后再将各个子问题的结果组合起来，得到整个矩阵的乘积。
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析矩阵是线性代数中广泛使用的基本工具。
其中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念，在多个领域有着广泛的应用。
特征值和特征向量是矩阵特有的性质，它们具有深刻的几何意义，并在许多实际问题的求解中起到了关键作用。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、计算方法以及它们的几何意义和方程特性的分析。
1. 矩阵特征值和特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量是矩阵的一种本征性质，也是矩阵理论中最具代表性的概念之一。
设有一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得下面的式子成立：AX=λX其中，λ称为矩阵A的特征值，X称为矩阵A的特征向量。
换句话说，如果向量X被A矩阵作用后，只变化了一个常数λ的倍数，那么λ就是A的特征值，X就是A的特征向量。
需要注意的是，特征向量存在不唯一性，即如果一个向量X是A的特征向量，则kX(k为非零常数)也是A的特征向量，λ值不变。
2. 矩阵特征值和特征向量的计算方法计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要的课题，有多种方法可以用来计算。
其中，求解矩阵的特征值和特征向量，可以用代数补全、特征多项式和迭代法等多种方法。
代数补全法是一种古老的计算特征值和特征向量的方法，其基本思想是根据矩阵的性质构造代数方程式W(x)=0，其中W(x)是一个n阶多项式，方程的0根就是矩阵A的特征值，然后通过矩阵运算求出每个特征值对应的特征向量。
特征多项式法是一种简化代数补全法的计算方法，通过求矩阵W(A)的特征值，就可以求出矩阵A的特征值。
迭代法是求解特征值的一种数值方法。
它是一种逐步逼近的方法，通过不断迭代求解，寻找矩阵的特征值和对应的特征向量。
3. 矩阵特征值和特征向量的几何意义矩阵的特征值和特征向量具有深刻的几何意义，在计算机图形学、机器学习和信号处理等领域广泛应用。
几何意义一：特征向量表示变换方向。
矩阵的特征向量代表着变换方向。
当我们通过A作用于向量X 时，X会被变换到其特征向量的方向上，并且变换的大小是特征值λ。
利用矩阵解几何问题如何利用矩阵解决几何问题
利用矩阵解几何问题如何利用矩阵解决几何问题矩阵是数学中一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
在几何学中，矩阵也起到了重要的作用，它可以帮助我们解决一些几何问题。
本文将介绍如何利用矩阵来解决几何问题。
一、向量和坐标系在解决几何问题时，我们经常需要使用向量和坐标系。
向量可以表示空间中的位置和方向，而坐标系则用来确定向量在空间中的位置。
通过使用矩阵，我们可以将向量和坐标系进行数学上的表示和计算。
二、矩阵的基本操作在矩阵中，我们可以进行多种基本的操作，例如矩阵的加法、减法和乘法等。
这些操作可以帮助我们对几何对象进行运算和变换。
例如，我们可以通过矩阵的乘法来进行旋转、缩放和平移等几何变换。
三、矩阵的旋转和缩放利用矩阵可以很方便地进行几何对象的旋转和缩放。
首先，我们可以定义一个旋转矩阵，通过将向量和旋转矩阵相乘，实现向量的旋转。
类似地，我们也可以定义一个缩放矩阵，通过将向量和缩放矩阵相乘，实现向量的缩放。
四、矩阵的平移利用矩阵可以实现几何对象的平移。
对于一个向量，我们可以定义一个平移矩阵，通过将向量和平移矩阵相乘，实现向量的平移。
平移矩阵可以通过平移向量的坐标来构造，从而实现向量的平移。
五、应用实例下面通过一个具体的应用实例来说明利用矩阵解决几何问题的过程。
假设我们有一个三角形ABC，要求将其绕原点逆时针旋转90度，并向右平移2个单位。
首先，我们需要将三角形的顶点A、B和C分别表示成向量的形式，例如A = (x1, y1, z1)，B = (x2, y2, z2)，C = (x3, y3, z3)。
然后，我们可以定义一个旋转矩阵R和一个平移矩阵T。
旋转矩阵R可以通过以下公式得到：R = [cosθ, -s inθ, 0][sinθ, cosθ, 0][ 0, 0 , 1]其中，θ表示旋转的角度。
在本例中，θ = π/2。
平移矩阵T可以通过以下公式得到：T = [1, 0, tx][0, 1, ty][0, 0, 1]其中，tx表示在x轴上的平移距离，ty表示在y轴上的平移距离。
系数矩阵和增广矩阵的秩的几何意义
系数矩阵和增广矩阵的秩的几何意义
矩阵的秩就是矩阵的等级，几何意义就是线性变换后所在空间的维数。
如果文字有点绕，我们通过图像来说明一下秩的几何意义吧。
以心形线为栗子，标志一些特殊的点，方便等一下使用。
然后，我们分别以三种人为例子来讨论一下心形线的变化。
第一种是最让人讨厌的颠倒是非的人，他们的心就像作了一个旋转变换，得到这样一个图形（虚线处）
其余的点同理，于是我们得到了颠倒的心形（旋转了180度），从图像很容易看出来，旋转变换后的图形依然是二维的，所以，这个旋转矩阵A1的秩就是2。
我们再来看一下第二种人。
他们无论面对谁，都是一副面孔，说话一种语气，这时候他们的心就像作了一种“降维”变换，得到一条直线：
此时，变换矩阵为
可以看出，我们得到的图形（直线）是一维的，所以矩阵A2的秩就是1。
最后，我们来看一种伤感的人，他失恋了，原本轰轰烈烈的爱心一瞬间化为零，好比心形线一下子作了一个“零维”变换：
变换后的图形是零维的，因此变换矩阵A3的秩就是0。
世界那么大，我们遇到的不仅仅是上面三种人。
会不会有一些人，让我们的心从二维变换到三维，甚至是四维呢?
我们总结一下，矩阵的秩就是列空间的维数（或列向量的极大无关组中向量的个数，这是代数版本），它的几何意义就是，一个图形（不仅仅是心形线）经过矩阵变换后，所得到的图形的维数。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式是线性代数的重要概念，具有广泛的几何意义和应用。
下面将对矩阵和
行列式的几何意义及其应用进行简要介绍。
我们来谈谈矩阵的几何意义。
矩阵可以看作是一个二维数组，其中的元素代表了在二
维空间中的某种量，例如坐标、长度、角度等。
通过矩阵乘法，我们可以进行各种几何变换，例如平移、旋转、缩放等。
具体来说，如果我们用一个矩阵A乘以一个向量x，就可
以得到一个新的向量y，表示将向量x进行某种变换后得到的结果。
这个变换可以表示为：y = A*x。
矩阵可以用来描述几何变换的规律，例如平移矩阵、旋转矩阵、缩放矩阵等。
行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的行向量或列向量的线性相关性。
行列式的值代表了矩阵所包含的几何信息，例如面积、体积、方向等。
对于二维矩阵来说，行列式的值可以表示平行四边形的面积；对于三维矩阵来说，行列式的值可以表示平行六
面体的体积。
行列式还可以用来判断一个矩阵是否可逆，即是否存在逆矩阵。
如果一个矩
阵的行列式不等于零，那么它是可逆的；反之，如果行列式等于零，则矩阵不可逆。
矩阵和行列式在几何学中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是解线性方程组。
通过
将线性方程组转化为矩阵形式，我们可以用矩阵的运算方法求解方程组的解。
对于一个包
含n个未知数和n个方程的线性方程组，可以用一个n阶矩阵表示，通过求解矩阵的逆矩
阵或者行列式等于零的条件，我们可以得到方程组的解。
矩阵和行列式还可以用来进行曲
线拟合、图像处理、数据压缩等各种几何计算。
矩阵运算的几何意义
矩阵运算的几何意义矩阵运算在数学和工程学中具有广泛的应用。
除了其代数性质外，矩阵运算还具有一定的几何意义。
本文将深入探讨矩阵运算的几何含义，帮助读者更好地理解这一概念。
一、矩阵与线性变换在几何学中，矩阵通常与线性变换密切相关。
一个线性变换可以看作是空间中的一个操作，它将一个向量映射到另一个向量。
这种变换可以通过矩阵来表示。
具体来说，一个m×n 矩阵A 可以表示一个从n 维空间到m 维空间的线性变换。
1.向量乘以矩阵设有一个n 维列向量x，以及一个m×n 矩阵A。
向量x 乘以矩阵A 的结果是一个m 维列向量y。
这个运算可以表示为：y = Ax从几何意义上讲，这个过程将向量x 通过线性变换A 映射到向量y。
如果矩阵A 表示的是旋转、缩放或剪切等变换，那么这个过程可以直观地理解为对向量x 进行了相应的几何变换。
2.矩阵乘以矩阵两个矩阵相乘也具有几何意义。
设有两个矩阵A 和B，其中A 是一个m×n 矩阵，B 是一个n×p 矩阵。
它们的乘积C = AB 是一个m×p 矩阵。
这个运算可以看作是连续进行两个线性变换。
从几何角度看，这个过程将一个n 维向量先通过变换A 映射到m 维空间，然后在这个空间中通过变换B 映射到另一个p 维空间。
二、特殊矩阵的几何意义1.对角矩阵对角矩阵是一个特殊类型的矩阵，其中非对角线上的元素都为0。
对角矩阵表示的是一种特殊的线性变换，即对各个坐标轴的缩放。
对角线上的元素表示对应坐标轴的缩放因子。
2.旋转矩阵旋转矩阵是一个正交矩阵，它表示的是空间中的旋转变换。
旋转矩阵的行列式为1，表示旋转不改变向量的长度。
旋转矩阵的几何意义在于，它可以将一个向量绕着某个轴旋转一定的角度。
三、结论矩阵运算的几何意义在数学和工程学中具有重要意义。
通过理解矩阵与线性变换之间的关系，我们可以更好地把握矩阵运算的本质，并为实际问题提供直观的几何解释。
矩阵的几何意义和物理意义
矩阵的几何意义和物理意义矩阵在数学和物理学中都有着重要的应用，它不仅有着几何意义，还有着深刻的物理意义。
本文将从几何和物理两个方面探讨矩阵的意义。
一、矩阵的几何意义在几何学中，矩阵可以表示线性变换，它能够将一个向量映射到另一个向量。
矩阵的列向量可以看作是一个空间中的点，而矩阵的行向量则表示空间中的方向。
通过矩阵的乘法，可以实现对向量的旋转、缩放和投影等操作。
1. 向量的旋转：通过矩阵的乘法，可以将一个向量绕某个点或某个轴进行旋转。
旋转矩阵可以通过正弦和余弦函数来表示，通过改变旋转角度可以实现对向量的不同旋转效果。
2. 向量的缩放：矩阵的乘法可以实现对向量的缩放操作。
通过改变矩阵中的元素值，可以实现对向量在不同方向上的缩放效果。
当矩阵的元素值大于1时，表示向量在相应方向上的扩大；当矩阵的元素值小于1时，表示向量在相应方向上的缩小。
3. 向量的投影：矩阵的乘法可以实现对向量的投影操作。
投影矩阵可以将一个向量投影到另一个向量上，得到该向量在另一个向量方向上的分量。
投影矩阵的元素值可以通过向量之间的内积来计算。
二、矩阵的物理意义在物理学中，矩阵有着广泛的应用，可以描述物理量之间的关系和变换规律。
以下是矩阵在物理学中的几个重要应用：1. 坐标变换：矩阵可以用来表示不同坐标系之间的转换关系。
例如，通过坐标变换矩阵，可以将一个物体在一个坐标系下的位置转换到另一个坐标系下。
2. 物体的运动：矩阵可以描述物体的运动规律。
例如，通过位移矩阵和时间矩阵，可以描述物体在空间中的运动轨迹和速度变化。
3. 力的作用：矩阵可以描述力在空间中的作用效果。
例如，通过力矩阵和位移矩阵，可以计算物体在受力作用下的运动状态。
4. 物理量的变换：矩阵可以用来表示物理量之间的线性关系。
例如，通过矩阵的乘法，可以将一个物理量转换为另一个物理量，从而得到它们之间的变换规律。
总结起来，矩阵在几何学和物理学中都有着重要的意义。
在几何学中，矩阵可以表示向量的旋转、缩放和投影等操作，帮助我们理解和描述空间中的几何变换。
矩阵分析的几何意义-bak
1 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用?矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！2 阵列信号处理中的相关矩阵的物理意义是什么呢比方说一个10元阵列，接收到100点数据，阵列矩阵可以看作是X，X是10*100的矩阵。
求取相关矩阵R=X*X’/100，R就是一个10*10的矩阵。
那R反映的是信号的什么物理意义呢？对R进行特征分解，每个特征值又有什么物理意义呢？通常阵列快拍可以写成x=As+n的形式，其中A=[a_1 a_2...a_K]为以各个信号导向矢量作为列向量构成的矩阵，s=[s_1(t) s_2(t)]^T为信号矢量，而n为白噪声矢量，则R=E{xx^H}=A*S*A^H+sigma*I，S=E{s*s^H}将给出各个信号的功率和互相关信息。
因为可以看出R提供的是各个信号在阵列上的空域响应结构以及相应的功率及相关关系。
如果是做波束形成的话，那么实际上正是利用了这些空域结构和功率关系在各个方向形成恰当的响应是某种准则最优。
如果是做DOA估计，那么这个自相关矩阵结合阵列几何信息就可以求解出DOA。
ls的意思也就是说是空间相应以及信号的互相关关系的叠加了？那比方说，最大特征值对应的是谁的特征呢？最大功率信号的？好像我在实际处理中发现不是这样的阿自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来哪个信号一一对应的关系，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号矢量做了这样的正交分解，使得各个分量之间相互不相关，也即是K-L展开，每一个特征值相应于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此是不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征的。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用1. 引言1.1 矩阵和行列式的基本概念矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，也是几何学中不可或缺的工具之一。
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，而行列式则是对一个方阵进行一系列操作得到的一个标量值。
矩阵和行列式的基本概念包括了矩阵的定义、加法和乘法运算，以及行列式的定义和性质。
在矩阵中，每个元素可以表示一个空间中的向量或者点，而矩阵的运算则可以用来描述空间中的变换和关系。
矩阵的平移和旋转应用是其中最常见的几何应用之一，在计算机图形学和机器学习中有着极其广泛的应用。
行列式则可以用来描述空间中的体积和方向，对于线性方程组的求解和空间中的几何问题有着至关重要的作用。
矩阵和行列式在三维空间的表示方法和在计算机图形学中的应用更进一步扩展了它们的应用领域，而在机器学习和人工智能领域，矩阵和行列式更是成为了不可或缺的工具。
它们的重要性不仅体现在几何学中，还体现在理论计算和实际应用中的广泛深入。
通过深入研究和应用矩阵和行列式，我们可以更好地理解和描述空间中的关系和变化，从而推动科学技术的发展和进步。
1.2 矩阵和行列式在几何中的重要性矩阵和行列式在几何中的重要性体现在它们对几何变换的描述和分析中起到至关重要的作用。
几何变换包括平移、旋转、缩放等，而矩阵和行列式可以简洁地表示这些变换。
通过矩阵的乘法运算，可以连续地应用多个变换，实现复杂的几何操作。
行列式则可以用来判断矩阵的行列间关系，比如判断矩阵是否可逆、是否存在逆矩阵等。
在几何中，矩阵和行列式的重要性体现在它们提供了一种便捷且直观的描述几何对象和操作的方式。
平移可以用矩阵的加法表示，旋转可以用矩阵乘法表示。
通过矩阵和行列式，我们可以方便地求解线性方程组、计算多边形的面积、判断平行四边形的性质等几何问题。
矩阵和行列式在几何中的重要性不可替代，它们为我们理解和解决几何问题提供了强大的工具和思维方式。
在接下来的我们将更深入地探讨矩阵和行列式在不同领域的应用，展示它们的广泛性和实用性。
矩阵分析几何意义的整理
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章，有些内容来自blog，有些来自文献和教程，解决了我遇到很多疑问，感谢把它推荐给我的人。
前四部分来自早期几篇blog，把空间描述的形象且易懂，适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。
一、矩阵的特征值概述：矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手，把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比。
这样的一些向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。
自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。
使得各个分量之间相互不相关，也就是K—L展开，每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。
二、线性空间和矩阵的几个核心概念：空间（space）：空间的数学定义是一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。
我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间，我们所生活空间的特点：（1）有很多（实际上是无穷多个）位置点组成（2）这些点之间存在着相对关系。
（3）可以咋空间中定义长度、角度。
（4）这个空间可以容纳运动（从一个点到一个点的移动，而不是微积分意义上的“连续”性运动）第（4）点是空间的本质特征，（1）、（2）两点是空间的基础而非性质，第（3）点在其他空间也行并不具备，自然更不是关键的性质。
只有第（4）点是空间的本质。
把三维空间的认识拓展到其他空间。
事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动（变换）。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵和行列式的几何意义及其应用。
一、矩阵的几何意义矩阵可以被看作是一个数字数组，它由行和列组成。
在几何上，矩阵可以表示一系列的几何变换，比如平移、旋转、缩放等。
1. 平移对于二维平面上的向量来说，一个平移矩阵可以表示向量在平面上的平移。
对于一个向量v=(x, y)，如果我们希望将它在x方向上平移b个单位，在y方向上平移c个单位，那么相应的平移矩阵为：T = | 1 0 || b c |当我们将向量v乘以平移矩阵T时，得到的结果就是平移后的向量。
通过以上例子，我们可以看到，矩阵在几何中有着非常重要的意义，它可以表示各种几何变换，从而帮助我们对几何问题进行分析和计算。
除了在几何中的应用，矩阵在计算机图形学、物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。
二、行列式的几何意义行列式是一个非常重要的概念，它可以表示矩阵的“形状”，从而帮助我们理解线性变换的性质。
在几何中，行列式可以理解为表示线性变换对空间的“拉伸”或“压缩”程度。
对于一个二维矩阵A，它可以表示一个线性变换T。
如果我们用矩阵A对一个向量v=(x, y)进行变换，得到的结果就是Av。
对于这个变换，它会使得原来的面积发生改变，而这种改变的程度可以通过A的行列式det(A)来表示。
行列式大于1表示面积被“拉伸”，小于1表示面积被“压缩”，等于1表示面积保持不变。
举个例子来说，如果我们有一个二维矩阵A，它的行列式为2，那么这个矩阵对应的线性变换会使得平面上的面积变为原来的两倍。
而如果行列式为0，表示这个线性变换会把整个平面变为一条线，面积被“压缩”为0。
行列式的几何意义帮助我们理解线性变换对空间的影响，它可以帮助我们分析和理解各种几何问题。
在实际应用中，行列式常常用来判断线性方程组的解的情况，或者用来解决几何问题，比如计算面积、体积等。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用【摘要】矩阵和行列式在数学中被广泛运用，不仅有着严格的定义，还具有重要的几何意义。
通过研究矩阵在几何变换中的应用和行列式在几何中的作用，我们可以更深刻地理解它们在几何中的重要性。
矩阵和行列式的联系在计算机图形学和工程领域中也有着广泛的应用，能够帮助我们解决实际问题。
矩阵和行列式在几何中的重要性和广泛应用彰显出它们的重要意义，为现实生活中的许多问题提供了解决方案。
通过深入研究矩阵和行列式的几何意义，我们可以更好地掌握它们在数学和工程领域中的应用。
【关键词】关键词：矩阵、行列式、几何意义、几何变换、计算机图形学、工程领域、重要性、现实生活、应用、联系1. 引言1.1 矩阵和行列式的定义矩阵是一个按照矩阵元的排列方式排成的矩形阵列，其中有m行n列，记作A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以表示成如下形式：A = [a11, a12, a13, ..., a1n][a21, a22, a23, ..., a2n][.....................][am1, am2, am3, ..., amn]行列式是对一个特定规模的矩阵进行运算得到的一个标量，记作det(A)或|A|，它的值表示这个矩阵的行向量或列向量组之间的线性相关性。
行列式的计算需要满足一定的性质和规则，通过这些性质和规则，我们可以求出任意规模矩阵的行列式。
矩阵和行列式是线性代数中的基本概念，它们在几何学和工程领域中有着重要的应用。
接下来我们将更深入地探讨矩阵和行列式在几何中的具体应用和意义。
1.2 几何意义的介绍矩阵和行列式在数学中占据着重要的地位，它们不仅仅是代数运算中的工具，还具有着深刻的几何意义。
在几何中，矩阵和行列式可以用来描述和分析各种几何问题，从而为解决实际应用中的几何难题提供了有力的数学支持。
几何意义可以帮助我们更直观地理解矩阵和行列式的性质，从而更好地应用它们解决问题。
矩阵和行列式的几何意义及其应用
矩阵和行列式的几何意义及其应用矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
矩阵和行列式的几何意义和应用是我们必须深入了解的内容，本文将就此进行探讨。
我们来说说矩阵的几何意义。
矩阵可以看作是一个矩形的数组，其中的元素通常代表着某种量，比如空间中的坐标，或者物理问题中的力、速度等。
在几何中，矩阵可以表示空间中的旋转、缩放、平移等变换。
二维空间中的平移可以通过一个2x2的矩阵来表示：\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]这个矩阵表示了在x和y方向上都不发生变化，也就是相当于没有平移。
而如果我们希望在x方向上平移了2个单位，那么可以使用如下的矩阵来表示：我们来说说行列式的几何意义。
行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆，从而也可以用来判断一个线性变换是否可以逆转。
几何上来看，行列式可以表示一个线性变换对空间形状的影响。
如果一个矩阵的行列式为0，那么它代表的线性变换将使空间中的一些维度丢失，从而导致形状变得扁平或者折痕，这种情况往往是不可逆的。
接下来，让我们来说说矩阵和行列式在实际生活中的应用。
矩阵和行列式在很多领域都有着广泛的应用，下面就以几个具体的例子来说明。
矩阵和行列式在计算机图形学中有着重要的应用。
在计算机图形学中，我们经常需要对图形进行平移、旋转、缩放等变换，而这些变换都可以通过矩阵来表示。
计算机图形学中还经常需要进行投影变换，而将一个三维空间中的坐标点投影到二维屏幕上，也可以通过矩阵来表示。
矩阵和行列式在计算机图形学中有着广泛的应用。
矩阵和行列式在机器学习和人工智能领域也有着重要的应用。
在机器学习中，我们经常需要对大量的数据进行处理和分析，而矩阵运算在这个过程中是非常高效的工具。
很多机器学习算法都可以通过矩阵运算来表示，比如主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）等。
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例.把（1，1）点变换到（2，3）点有两种方法，第一种是当坐标系不变，点动，把（1,1）点挪到（2,3）点；第二种是点不动，坐标系动，把x轴的度量单位（单位向量）变换为原来的1/2，把y轴的度量单位（单位向量）变换为原来的1/3，方式不同，但是结果一样。
（1）从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
（2）从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系（基）的每一个向量，把它在I坐标系中找出来，然后汇成一股新矩阵。
（3）至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为在一个M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别于M中的每一个向量进行内积运算。
我们知道一个变换可以由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成立隐性特征。），因此，通过特征向量或特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。
第（4）点是空间的本质特征，（1）、（2）两点是空间的基础而非性质，第（3）点在其他空间也行并不具备，自然更不是关键的性质。只有第（4）点是空间的本质。
把三维空间的认识拓展到其他空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动（变换）。我们会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如：拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间允许的运动形式而已。
3．什么是基：浅显的理解是只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了，虽然浅显，但目前对于我们基本够用，注意是“坐标系”不是“坐标值”。这样一来，选定一组基就是说在线性空间里选定一个坐标系。
4．矩阵的完善：讲了前面那么多内容，现在可以把矩阵定义完善了。“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能用一个确定的矩阵来加以描述。”
空间（space）：空间的数学定义是一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。
我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间，我们所生活空间的特点：
（1）有很多（实际上是无穷多个）位置点组成
（2）这些点之间存在着相对关系。
（3）可以咋空间中定义长度、角度。
（4）这个空间可以容纳运动（从一个点到一个点的移动，而不是微积分意义上的“连续”性运动）
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理
这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章，有些内容来自blog，有些来自文献和教程，解决了我遇到很多疑问，感谢把它推荐给我的人。前四部分来自早期几篇blog，把空间描述的形象且易懂，适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。
一、矩阵的特征值概述：矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手，把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比。这样的一些向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。
关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，比如PCA方法，选特征值最高的k歌特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；还比如Google公式的PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据挖掘分析等方面都有应用。
——>B1，B2，B3
A1 1 1 0
A2 1 0 1 W
A3 1 1 0
——>C1，C2
B1 1 0
B2 1 1 Q
B3 0 1
那么是从A国的每个城市出发经过B到C的每个城市，各自有多少条路线？
答案：W*Q=[(2,1),(1,1),(2,1)]
8.关于映射：莱布尼茨说映射是一种2元关系，在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z，在多维的时候可以写成矩阵乘法。当然限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合，当然方阵才有逆，方阵维数不变的N——>N的一一映射，所以可能有且只有一个反映射，或者吗，没有反映射。N——>M的不同维数映射无法得到反映射。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本就说清楚了。但是在线性代数中，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换矩阵，不但可以把线性空间中一个点给变换到另一个点去，而且也能够吧线性空间中的一个坐标系（基）变换到另一个坐标系（基）去。而且变换点与变换坐标系具有异曲同工的效果。
在数学分析中，最要紧的概念是一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线和，这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华。
5.如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度是1）。
6.“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变换的矩阵相乘。”
如果搞明白了上述结论，则矩阵M*N，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系度量，其结果为坐标系M*N。在此，我们实际上已经回答了一般人在学习线性代数时最困惑的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。原因如下：
7.矩阵运算的物理意义：如果把矩阵看成是一个2维坐标系离散值的几何，那么
（1）矩阵加法A+B就是A的各个点作平移，平移的度量是B当中的点。
（2）矩阵乘法A*B就是一种现象映射：如果A是x/y坐标系，B是y/z坐标系，那么结果就是x—>z的映射
举个例子，A国家有三个城市，B国家有三个城市，C国家有两个城市，他们之间的道理状况用矩阵表示。
（插曲）总结一下之前的主要内容：
（1）首先有空间，空间可以容纳对象的运动。一种空间对于一类对象。
（2）有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量运动对象运动的。
（3）运动是瞬的，因此也被称为“变换”。
（3）矩阵是线性空间中的运动（变换）的描述。
（4）矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
（5）同一个变换，在不同坐标系下表现为不同矩阵，但是它们的本质是一样的，所以值征值相同。
例1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中每一个对象是一个多项式。如果我们以X0,X1,X2,…..,Xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分离ai其实就是多项式Xi-1项系数。值得说明的是，基的选取有多种方法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。
四、理解矩阵:在《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中连续性的运动，而是瞬间发生的变换。比如物理学中量子的跃迁，物理上矩阵是线性空间里的跃迁的描述。
1.用数学用语描述变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。
趣味逸事：描述一个三维对象只需要三维向量，但是所有的计算机图形学变换都是4*4的，这是因为在计算机图形学里的应用的图形变换，实际上是在仿射空间而非向量空间中进行。想想看，在向量空间里相应一个向量平行移动后仍是相同的那个向量（向量空间只是一个线性空间，没有定义内积,即长度），而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为是同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射空间的矩阵表示根本是4*4的。
到此，对矩阵已经有了较深入的理解，接下来内容就该讨论经常用到的特征值和特征向量了。
五、特征值和特征向量的几何意义：一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定变换后保持方向不变，只是长度伸缩而已（再想想特征向量的原始定义Ax=cx，就恍然大悟了，cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x方向相同），而且x是特征向量的话，ax也是特征向量（a是标量且不为零），所谓的特征向量不是一个向量，而是一个向量簇，另外，特征值只不过反映了特征向量在变换过程中伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时，先求出特征值，但是特征向量才是更本质的东西。
六、特征向量的物理意义：
1．求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间进行正交分解，使得A的集合可以表示为每个a在各个特征向量上面的投影长度。例如：A是n*m矩阵，n>m，那么特征向量就是m个（因为秩最大是m），n个行向量在每个特征向量E上面有投影，其特征值V就是权重。那么每个行向量现在就可以写成Vn=（E1*V1n，E2*V2n,…,Em*Vmn）,矩阵变成了方阵。如果矩阵的秩更小，矩阵的存储还可以压缩。再：由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影，那么我们可以使用最小二乘法，求出投影能力最大的那些向量，而把剩下的那些分量去掉，这样就最大限度地保持了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要存储的维度，简称PCA。
理解“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能用一个确定的矩阵来加以描述。”这句话的关键在于把“线性变换”和“线性变换的描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指同一个对象。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换，换一组基就可以得到另一个不同的矩阵，所以这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。