一类感染疾病的捕食-被捕食模型的研究

｛ ＝，ｒ 一（ １—Ａ Ｓ—ａｌ 一ａ Ｎ ］ ， ［， ０ｌ ） ｌ ， １ ２， ２
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收稿 日期 ：０ １１ －３ 修 回 Ｅ期 ：０ ２ —１ ２ １．２２ ； ｌ ２ １ ￣２２ 基金项 目： 山东省 自然科学基金（ Ｒ ０ ９ Ｌ １ ； Ｚ ２ ０ Ａ ００） 山东省高等学 校科技计划项 目（０ Ｌ ５ ） Ｊ９ Ａ １ 作者简介 ： 陈珍珍 （ ９９ ） 女 ， Ｉ８ 一 ， 山东潍 坊人 。硕士研究生 ， 研究方 向为动力系统与生物数学。Ｅｍａ ： ｅ ｚｅ ｃｅ１２ ＠１３ ｃｍ。 － ｉ ｚ ｎｈｎｈｎ ２ １ ６ ．ｏ ｌｈ
通讯作者 ： 赵建东（ ９７ ） 男 ， １６ 一 ， 山东邹 城人 。教授 ， 士研究生导师 ， 硕 博士 ， 研究方 向为常微分方程与动力 系统 、 生物数学 。Ｅｍ ｉ － ａ ｌ
ｊｚａ＠ ｕｔ．ｄ 。 ｄｈｏ ｓ ｅ ｕ ｅ
１２ １
鲁东大学学报 （ 自然科学版 ）
第 ２ 卷 ８
其 中
０ ＜ （ ｌ ＋Ａ），＜ Ｉ ｒ ０１ ｒ ｌ ，２＞０ ０ ＜Ａ ＜ｎ１０ ｒ ， Ｉ， ＞０ ｉ ，， １２ ＝ ，． （） ３
模 型 （ ） 际上是一 个 三维 ＬｔａＶ ｌｒ 模 型 ． ２实 ｏ —ｏｔ ｒ ｋ ｅａ 若被 捕食 者没有 感染疾 病 ， ｆ＝０， Ｎ ， 则 Ｓ＝ ｒ ：ｒ， 此 时模 型 （ ）就是 模 型 （ ）若 不存 在捕食 者 Ⅳ２ 满 足不 等式 （ ） ２ １． ， ３ 的模 型（ ） ２ 简化 为 以下模型 ：
关键词 ： ｅ ａ ＬｔａＶ ｈ ｒ 模型 ； ｒ 平衡 点 ； 基本再生数
中图 分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ． 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３８ ２ （０ ２ ０ －１ １０ １７ —０ ０ ２ １ ）２０ １－５ －
捕食 一 捕食 模 型是生 物数 学 中极其 重要 的一 个模 型 ， 模 型被描 述为 被 此
ｆ ＝ （ 一 ｌ １ 口Ⅳ） Ⅳ ｒ ａＮ 一 ２， ｌ ｚ
Ｉ ＝Ｎ （ ２＋口１， Ｎ２ ２ 一ｒ ２Ｉ 』 、 １—０２ ． ２ ） ＾
（） １
其 中 Ⅳ 表示 被捕食 者 的种 群总 数 ， 表 示捕 食 者 的种 群 总数 ； Ⅳ２ 常数 表示 种群 ｉ 内在增长 率 （ 的 出生率
鲁 东大学 学报（自然科学版 ）
Ｌ ｄｎ ｎｖｒ ｔ Ｊｕｎ ｌＮ ｔｒ ｃｅｃ ｄｔ ｎ ｕ ｏｇＵ ｉ ｓｙ ｏｒａ（ ａ ａ Ｓｉ ｅＥ ｉｏ ） ｅ ｉ ｕｌ ｎ ｉ
一
类 感 染 疾 病 的 捕食 一被捕 食 模 型 的研 究
陈珍珍 ， 赵建东
（ 鲁东大学 数学与信息学院 ， 山东 烟台 ２ ４ ３ ６ ０９）
一
被 捕食模 型 中 ， ［ ］研究 了传染病 模 型 ， 给 出 了无 疾 病 平 衡点 以及 在 该点 处 的基 本 再 生 常数． 文 ３ 并 本
文把 疾病 引入 被捕食 者 中 ， 立 了一类 感染 疾病 的 的捕食 一 被捕食 模 型 ， 对其进 行定 性分 析 ， 论基 建 并 讨 本再 生常 数 和疾病 传播 率等 对模 型 的影 响 ， 研究 了四种长 期 的动力 学行 为 ， 给 出了数 值模拟 图． 并
义 为第 ｉ 等倾 线． ［ ］ 文 １ 研究 了模 型 （ ）得 到结 果 ： ａ ＜ａｌ 时 ， １， 当 ｒ ｌ 被捕 食者 导致 捕食 者灭绝 ； ｏ ｒ 当 ｒ 虑 到种群 可 以感染 疾病 ， 在种 群 竞争模 型 的基础 上 ， ［ ］建 立 了一类 感 染疾 病 的竞 争模 型 ， 分 析 了 文 ２ 并 其 长期 的动力 学行 为 ， 这里 的模 型实 质上 是一个 三 维 ＬｔａＶ ｈ ｒａ 型． ｏ ．ｏ ｅｒ 模 ｋ 同样 ， 以把 疾病 引入 到捕食 可
摘要 ： 研究 了疾病 影响下的捕食 一被捕食模型． 当被 捕食 者感 染疾病时 ， 建立 了一类感染疾病 的捕食 一被捕食 模型 ， 析了该模 型的长期动力学行为 ， 到了易感 者存 活或易感者与感染者共存 、 分 得 易感者 与捕食者共存或三 者共存的充分条件 ，并给出了对应的数值模拟 图．
一
死 亡率 ） 常 数 ａ 表 示种 群 对 种 群 ｉ ； 的影 响． 设 ｒ 假 ＞０ ａ ， ＞０ ｉ ，， ＝１２模 型 （ ）中线 Ｎ ＝０定 ，， １ ＞ａ ｒ 时 ， 。 两者 长期共 存． 自然界 中由于资 源有 限 和其 他 作 用 ， 在 种群 自身 也会 阻滞 自身 的增 长． 在考
１ 模 型 的建 立
假 设被 捕食 者感染 疾 病 ， Ｎ。 划分 为两 部分 ： 则 被 易感 者 ｓ和感 染 者 用 ｂ ｄ 分别 表示 易感 者 Ｓ 和
的出生率和死亡率 ， ｂ 和 ｄ 分别表示感染者 ， 用 ， ， 的出生率和死亡率 ， Ａ表示疾病的水平传播率． 用 并且 还假设满足 以下条件 （） 疾病垂直传播 ， ｉ 即感染者的子代全部为感染者． ｉ 易感者的出生率和死亡 （） ｉ 率与健康的捕食者相 同， ｒ 即 ＝ｂ 一ｄ ＝ｒ （ ｉ 疾病使死亡率增大（ ＜ｄ） 使出生率降低（，＜ 。 ｉ） ．ｉ ｄ ，， ｂ ｂ ） 且 出生 率大 于死 亡率 ， ０＜ｂ 一ｄ ：ｒ ＜ｒ．事 实上 ， 了避免 出现 １０ 患病 的不现实 情况 ， ， 即 ， ， 为 ０％ 可
把 此条 件加 强 为 （ ＋Ａ），＜ａ ｒ． ｉ） 疾 病没有 削 弱感染 者 的竞争 力． ｖ 疾病 的水 平传 播率小 于 ａ ｒ （ｖ （） 其 内部 竞争 的影 响 ， Ａ ＜ ａ 基 于上 述假 设 ， 文建 立感 染疾 病 的捕食 一被 捕食模 型 ： 即 本 ｒ ＝Ｓ ｒ Ｓ ［ 一ａｌ ｌ Ｓ一（ ｌ ） 一０２， ， ａｊ＋ ， ｉ ２ Ａ］