数学建模数据拟合与插值
数学建模数学实验插值及案例
数学建模数学实验插值及案例在科学研究和工程实践中，数学建模扮演着至关重要的角色。
通过建立数学模型，我们可以对现实世界的现象进行模拟和预测。
其中，插值方法是一种重要的数学建模工具，用于估计在给定数据点之间的未知值。
本文将探讨插值方法的基础理论以及一个具体的数学实验案例。
插值方法是一种数学技术，通过在给定的数据点之间估计未知的值。
最常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是最简单的插值方法，它将数据点之间的变化视为线性的，即变化率保持恒定。
多项式插值方法则通过构建一个多项式函数来逼近数据点的变化趋势。
样条插值则通过将数据点连接成平滑的曲线来进行插值。
本案例将利用多项式插值方法对房价进行预测。
我们收集了一组房屋价格数据，包括房屋的面积、房龄、位置等信息。
然后，我们使用多项式插值方法构建一个函数来描述房价与这些因素之间的关系。
通过调整多项式的阶数，我们可以控制模型的复杂性。
我们使用该模型来预测新的房价。
在本案例中，我们使用了200个样本数据进行训练，并使用另外100个数据点进行测试。
我们发现，通过增加多项式的阶数，模型的预测精度可以得到提高。
然而，当阶数增加到一定程度后，模型的性能改善不再明显。
我们还发现模型的预测结果对训练数据的分布非常敏感，对于分布偏离较大的新数据点，预测结果可能会出现较大误差。
通过本次数学实验，我们深入了解了插值方法在数学建模中的应用。
在实际问题中，插值方法可以帮助我们更好地理解数据的变化趋势和预测未知的值。
然而，插值方法也存在一定的局限性，如本实验中模型对训练数据分布的敏感性。
未来工作中，我们可以尝试采用其他更加复杂的模型，如神经网络、支持向量机等来提高预测精度。
我们还应充分考虑数据的分布特性，以提高模型的泛化能力。
插值方法是数学建模中的重要工具之一，它可以让我们更好地理解和预测数据的趋势。
通过本次数学实验，我们深入了解了多项式插值方法的工作原理和实现过程，并成功地将其应用于房价预测问题中。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系《三次样条插值与多项式拟合的关系》一、简介在数学建模和数据分析中，插值和拟合是非常重要的方法。
三次样条插值和多项式拟合是其中常见且有效的技术。
它们之间有着密切的关系，对于理解它们的原理、特点和应用是很有帮助的。
二、三次样条插值的原理与方法三次样条插值是一种通过对给定的一组点进行插值，得到一个分段三次插值多项式的方法。
它的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，每个小区间内都使用一个三次多项式来插值。
这样可以保证整个插值曲线在每个小区间内都是光滑的，并且两个相邻的插值多项式在连接点处有相同的函数值和导数值。
三次样条插值不仅可以实现较高的插值精度，还可以很好地避免龙格现象和振荡问题。
三、多项式拟合的原理与方法多项式拟合是一种通过多项式来逼近已知数据点的方法。
常见的拟合方法包括最小二乘法和最小二乘多项式拟合等。
多项式拟合的原理是使用一个n次多项式函数来逼近n个数据点，使得这个多项式函数在这n个数据点处的函数值与给定数据点的函数值尽可能接近，并且可以用于对其他数据点的预测。
四、三次样条插值与多项式拟合的关系在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合有着密切的关系。
可以将三次样条插值看作是一种特殊的分段多项式拟合，只不过它要求在每个小区间上都使用三次多项式来进行拟合。
多项式拟合可以被认为是三次样条插值的一种特殊情况，当插值区间只有一个小区间时，三次样条插值就变成了普通的三次多项式拟合。
可以说三次样条插值和多项式拟合是在不同层次上对数据进行逼近的方法，它们之间有着内在的联系和相互影响。
五、个人观点和理解在实际工程和科学领域中，三次样条插值和多项式拟合都有着广泛的应用。
对于一些特定的数据集，三次样条插值可以提供更加精确和光滑的插值结果，而对于一些简单的数据集，多项式拟合可能会更加高效和简便。
了解它们之间的关系和特点，可以帮助我们在实际应用中选择合适的技术来处理数据，并且更好地理解其原理和局限性。
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2022年间的性别比。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2022年间的生育率。
（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
比,Karmehu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logitic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。
2.处理2022年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题
（1）以城区取样点位置为节点进行插值，绘制城区的地形图和等高线图；（2）绘制城区的8种重金属浓度的空间分布图。
并指出浓度最高和最低的点所在的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、Shepard插值等。
工具可用Matlab，也可用urfer软件实现。
数学建模插值与拟合课件
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中，常用的算法有很多种。
以下是数学建模常用的十种算法：1.线性回归算法：线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合直线。
2.非线性回归算法：非线性回归是一种用于建立变量之间非线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合曲线。
3.最小二乘法算法：最小二乘法是一种用于估计模型参数的优化算法。
它通过最小化观测值与预测值之间的平方差来确定最佳参数值。
4.插值算法：插值是一种用于根据已知数据点推断未知数据点的技术。
其中常用的算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
5.数值积分算法：数值积分是一种用于计算函数的定积分的技术。
其中常用的算法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分。
6.数值优化算法：数值优化是一种用于求解最优化问题的技术。
其中常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。
7.图形算法：图形算法是一种用于处理图像和图形数据的技术。
其中常用的算法包括图像滤波、图像分割和图像识别。
8.聚类算法：聚类是一种用于将数据集分组为不同类别的技术。
其中常用的算法包括K均值聚类、层次聚类和DBSCAN。
9.分类算法：分类是一种用于将数据分为不同类别的技术。
其中常用的算法包括支持向量机、决策树和随机森林。
10.贝叶斯算法：贝叶斯算法是一种用于计算后验概率的统计推断方法。
其中常用的算法包括贝叶斯分类、朴素贝叶斯和马尔科夫链蒙特卡洛。
以上是数学建模中常用的十种算法，它们在不同的应用领域和问题中具有广泛的应用价值，并且常常可以相互结合以获得更好的建模结果。
插值法及其应用
插值算法的介绍及其在数学建模中的应用一、插值的介绍及其作用数模比赛中，常常需要根据已知的样本点进行数据的处理和分析，而有时候现有数据较少或数据不全，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用插值法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
在直观上，插值就是找到一个连续函数使其经过每个样本点插值法还可用于短期的预测问题（插值与拟合经常会被弄混，为了区分，这里简要介绍一下拟合：即找到一个函数，使得该函数在最小二乘的意义下与已知样本点的总体差别最小，该函数不一定要经过样本点。
通常情况下，拟合要求已知样本点的数据较多，当数据较少时不适用）二、插值法原理三、插值法的分类注：下面的1、2、3、4 并非是并列关系，几个部分之间也有交叉，目的在于逐渐引出数学建模中最常用的两种插值方法：三次样条插值与三次埃尔米特插值。
1、普通多项式插值多项式插值中，拉格朗日插值与牛顿插值是经典的插值方法，但它们存在明显的龙格现象（下面会解释龙格现象），且不能全面反映插值函数的特性（仅仅保证了插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值）。
然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。
对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。
因此，数学建模中一般不使用这两种方法进行插值，这里也不再介绍这两种方法。
龙格现象（Runge phenomenon）: 1901年，Carl Runge 在他的关于高次多项式插值风险的研究中，发现高次插值函数可能会在两端处波动极大，产生明显的震荡，这种现象因此被称为龙格现象。
所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，我们一般不轻易使用高次插值。
下面是对函数f(x)=\cfrac{1}{1+x^2}不同次数拉格朗日插值多项式的比较图，其中红线为函数本身图像。
可以发现，n值越大，在两端的波动越大。
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3
c++三次多项式拟合_数学建模_003_插值和拟合_2020_9_3插值问题：有限个已知数据点，构造⼀个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
当数据量不够，需要补充,且认定已有数据可信时,通常利⽤函数插值⽅法。
常见插值⽅法：拉格朗⽇插值(lagrange插值)分段线性插值Hermite三次样条插值克⾥⾦插值(地理学)反距离权重插值算法(地理学)拉格朗⽇插值(⾼次多项式插值)：(次数太⾼有Runge现象)1. 曲线光滑；误差估计有表达式2. 收敛性不能保证(振荡现象)3. ⽤于理论分析，实际意义不⼤matlab中没有分段线性插值：1. 收敛性良好2. 只⽤两个节点，且线性，简单实⽤3. 曲线不光滑三次样条插值:1. 曲线2阶光滑，收敛性有保证2. 实际中应⽤⼴泛3. 误差估计较难拟合：已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
曲线拟合要解决的两个问题：1. 线型的选择(关键点，⼀般根据散点图)2. 线型中参数的计算参数的求解：1. 线性拟合----最⼩⼆乘法2. ⾮线性拟合----Gauss-Newton迭代法最⼩⼆乘法:函数表达式： 其中 , k=[1,n],是线性⽆关的函数， 是待定系数，⽬的找⼀组适当的，使得 与的距离平⽅和最⼩。
这种准则称为最⼩⼆乘准则，求系数的⽅法称为最⼩⼆乘拟合法。
MATLAB拟合：线性拟合：polyfit(x,y,n)函数x,y被拟合数据的⾃变量和应变量，n为拟合多项式的次数polyval()函数多项式在 x 处的值 y 可⽤polyval函数计算⾮线性拟合：[b,r] = polyfit(x ,y ,fun,bo, option)fun: 拟合函数 b0：拟合参数初始化迭值option: 拟合选项 b:拟合参数 r:拟合残差MATLAB拟合⼯具箱： cftool(⾹)插值和拟合的异同联系都是根据实际中⼀-组已知数据来构造⼀个能够反映数据变化规律的近似函数的⽅法。
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
数学建模插值及拟合详解
插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；·构造一个相对简单的函数y=P(x)；·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·用P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．用MA TLAB作一维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加工所需的数据，画出曲线.步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on3．用MA TLAB作网格节点数据的插值(二维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)注：z—被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x，y—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：双线性插值；‘cubic’：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
(完整版)数学建模 插值和拟合
x
xn
x
4.2 MATLAB实现插值
Matlab 实现：实现插值不需要编制函 数程序，它自身提供了内部的功能函数 interp1(一维分段插值) interp2(二维) interp3(三维) intern(n维)
4.3.1一维插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
例1：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔1/10小时 的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
例1：从1点到12点的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25， 29，31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔 1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
x x0 y y0
x1 … xn y1 … yn
其中x0,x1, …xn是n+1个互不相同的点，求一个 近似函数 (x) ，使得
( xi ) f ( xi ) i 0,1 …n
数学建模 插值与拟合
%作图
2020/8/19
例 已知飞机下轮廓线上数据如下，Байду номын сангаасx每改变0.1时的y值。
X0 3
5
7
9 11 12 13 14 15
Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
机翼下轮 廓线
y
x
自己思考，10分钟小组讨论！
2020/8/19
二维插值
（1）二维插值的定义
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点 插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插 值 ‘cubic’ 双三次插 值 要求x0,y0单调；x，y可取为缺矩省阵时，, 或x取双行线向性量插，值y 取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。
一、函数插值 二、曲线拟合
一维插值 二维插值
2020/8/19
在工程中，常有这样的问题：给定 一批数据点（它可以是设计师给定，也 可能是从测量与采样中得到），需确定 满足特定要求的曲线（面）通过所给所 有数据点，这就是插值问题。
2020/8/19
一维插值
（1）插值的定义 （2）插值的方法
拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
直接验证可知，Ln x满足插值条件.
Notice：拉格朗日多项式插值次数越高，越易产生振荡，这 种振荡称为龙格（Runge）现象 。
数学建模实验报告 第十八章 插值与拟合
实验名称：第十八章插值与拟合一、实验内容与要求学会用Matlab语言编写程序进行差值和拟合的各种常规运算。
二、实验软件MATLAB6.5三、实验内容1、用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
v(t)=V-(V-V0)e−tτ试由下面一组t,v数据确定V0和τ。
程序：Function y=dianya(x,t)y=10-(10-x(1))*exp(-t/x(2))t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];v=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];x0=[0.2,0.05];x=lsqcurvefit('dianya',x0,t,v)y=dianya(x,t)实验结果：x=5.5577 3.50022、弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定律：F与x成正比，即F=kx。
现在得到下面一组F、x的数据，并在（x，F）的坐标下作图，可以看到当F大到一定的数据后，就不服从这个定律了。
试由数据确定k，并给出不服从胡克定律时的近似公式。
分析：这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值先用线性拟合来观察所有的数据程序：x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')可以看到当弹簧伸长10单位长度后，拟合的情况和不好故先取值前五个数据进行线性拟合x=[0 1 2 4 7 9 ];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')实验结果：a =1.7085 0.0008图形如下：可以看到拟合良好，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系。
插值与拟合课程设计
插值与拟合课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解插值与拟合的基本概念，掌握其数学表达和几何意义；2. 学会使用不同插值与拟合方法（如：拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘法等）解决实际问题；3. 掌握分析插值与拟合误差的方法，了解各种方法的优缺点及适用范围。
技能目标：1. 能够运用数学软件（如MATLAB、Python等）进行插值与拟合的计算和分析；2. 培养运用插值与拟合方法处理实际数据的能力，提高数学建模和问题解决技巧；3. 能够通过实例分析，设计合理的插值与拟合方案，并评估其效果。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学科学的兴趣，激发他们探索未知、解决问题的热情；2. 增强团队合作意识，培养在团队中沟通、协作解决问题的能力；3. 树立正确的科学态度，认识到数学知识在实际问题中的应用价值。
课程性质：本课程属于数学学科，以高二年级学生为教学对象，结合插值与拟合理论，注重数学在实际问题中的应用。
学生特点：高二年级学生对数学知识有一定的基础，具有一定的逻辑思维能力和问题解决能力，对数学在实际问题中的应用有较强的好奇心。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调数学建模能力的培养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，以便进行有效的教学设计和评估。
二、教学内容1. 插值与拟合基本概念：- 插值的定义与几何意义；- 拟合的定义与几何意义；- 插值与拟合的联系与区别。
2. 插值方法：- 拉格朗日插值；- 牛顿插值；- 分段插值；- 线性插值与二次插值。
3. 拟合方法：- 最小二乘法；- 多项式拟合；- 非线性拟合；- 正交多项式拟合。
4. 插值与拟合的误差分析：- 插值误差估计；- 拟合误差估计；- 各种方法的误差比较。
5. 实际应用案例：- 数据插值与拟合在物理、化学、生物等领域的应用；- 数学软件在插值与拟合中的应用；- 结合实际问题设计插值与拟合方案。
数学建模讲座(五)插值和拟合
Lagrange插值法的缺点 插值法的缺点
多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和 稳定性变差。如龙格（Runge）现象。 在[-1,1]上用n+1个等距节点作插值多项式 Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2) 在对应节点的值相等，当n增大时，插值多项 式在区间的中间部分趋于y(x)，但对于满足条 件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋于y(x)在对应 点的值，产生了Runge现象。 现象。 现象
三次样条
即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,…,n xi-1≤x ≤xi （4n个变量） 需要4n个方程 (n+1个方程） S(xi) = yi i=0,1,…,n Si(xi)= Si+1(xi) i=1,…,n-1 在xi连续 (n-1个方程） Si/(xi)= Si+1/(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） Si//(xi)= Si+1 //(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） 再加两个条件 S//(x0)= S //(xn)=0 自然边界条件（2个方程） 可以证明：满足上述 个线性方程组有唯一解 满足上述4n个线性方程组有唯一解 满足上述 个线性方程组有唯一解。
n I (x) = ∑ y l (x) n ii i =0
可以证明：In(x) →f(x)
1.3 三次样条
设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的节点 a=x0<x1<…<xn=b 而函数y = f(x)在这些节点的值f(xi)=yi,i=0,1,…,n.如 果分段函数S(x)满足下列条件，就称S(x)为f(x)在点x0， x1，…，xn的三次样条插值函数. （1） S(x)在子区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数 为3的多项式； （2）S(xi) = yi; （3） S(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数。
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
数学建模-插值拟合的案例讲解
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');
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三、数据拟合
在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。 在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。 给定函数的实验数据， 给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的 逼近（ 函数来逼近 或拟合）实验数据。 函数来逼近（或拟合）实验数据。这种逼近的特 点是： 点是： (a) 适度的精度是需要的； 适度的精度是需要的； (b) 实验数据有小的误差； 实验数据有小的误差； (c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够 对于某些问题， 用来选择实验数据的数学模型。 用来选择实验数据的数学模型。
3.3 最小二乘拟合法的 最小二乘拟合法的Matlab实现 实现
1. 解方程组方法 例1 用最小二乘法求一个形如 y = a + bx 2 的经验公式，使它与下表所示的数据拟合。 的经验公式，使它与下表所示的数据拟合
x 19 25 31 38 y 19.0 32.3 49.0 73.3 44 97.8
数据拟合与插值
山东建筑大学 贺长伟
一、引言
在解决实际问题的生产（或工程） 在解决实际问题的生产（或工程）实践和科学 实验过程中， 实验过程中，通常需要通过研究某些变量之间的函 数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性， 数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性， 而这些变量之间的未知函数关系又常常隐含在从试 观测得到的一组数据之中。因此， 验、观测得到的一组数据之中。因此，能否根据一 组试验观测数据找到变量之间相对准确的函数关系 就成为解决实际问题的关键。 就成为解决实际问题的关键。 例如在工程实践和科学实验中， 例如在工程实践和科学实验中，常常需要从一 组试验观测数据 之中找到自 之间的函数关系， 变量x与因变量y 之间的函数关系，一般可用一个 来表示。 近似函数y = f (x)来表示。函数y = f (x)的产生 办法因观测数据和要求不同而异， 办法因观测数据和要求不同而异，通常可采用数据 拟合与函数插值两种办法来实现。 拟合与函数插值两种办法来实现。
数据拟合基本方法
逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用 逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合， 最小二乘拟合。 最小二乘拟合。 曲线拟合问题的数学描述是，已知一组（二维） 曲线拟合问题的数学描述是，已知一组（二维） 数据 即平面上的n个点 xi 互不相同。寻求一个函数（曲线） 互不相同。寻求一个函数（曲线） y = f (x)，使f (x)在某种准则下与所有数据点 最为接近，即曲线拟合得最好。 最为接近，即曲线拟合得最好。 最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性 最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性 最小二乘拟合。 最小二乘拟合。
将例1 将例1中的数据拟合成一个二次方程 x=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; ab=polyfit(x,y,2) x0=19:0.1:44; y0=ab(3)+ab(2)*x0+ab(1)*x0.^2; plot(x,y,‘o ,x0,y0, ) ,x0,y0,‘r plot(x,y, o’,x0,y0, r’) 结果： 结果： ab = 0.0497 0.0193 0.6882
3 非线性最小二乘拟合 Matlab的优化工具箱中提供了两个求非线性最 Matlab的优化工具箱中提供了两个求非线性最 小二乘拟合的函数：curvefit和leastsq。 小二乘拟合的函数：curvefit和leastsq。使用这 两个命令时，都要先建立M文件fun.m fun.m， 两个命令时，都要先建立M文件fun.m，但它们定义 f (x)的方式是不同的。 的方式是不同的。 1.curvefit xdata=(xdata1,xdata2,…,xdata 设已知 xdata=(xdata1,xdata2, ,xdatan ), ydata=(ydata1,ydata2,…,ydata ydata=(ydata1,ydata2, ,ydata n ), curvefit用以求含参量 用以求含参量x 向量） curvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数 中的参变量x 向量），使得 中的参变量x（向量），使得 ）， 最小。 最小。
即求解线性方程组 1.4） （1.4）
若记ห้องสมุดไป่ตู้
1.5） （1.5）
则方程组（1.4）可表示为 则方程组（1.4） 1.6） （1.6） 由于当 线性无关时， 列满秩， 线性无关时，R列满秩， 可逆，所以方程组（1.6） 可逆，所以方程组（1.6）有唯一解 1.7） （1.7）
2、 函数组 的选取 面对一组数据 ，用线 性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、 性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键 的一步是恰当地选取 如果通过机理分析， 如果通过机理分析，能够知道y 与x之间应该 有什么样的函数关系， 容易确定。 有什么样的函数关系，则 容易确定。 之间的关系， 若无法知道y 与x之间的关系，通常可以将数 作图， 据 作图，直观地判断应该用 什么样的曲线去作拟合。 什么样的曲线去作拟合。
发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升。 发现该乡镇企业的年生产利润几乎直线上升。 因此， 因此，我们可以用 y = a1 x + a0 作为拟合函数来预测 该乡镇企业未来的年利润。编写程序如下： 该乡镇企业未来的年利润。编写程序如下： x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; a=polyfit(x0,y0,1) y97=polyval(a,1997) y98=polyval(a,1998) 求得 1997年的生产利润y97=233.4286，1998年的生产利 年的生产利润y97=233.4286 1997年的生产利润y97=233.4286，1998年的生产利 y98=253.9286。 润y98=253.9286。
3.1 线性最小二乘拟合
线性最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方 基本思路是， 法，基本思路是，令 其中 的函数， 的函数， 1.1） （1.1） 是一组事先选定的线性无关 是一组待定系数。 是一组待定系数。寻求系数
使得 yi 与 f ( xi )的距离 的平方 和最小。这种准则称为最小二乘准则， 和最小。这种准则称为最小二乘准则，其求系数 的方法称为线性最小二乘拟合方法。 的方法称为线性最小二乘拟合方法
1、 系数 若记
的求法 1.2） （1.2）
的二次函数。由数学分析（ 则J 为 a1 ,....am 的二次函数。由数学分析（或高 等数学）的极值理论， 等数学）的极值理论，J 达到最小的充分必要条件 是 a1 ,....am 满足 于是得到求使J 达到最小的 a1 ,....am 方法
是求解线性方程组（称为法方程组） 是求解线性方程组（称为法方程组） （1.3） 1.3）
人们常用的曲线有 （1）直线 （2）多项式 （3）双曲线（一支） 双曲线（一支） （4）指数曲线 ，拟合前作变量 ，拟合前作变量代换 a1,a2较简单 ,求解a1,a2较简单。 求解a1,a2较简单。
替换t=1/x,求解a1,a2较简单。 替换t=1/x,求解a1,a2较简单。 t=1/x,求解a1,a2较简单 z=lny,t=1/x,则指数曲线转化为线性函数 z=lny,t=1/x,则指数曲线转化为线性函数
非线性最小二乘法是假设f (x)是待定系数 的任意非线性函数， 的任意非线性函数，在最小二乘准则下求其系数 例如上述人们常用的双曲线和指数曲线就是非线 性最小二乘拟合中最常用的非线性函数，只不过在 性最小二乘拟合中最常用的非线性函数， 上面使用中将它们转变成线性最小二乘拟合方法。 上面使用中将它们转变成线性最小二乘拟合方法。 对于给定的实验数据， 对于给定的实验数据，通常应根据实验数据的走 趋势选择合适的数学模型，即拟合函数。 向、趋势选择合适的数学模型，即拟合函数。
在实际问题中，通过观测数据能否正确揭示 在实际问题中， 某些变量之间的关系， 某些变量之间的关系，进而正确认识事物的内在 规律与本质属性，往往取决于两方面因素 两方面因素。 规律与本质属性，往往取决于两方面因素。 其一是观测数据的准确性或准确程度， 其一是观测数据的准确性或准确程度，这是 因为在获取观测数据的过程中一般存在随机测量 误差，导致所讨论的变量成为随机变量。 误差，导致所讨论的变量成为随机变量。 其二是对观测数据处理方法的选择， 其二是对观测数据处理方法的选择，即到底 是采用插值方法还是用拟合方法，插值方法之中、 是采用插值方法还是用拟合方法，插值方法之中、 拟合方法之中又选用哪一种插值或拟合技巧来处 拟合方法之中又选用哪一种插值或拟合技巧来处 理观测数据。 理观测数据。
小结
在实际计算过程中，面对一组已知数据， 在实际计算过程中，面对一组已知数据，到 底用什么样的曲线拟合最好， 底用什么样的曲线拟合最好，可以在直观判断的 基础上，选几种曲线分别拟合，然后比较， 基础上，选几种曲线分别拟合，然后比较，看哪 最小。 条曲线的最小二乘指标J 最小。
3.2 非线性最小二乘拟合
例如当实验数据具有单调性和凸性时， 例如当实验数据具有单调性和凸性时，可选择 来拟合实验数据。 下述适当的数学模型y = f (x)来拟合实验数据。 为参数。 等，其中a、b 为参数。 在有可能的情况下， 在有可能的情况下，一般将非线性拟合函数转 化为线性拟合函数求解，这一方面是如此求解简单， 化为线性拟合函数求解，这一方面是如此求解简单， 另一方面也是因为一般情况下求解法方程组 的驻点， 得到的通常仅是J 的驻点，不一 定是极值点。 极小化问题。 定是极值点。也可以直接解J 极小化问题。
某乡镇企业1990 1996年的生产利润如下表 1990年的生产利润如下表： 例2 某乡镇企业1990-1996年的生产利润如下表： 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 利润（万元） 利润（万元） 70 122 144 152 174 196 202 试预测1997年和1998年的利润。 1997年和1998年的利润 试预测1997年和1998年的利润。 解 作已知数据的的散点图， 作已知数据的的散点图， x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996]; y0=[70 122 144 152 174 196 202]; plot(x0,y0,'*')