离散数学第五版第九章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

9.1二元运算及其性质
3. 幺元与零元的定理
设为S上的二元运算, e，分别为运算的幺元和 零元，如果S至少有两个元素，则e。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai {1} {2} {1,2}
~ai {1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
{1,2} {1,2} {2} {1}
9.1二元运算及其性质
第9章 代数系统简介
9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 几个典型的代数系统
9.1二元运算及其性质
一、二元运算的定义(定义9.1)
设S为集合，函数f:S×SS称为S上的二元运算， 简称为二元运算。
如何判断一个运算是否为集合S上的二元运算？ ❖S中任意两个元素均可以进行这种运算，且运算的
l x = l(或 x r = r) 则称 l (或 r )是S中关于运算的一个左零元(或右零元)。
若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于 运算的零元。
9.1二元运算及其性质
例9：
➢自然数集N上的加法 零元，零元是
。
➢自然数集N上的乘法 零元，零元是
。
➢自然数集N上的除法 零元，零元是
。
➢幂集P(S)上的运算 零元，零元是
。
➢幂集P(S)上的运算 零元，零元是
。
9.1二元运算及其性质
2. 零元的唯一定理（定理9.2）
设为S上的二元运算, l ， r 分别为运算的左零元和
右零元，则有
l = r =
且为S上关于运算的唯一的零元。 证：
l r l（将l做为左零元） l r r （将r做为右零元） 所以：l r
例7：设S={1,2,3,4},定义S上的二元关系如下： xy=(x*y)mod 5 x,yS。
求的运算列表。 123 4 1 123 4 2 241 3 3 314 2 4 432 1
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三、二元运算的主要性质
（1）交换律（定义9.3） 设为S上的二元运算.如果对于任意的x,yS都有 xy=yx 则称运算在S上是可交换的,或者说运算在S上适合交换律.
右幺元，则有
e
=
l
er
=e
且e为S上关于运算的唯一的幺元。
证：
el er er（将el做为左幺元） el er el （将er做为右幺元） 所以：el er e
9.1二元运算及其性质
四、零元
1. 零元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,如果存在 l (或 r )S使得对于任何
xS都有
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（3）幂等律（定义9.3） 设为S上的二元运算,如果对于任意的xS都有 xx=x 则称运算在S上适合等幂律.
集合的、是复合等幂律的。
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（4）分配律（定义9.4）
设和*是S上的两个二元运算,如果对于任意的x，y，zS有
x*(yz)=(x*y)(x*z)
(左分配律)
设S为集合，n为正整数，则函数 f：S×S×……×SS
称为S上的一个n元运算，简称为n元运算。
（1）当n=1时，则函数f:SS为S上的一元运算，如(x)=y （2）当n=2时，则函数f:S×SS为S上的二元运算。
(x，y)=z （3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上的三元运算。
(x，y，z)=t
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例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数 1 )f(x,y )xy 2 )f(x,y )xy
3 )f(x,y )xy
4 )f(x,y )xy
例3：S为任意集合，则在f:P(A)×P(A)P(A)上， 、、、是否为二元运算？
9.1二元运算及其性质
二、n元运算的定义(定义9.2)
(yz)*x=(y*x)(z*x)
(右分配律)
则称运算*对是可分配的，也称*对适合分配律。
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（5）吸收律（定义9.5）
设和*是S上的两个可交换的二元运算,如果对于任意的
x，yS有
x*(xy)=x
x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如：幂集P(S)上的和运算满足吸收律。即A,BP(S)
注:对于二元运算矩阵来说,二元运算满足交换律,则二元 运算矩阵关于主对角线对称。
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（2）结合律（定义9.3） 设为S上的二元运算.如果对于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz) 则称运算在S上是可结合的,或者说运算在S上适合结合律.
注:整数集Z、自然数集N、有理数集Q、实数集R上的加法和 乘法都是可结合的；矩阵的加法和乘法也是可结合的； 集合的、、也是可结合的；函数的复合运算也是可 结合的。
结果是唯一的。 ❖S中任意两个元素的运算结果都属于S，即S对该运
算是封闭的。
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例1：
f:NNN
1 )f(x,y )xy
2 )f(x,y )xy
3 )f(x,y )xy
4 )f(x,y )xy
f :ZZZ
1 )f(x,y )xy
2 )f(x,y )xy
3 )f(x,y )xy
4 )f(x,y )xy
9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一 个数的相反数、倒数是否为这些集合上的一元运 算？
例5：在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的 绝对补运算～是否为P(S)上的一元运算？
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
有
A(A B)=A
A(A B)=A
9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元的定义（定义9.6）
设为S上的二元运算,如果存在 e l (或 e r )S使得对于任何
xS都有
e l x = x(或 x e r =x) 则称 e l (或e r )是S中关于运算的一个左幺元(或右幺
元)。若eS关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e 为S上关于运算的幺元。
9.1二元运算及其性质
例8：
➢自然数集N上的加法 幺元，幺元是
。
➢自然数集N上的乘法 幺元，幺元是
。
➢自然数集N上的除法 幺元，幺元是
。
➢幂集P(S)上的运算 幺元，幺元是
。Leabharlann ➢幂集P(S)上的运算 幺元，幺元是
。
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2. 单位元和幺元的唯一定理（定理9.1）
设为S上的二元运算, e l ， e r 分别为运算的左幺元和