第4章流体动力学微分形式的基本方程

2u z z2
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
写成矢量形式：
u t (u )u f 1 p 2u
方程各项的含义： 左端：惯性力 右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力
4.3 N－S 方程组求解的分析
1. N－S 方程组
矢量式：
ut(u)uf1p2u
u0
分量式： u x
t
ux
u x x
uy
u x y
ux x
dx
ux
x
dx
dtdydz
x
u
x
dxdydzdt
同理
dmy
y
uy
dxdydzdt
dmz
z
uz
dxdydzdt
液体三元流动的连续性方程
dt时段内控制体内流体质量的变化 dm dxdydz dt
t dm dmx dmy dmz
t
dxdydz
dt
x
ux
y
uy
第4章 流体动力学微分形式的基本方程
4.1 连续性方程与流函数 4.2 运动微分方程及有关概念 4.3 N－S方程组求解的分析 4.4 层流精确解举例 4.5 蠕动流方程 4.6 雷诺方程 4.7 欧拉方程及其积分
4.1 连续性方程与流函数
1. 连续性方程
（1）方程的推导
液体三元流动的连续性方程
同理可得 y、z 向方程。
应力形式的运动微分方程为
du x dt
X
1
( xx
x
yx
y
zx )
z
du y dt
Y
1
(
xy
x
yy
y
zy )
z
du z
Z
1 ( xz
yz
zz )
dt
x
y
z
ddutf1(σ)
存在问题：
方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
σ
xx xy
yx yy
zx zy
xz yz zz
双下标含义： 第一个下标：作用面的外法线方向， 第二个下标：应力的方向。
❖ 正的应力：正面、正力或负面、负力。 ❖ 负的应力：正面、负力或负面、正力。
（2）方程的推导 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z， 应力状态为σ，可求出各面中心点的应力。
❖ const为流线，当取不同
常数时，则得到不同流线。
❖ 两条流线的流函数数值之差等于 这两条流线间所通过的单宽流量。
q 12d21
公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于 两个流函数数值之差。且，引入ψ后可将求ux，uy 的问题化为求ψ 的问题。
4.2 运动微分方程
1. 应力形式的运动微分方程 （1）运动流体一点处的应力状态
X
1
p x
v
(
2u x x2
2u x y 2
2u x z2
)
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Y
1
p y
v
(
2u y x2
2u y y 2
2u y z2
)
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
Z
1
p z
v
(
2u z x2
2u z y 2
以x方向为例 ：
Fx max
❖ 外力的 x 向分量 Fx ：
质量力的x向分量：Xxyz
表面力的 x 向分量：
(
xx
x) y z
x
(
yx
y) z x
y
( zx z ) x y z
❖ 质量 m ：mxyz
❖ 加速度的 x 向分量 ax ：
a xd dxu t u tx u x u x x u y u y x u z u zx
1 r( rru r)1 ruuzz 0
（3）连续性方程的应用
❖ 判别流动能否发生。 ❖ 求解某一未知速度分量。 ❖ 与运动微分方程联立求解。
2. 流函数ψ
(1) 定义 二维不可压缩流体连续性方程为：ux uy 0
x y
当定义
ux
y
和
uy x
，连续性方程
自然满足。称ψ为流函数。
(2) 物理意义
除以体积ΔxΔyΔz，并令
Δx→0,Δy→0,Δz→0取极限，得到
直角坐标下的连续性方程 ：
(ux)(uy)(uz)0
t x y z
或 (u)0
t
（2）方程的简化
❖ 对于恒定流动： 0, (u)0
t
❖ 对于不可压缩流体： u 0
或 ux uy uz 0
x y z
❖ 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：
z
uz
dxdydzdt
ux uy uz 0
t x
y
z
uv 0 液体三元流动连续性方程的一般形式
t
依据质量守恒定律： x 向质量净通率：
(ux)xyz
x
y、z 向质量净通率分别为： (uy ) yzx
y
和 (uz)zxy
z
体积内的质量减少率 ：
则有：
xyz
t
( x u x) ( y u y) ( z u z) x y z t x y z
x方向质量的变化 流入的质量 流出的质量
dmx
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
x
dx 2
u
x
ux x
dx 2
dtdydz
ux
ux x
dx 2
ux
x
dx 2
x
dx 2
ux x
dx 2
dtdydz
ux
ux x
dx 2
ux
x
dx 2
x
dx 2
ux x
dx 2
xx
p 2
u x x
yy
p 2
u y y
zz
p 2
u z z
xy
yx
u (
y
u x )
x
y
yz
zy
(u z y
u y ) z
zx
xz
u (
x
u z )
z
x
3. 纳维－斯托克斯方程（N－S方程）
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
X x y z ( x x y x z)x x y z
x y z
x y z( u tx u x u x x u y u y x u z u z x)
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
Xxxxyyxzzx( u txux u xxuy u yxuz u zx)
2u z y 2
2u z z2
)
ux u y uz 0
x y z
初始条件 给出定解条件
边界条件 理论上，方程组可解。
2. N－S方程组的特点 非线性 二阶 偏微分 方程组
uz
u x z
X
1
p x
v
(
2u x x2
2u x y 2
2u x z2
)
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Y
1
p y
v
(
2u y x2
2u y y 2
2u y z2
)
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
Z
1
p z
v
(
2u z x2