高二数学空间向量的夹角

E
A
D B
C
教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
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创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
平面内两个向量的夹角公式： a ( x1，y1 )， b ( x 2，y2 )， 已知平面内两个非零向量， a b x1 x2 y1 y2 cos<a， b>= a b x12 y12 x2 2 y2 2 问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
D1 A1 D A B B1 C C1 A1
D1 E
F B1
C1
C
B
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创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
设 计 意 图
鼓励学生选择不同的解题方法，培养 学生创新思维； 为学习能力不同的学生提供广阔的空 间；
体现学生的主体地位，发展学生的个性；
培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.
求下列两个向量夹角的余弦值
（1） a (2， 3，3)， b (10 ， ， 0) ， （2） a (1 ， 11) ，， b (101) ， ，.


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创设情境
例 题 讲 解 理 解 掌 握 巩 固 提 高
建构数学
知识运用
小结作业
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
z
D1
A1
F E1 B1
C1
E
D
B
C
y
A
x
蚌埠九中 罗培涛
教 材 分 析
教 学 目 标
方 法 手 段
教 学 程 序
教 学 评 价
地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价 知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直线的夹角. 后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.
（1）空间向量的夹角公式及其坐标表示; （2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别; （3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推 广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.
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感受•理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学中，以问题为载体，学生活动为主线; 将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优 越性,恰当选择,合理运用;
通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作 探索,对学生的学习过程评价; 通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价; 通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情 .
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价 教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价
学习方法：自主探索 类比猜想
观察发现 合作交流
教学手段：借助多媒体（几何画板、实物 投影、幻灯片等）辅助教学
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创设情境 建构数学 知识运用

小结作业
已知空间内两个非零向量， a ( x1，y1，z1)， b ( x2，y2，z2 )， a b a b cos a， b ， 从而有
ab x1x2 y1 y2 z1z2 cos<a， b>= 2 2 2 2 2 2 x y z x y z ab 1 1 2 2 1 2
建构数学
知识运用
小结作业
题组练习二
必做题：
1. 设点 O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1) 异 面 直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
A.60º
B.120º
C.-60º
D1 A1 D A
D.240º
C1
2. 已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1, 请用恰当的方 法求异面直线 AC 与 BD1 所成的角.
课题引入
例1
题组练习一
空间向量的夹角
夹角公式
域领用应
题组练习二
例2
一般方法 几何法、向量法 一般步骤 巩固作业
B1
C B
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例 题 讲 解 理 解 掌 握 巩 固 提 高
建构数学
知识运用
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题组练习二
选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体 , 得到一个新的几何体 D1CC1-A1BB1， E,F 分 别 是 A1D1,D1C1 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 BE 与 A1F所成的角．
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以问题为载体，学生活动为主线
探索、类比、猜想、发现并获得新知
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情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
1 B1E1 = D1F1 = A1B1 , 求证DF1与BE1垂直. 4
D1 A1
F1
B1
C1
D1 A1 M D A C1
B1
N B
C
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思考•运用：已知正三棱柱(地面为正三角形,侧棱与 底面垂直) ABC-A1B1C1中，底面边长为2,求异面直 线AB1与BC所成的角.
A1 C1 B1 C B
A
探究•拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所 成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的 距离等其它空间夹角或距离的问题?
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小 结 评 价
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？ (1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论.
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题组练习一
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所 成角的余弦值.
D1 A1 B1 C1
① 几何法
② 向量法
D A B
C
M
z
建构数学
F1 E1 B1 C1
知识运用
小结作业
D1
① 几何法 ② 向量法
C
D A
x
y
B
cos < DF1,BE1 > = 15 17 cos < DF1,E1B> = - 15 17
本题的几何结论：异面直线 BE1与DF1夹角的余 质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
15 区别？如何转化为本题的几何结论 ? 弦值为 . 17
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小结作业
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直角坐标系？
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值得肯定的：
反 馈 评 价
勇于思考、积极探索； 分工协作、合作交流.
值得注意的：
将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标； 理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别； 选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求 夹角的唯一途径，不是最佳途径.
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关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量
的坐标,将几何问题转化为代数问题.
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价 知识目标 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；
提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力； 体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高 分析 问题、解决问题的能力.
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从 “定性”推理转化为“定量”计算.
重点难点
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；
2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标.
1 B1E1 = D1F1 = A1B1 ，求BE1与DF1所成角 4
的余弦值.
D1 A1 D A B F1 C1
E1 B1
C
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例 题 讲 解 理 解 掌 握 巩 固 提 高 A1 D A B
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D1
F1 E1 B1
C1
① 几何法
C
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