两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用

摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。

关键词： 重要极限 推广形式 应用

Two important limits of popularization and application

Abstract :

Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a

basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application.

Keywords:Important limit Extended form application

极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和

微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0

=→x x x 和e

x x x =+∞→)1

1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可

以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。

1.两个重要极限的基本形式及其推广形式

1.1 1sin lim 0

=→x

x x (1)

运用1sin lim

=→x

x

x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面： ①分数线上面的x 要与分数线下面的x 要保持一致。 ②公式中的x 一般要趋近于0,并且

x

x sin 要符合00

型的未定式。

③式子中的x 不但可以表示一个未知数，而且可以代表一个式子。 ④通过数学中的变量替换，我们知道当

0)(lim 0

=→x g x x 时1sin lim

=→x

x x 可以推广为1)()

(sin lim 0

=→x g x g x x (2) ⑤这一重要极限我们可以记做1sin lim

=∆

∆

→∆，其中∆代表一个未知量。 1.2 e x x x =+∞

→)1

1(lim (3)

或e x x

x =+→1

)1(lim (4)

同样，在应用这个重要极限时我们也要注意几个方面：

①同（1）式中的x 一样，此处的x 可以表示一个未知数x ，也可以表示一个式子。

②当∞=→)(lim 0

x g x x 时有e x g x g x x =+

→)

())

(11(lim 0

(5) 或当0)(lim 0

=→x g x x 时有e x g x g x x =+→)

(1))

(1(lim 0

(6)

③由②中可以看出此处的x 可以趋近于0，也可以趋近于∞，但必须与（3）和（4）中保持一致。

④由（3）（4）（5）（6）我们可以看出公式中括号内加号后面的部分与括号外的

幂次互为倒数，并且基本形式与推广形式都可以转化为∞1这种类型的极限问题。

⑤类比于1sin lim

=∆∆→∆，这一重要极限我们可以记做e =∆+∆∞

→∆)1

1(lim ，其中∆代表一个未知量。

2. 求极限时两个重要极限的具体应用

2.1 1sin lim

=→x

x

x 及其推广公式的应用 例1 求x

x

x sin 5lim

→ 分析：由公式（1）我们可以直接得到 解：

x

x

x sin 5lim

→=551=⨯ 例2 求x

x

x 3sin lim

→ 分析：观察题目我们看出，由于当x →0时有3x →0，如果我们把分母中的x 变成3x 就可以运用公式（2）来解这道题目，因此

解：

x x

x 3sin lim 0→= x x x 33

13sin lim 0

⨯→ =⨯3x

x

x 33sin lim

→ =3

例3 求x

x

x 3tan 42sin 3lim

→

分析：在解这道题时我们要先利用三角函数把tanx 转化为sinx,然后再把分子和分母都转化为公式中的形式，再利用上面给出的公式，这样就可以解决这道题目。

解：