矩阵特征值与特征向量的计算

1 diag(
b1
,
1 b2
,,
1 bn
) Adiag(b1,
b2 ,,
bn
)
与A有相同特征值.
而B的第i个盖氏圆为：{z :
z aii

n
aij
j1
bj } bi
，
ji
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而B的第i个盖氏圆为： {z :
z aii

n
aij
j1
bj } ，
bi
1

ji


b1 B
1 b2


a11 a21
1

an1
a12 a1n b1 a22 a2n an2 ann

b2

bn

bn
a11


a21
b1 b2


a
n1

b1 bn
a12
b2 b1
xk

max
1in
xi

x
因为
n
akj x j xk
j 1
n
( akk )xk akj x j jk

akk
| n akjx j jk xk
|
n j1
|
akj
|
| |
xj xk
| |

n
| akj |
j1
jk
jk

n
Gk Gi
i aii
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不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，
它与后n – k个圆盘严格分离，显然，A()的前k个盖氏圆
盘与后n – k个圆盘严格分离。
当 = 0时，A(0) = D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘
G1，…，Gk中，而另n – k个特征值则在区域S之外，从0
k
n
变到1时， Gi ( ) 与 Gi ( )始终分离（严格）。连续曲线始
为了更好地估计另外两个特征值可取b3最小：
取b1 = b2 = 1，b3 = 0.1即
1

P 1

0.1
则
0.9 0.01 0.012
数值计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算
一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或 部分特征值及相关的特征向量。
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1 特征值的估计
较粗估计(A) ||A||
欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。
1.1 盖氏圆
定义1-1 设A = [aij]nn，称由不等式
n
z aii aij j 1 ji
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1.3 盖氏圆与相似变换
由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩 阵化简以得到特征向量，这里也可用相似变换将盖氏圆的 半径变小，以得到更好的估计。
原理：取对角阵作相似变换阵：P = diag(b1，b2，…，bn) 其中bi > 0，i = 1，2，…，n
则
B

P 1 AP

i 1
ik 1
终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。
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注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它 们各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两 个特征值。 3) 因为例1中A为实方阵，所以若为A的特征值，则 也 是A的特征值，所以G2，G4中各有一个实特征值。
a22

an2
b2 bn

a1n
bn b1


a24
bn b2



ann


适当选取b1，b2，…，bn就有可能使B的某些盖氏圆的半 径比A的相应盖氏圆的半径小。
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1) 欲缩小Gi，可取bi最大。 2) 欲缩小除Gi外的圆，可取bi最小。
例2，估计
A
0.9 0.01
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A()的盖氏圆为：
n
n
Gi ( ) {z : z aii | aij | | aij |} Gi , (0 1)
j1
j1
ji
ji
因为A(0) = D的n个特征值a11，a22，…，ann，恰为A的盖
氏圆圆心，当由0增大到1时，i()画出一条以i(0) = aii为 始点，i(1) = i为终点的连续曲线，且始终不会越过Gi；
G4
G1
G2
G3
注：定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明
每个圆盘内都有一个特征值。
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1.2 盖氏圆的连通部分
称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含 A的k个特征值。
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定理1-2 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k个特征值。 证明: 令D = diag(a11，a22，…，ann)，M = A – D，记
a11
0 a12 a1n
A( )

D
M


a22




a21
0

a2n
(0


1)

ann an1 an2 0
则显然有A(1) = A，A(0) = D，
易知A()的特征多项式的系数是的多项式， 从而A()的特征值1()，2()，…，n()为的连续函数。
i 1
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1 0.1 0.2 0.3
例1 估计方阵特征值的范围 A 0.5 3 0.1 0.2
1 0.3 1 0.5 0.2 0.3 0.1 4
解：
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
所确定的复区域为A的第i个盖氏圆，记为Gi：
n
Gi {z : z aii aij }
i = 1，2，…，n。
j1
ji
n
定理3.1-1 若为A的特征值，则 Gi
i 1
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n
定理1-1 若为A的特征值，则 Gi
i 1
证明：设Ax = x (x 0)，若k使得
0.01 0.8
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0.12 0.13
的特征值范围。
0.01 0.02 0.4
解：A的三个盖氏圆分别为：
G1 = {z：| z – 0.9| 0.13}； G2 = {z：| z – 0.8| 0.14}； G3 = {z：| z – 0.4| 0.03}
3 G3，较好。
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