数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法

第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。