求函数的平均变化率

Δy y1－y0 【提示】 对山坡 AB 来说， ＝ 可近似地刻画． Δx x1－x0
Δy 4．能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ Δx
Δy 【提示】 因 表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 Δx 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说， Δy 竖直位移与水平位移之比 越大，山坡越陡，反之，山坡 Δx 越缓．
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课 堂 互 动 探 究
1．1 导
数
1．1.1 函数的平均变化率
• ●三维目标 • 1．知识与技能 • (1)理解并掌握平均变化率的概念； • (2)会求函数在指定区间上的平均变化率； • (3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
(2)①∵Δy＝ f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1) ＝3· Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3. ②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1) ＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4· Δx＋2· (Δ源自文库)2， Δy 4·Δx＋2· （Δx）2 ∴ ＝ ＝4＋2· Δx， Δx Δx 即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.
用定义法求平均变化率的基本步骤是： (1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 Δy 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出 . Δx
• 已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]， [1，1＋Δ x]的平均变化率．
图 1－1－1
• 1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数 值y的改变量分别是多少？ • 【提示】 自变量x的改变量为x1－x0，记作Δ x，函数值的改变量为 y1－y0，记作Δ y.
• 2．Δ y的大小能否判断山坡陡峭程度？ • 【提示】 不能． • 3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
【解】
函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）－f（1） 32＋3－（12＋1） ＝ ＝5； 2 3－1 f（2）－f（1） 函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为 ＝ 2－1 22＋2－（12＋1） ＝4； 1
f（1.5）－f（1） 函数 f(x)在区间[1， 1.5]的平均变化率为 ＝ 1.5－1 1.52＋1.5－（12＋1） ＝3.5. 0.5 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为 f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） ＝ （1＋Δx）－1 Δx 3Δx＋（Δx）2 ＝ ＝3＋Δx. Δx
• 2．过程与方法 • (1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概括能力； • (2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法． • 3．情感、态度与价值观 • (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别； • (2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．
• ●重点难点
• 重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变化率，得到平 均变化率的公式． • 难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释．
• 函数的平均变化率的定义 • 一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两点，记Δ x＝ x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
• 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δ x](或[x0＋Δ x，x0])的平均变化率．
求函数的平均变化率
• 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g(x)在－3 到－1之间和在1到1＋Δ x之间的平均变化率．
1 1 7 1 13 1 若Δx＝3，则 k1＝2＋3＝3，k2＝4＋3＝ 3 ，k3＝6＋3＝ 19 . 3 由于 k1<k2<k3. ∴在 x＝3 附近的平均变化率最大．
课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义.
2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)
函数的平均变化率
• 【问题导思】 • 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐 标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高 度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
• 【思路探究】 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求 解．
【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δ y＝ f(－ 1)－ f(－ 3)＝ [3×(－ 1)＋ 1]－ [3×(－ 3)＋ 1]＝ 6， Δy 6 ∴ ＝ ＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 Δx 2 3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－ 3)＝ [2×(－1)2＋1]－ [2×(－3)2＋1]＝ －16， Δy －16 ∴ ＝ ＝－8， 2 Δx 即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
平均变化率的大小比较
求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 1 取Δ x 的值为3，哪一点附近平均变化率最大？ Δy 【思路探究】 先求出平均变化率 ，再把 x0，Δ x Δx
代入比较大小即可．
【自主解答】
在 x ＝ 1 附近的平均变化率为 k1 ＝
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2－1 ＝ ＝2＋Δx； Δx Δx 在 x＝2 附近的平均变化率为 f（2＋Δx）－f（2） （2＋Δx）2－22 k2＝ ＝ ＝4＋Δx； Δx Δx 在 x＝3 附近的平均变化率为 f（3＋Δx）－f（3） （3＋Δx）2－32 k3＝ ＝ ＝6＋Δx. Δx Δx