确知和随机参量信号检测

H1 : y(t ) a0s(t ) n(t ) H 0 : y (t ) n (t )
0t T 0t T
（2－83）
这里， a0 是信号的复幅度， s(t ) 是信号的归一化复包络， n(t ) 是平稳高斯白噪声 的复包络。
E[n(t )] 0

R( ) E[n(t )n* (t )] 2 N 0 (t )
1 T 推广到 M 元的情况，显然有： P( X H i ) F exp[ [ x(t ) si (t )]2 dt ] N0 0
显然似然函数随着指数中积分项的减小而增大。因此等效的判决规则为若

T
0
[ x(t ) si (t )]2 dt 最小，则选择相应的 Hi 假设为真。即
p ( y | ) p ( )d
1 1
（2－79）

注意到
p1 ( y | ) p1 ( ) p1 ( y, ), p1 ( y, )d p1( y )

（2－80）
类似的情况也适用于 H 0 假设
p1 ( y ) p( H 0 )(c10 c00 ) l ( y) p0 ( y | ) p0 ( )d p0 ( y) p(H1)(c01 c11)

H0
p ( y | ) p ( )d
1 1
H1
（2－81）
复合假设检验在形式上就变为简单假设检验，但需要说明，所谓变为简单假 设检验， 只是门限的计算与简单假设检验相同， 而似然函数的计算多了一次积分， 变为平均似然比，这正是因为随机参量的随机性需要统计平均来表征。
在许多情况下， H 0 假设是简单的， H1 假设是复合的（如雷达的信号问题， 其中 H 0 假设表示无信号，当然也就无参量可说，只能是简单的） 若 c01, c11 与变量 无关，则判决式为：
根据公式（2－82）即可得接收机的判决公式为：
l y
2
0wk.baidu.com
P1 y 0 P1 0 d0 H1 l0 P0 y H0
（2－87）
1 l y 2
利用关系式：

2
0
P1 y 0 d0 P0 y
H1 l0 H0
（2－88）
1 1 N N /2 p0 (r) p(r / H 0 ) ( ) exp[ (rk u0k )2 ] 2 N0 B 2 N0 B k 1 1 1 N N /2 p1 (r) p(r / H1 ) ( ) exp[ (rk u1k )2 ] 2 N0 B 2 N0 B k 1
2.5.1 复合假设检验 —解决依赖于一组参数的信号的存在问题 这里仅讨论两个假设情况，但所用方法可推广到多个假设的情况。 令 (1, 2 ,...n ) 表示与假设 H 0 有关的随机参量矢量，这里可令 1 －相 位， 2 －幅度， 3 －频率，……….。 令 (1,2 ,...n ) 表示与假设 H1 有关的随机参量矢量， 这里可令1,2 ,3... 表 示信号的初相角，幅度，频率，…. 令 p0 (), p1( ) 分别表示与 ， 有关的联合先验概率。
2.4.4.2 M 元信号检测 实际工程应用中，经常遇到 M（M>2）元信号的检测问题。 假设在（ 0 ， T ）时间间隔内，接收到的信号波形 x(t ) 中包含有 M 个信号
si (t ),(i 1,2, M ) 中的一个和均值为 0、功率谱为 N0 / 2 的加性高斯白噪声。
设 M 个信号具有相同的能量，且信号彼此正交，即
[ x(t) s (t)] dt
2 0 i
T
T
0
x(t ) dt si (t ) dt 2 x(t )si (t )dt
2 2 0 0 T
T
T
由于上式中第一项和第二项的积分同选择哪个假设为真无关，所以判决规则为：
Gi x(t )si (t )dt
0
若 Gi 为最大，则选择相应的 H i 假设为真。对应的接收机如图所示
举例：在二元复合假设检验下，观测信号分别为：
H1 : y ~ N (m, n2 )
H0 : y ~ N (0, n2 )
式中 m 是未知量，其概率密度函数已知。这样假设 H 0 是简单的，假设 H1 是复合 的。试建立复合假设检验。 解：由于观测信号满足高斯分布，所以其似然函数为：
1 1/2 y2 P( y | H 0 ) p0 ( y ) ( ) exp[ 2 ] 2 2 2 1 1/2 ( y m) 2 P( y | m, H1 ) p1 ( y | ) ( ) exp[ ] 2 2 2 2

取对数的判决规则为
2 2 2 2 2 ( ) 1 m m y2 [ln l ln(1 )] 0 2 2 m 2 H0 H1
上式就可以完成对假设 H1 成立，还是假设 H 0 成立的判决了。
2.5.2 随机相位信号的检测 典型的随机相位信号如雷达接收信号， 其初始相位是由目标的距离和运动状 态等因素决定，无法预先知道。 一般假定相位为随机变量，且在 (0,2 ) 区间上均匀分布。这种分布意味着完 全缺乏相位方面的知识，是一种最不利的分布。这类检验属于复合检验。 下面仍研究双选一检测问题。设观测信号为：
令：
（2－84） （2－85）


s(t ) dt 1,
2
1 2 a0 E 2
同时规定信号的初相位 0 arg a0 是随机的，且与代价函数无关，其先验概率为：
1 ,0 0 2 p1 (0 ) 2 0, 其它
（2－86）
而信号的其它参量，如幅度 | a0 | ，频率 f0 到达时间 t 是确知的。

T
0
E, i j si (t )s j (t )dt 0, i j
因为要在 M 个确知信号中做出选择，故需要 M 个假设。即 H1 : x(t ) s1 (t ) n(t ),0 t T H : x(t ) s (t ) n(t ),0 t T 2 2 H : x(t ) s (t ) n(t ),0 t T M M 由于假定各类假设的先验概率相等，且各种错误判决的代价相等，贝叶斯准 则转化为最大似然准则。即若 P( X Hi ) 最大，则判定 Hi 假设为真。
假定未知参量 m 的概率密度函数 p(m ) 为
1 1/2 m2 p1 ( ) P(m) ( 2 ) exp[ 2 ], m 2 m 2 m
则似然比为
p ( y | ) p ( )d l ( y) l
1
1
H1
p0 ( y )

0
H0
1 1/2 ( y m) 2 1 1/2 m2 ) exp[ 2 ]dm 2 ( 2 2 ) exp[ 2 2 ]( 2 m 2 m l ( y) 1 1/2 y2 ( ) exp[ 2 ] 2 2 2 1 y2 1/2 [ ] exp[ ] 2 2 2 2 2 2 ( m ) 2( m ) y 2 m 2 1/2 ( 2 ) exp[ 2 2 ] 2 2 2 1 1/2 y m 2 ( m ) ( ) exp[ ] 2 2 2 2

{ p( H1 ) p1 ( y | ) p1 ( )[c01 ( ) c11 ( )]d
R0
（2－75）

p( H 0 ) p0 ( y | ) p0 ( )[c10 ( ) c00 ( )]d}dy

式中，影响 c 大小的是区间 R0 的选定，应用贝叶斯准则就是要定出使平均代价 最小的 R0 的范围。 假定：
积分 S1(t) X(t) S2(t) 积分 SM(t)
M 元信号的相关接收机
积分
选 择 最 大 值
判决
总之， 与二元检测问题类似总可以把似然比计算转化为相关接收机的结构形 式
2.5 随机参量信号的检测 必要性：上节假定信号在接收机处是已知的。但实际上，除了噪声干扰引起 观测信号的不确定性外，还有由于信号参量的随机性所引起的附加不确定性。 所以即使能够滤掉相加性噪声， 信号参量的随机性引起的不确定性也是依然存在。 因此在多数情况下信号在接收端，其参量发生变化，把含有随机或未知参量的信 号称为随机参量信号。 在此之前考虑的假设是简单假设，即认为信号是确知的，或是存在，或是不 存在。若信号存在，则信号的有关参量如初相角，幅度，频率等都是已知的确定 值。观测信号的随机性只是由于干扰的随机性引起的。 然而，在许多情况下信号并不确知，初相角，幅度，频率等参量一般来说也都是 不确定的即具有随机参量。这样混合信号的概率密度函数中含有未知参量。这种 在概率密度函数中含有未知参量的假设称为复合假设
p ( y | ) p ( )[c
1 1
01
( ) c11 ( )]d
（2－78）

若代价函数 cij 与变量 ， 无关，则
H1 p( H 0 )(c10 c00 ) l ( y) H0 p( H1 )(c01 c11 ) p ( y | ) p ( ) d 0 0
c c00 (i ) p( D0 , H 0 ,i ) c10 (i ) p( D1, H 0 ,i )
i ( ) i ( )
c01 (i ) p( D0 , H1,i ) c11 (i ) p( D1, H1,i )
i ( ) i ( )
c p( H 0 ) p0 ( )c10 ( )d p( H1 ) p1 ( )c01 ( )d
因为信号参量的不确定性，观测值 y 的概率不仅与假设有关，而且还依赖于 未知参量的取值，因此，这些条件概率表示为：
p1 ( y | ) 和 p0 ( y | ) 。
把表示观测信号的多维空间划分为 R0 ， R1 两部分。
与简单假设时一样，观测信号落在区域 R0 ，就选择假设 H 0 ，记作 D0 ；观测 信号落在区域 R1 ，就选择假设 H1 ，记作 D1 。考虑到信号参量是随机的，每个随 机参量都有自己的概率分布密度，于是平均代价（平均风险）可写为：

（2－77） 的 y 值划分给 R0 ，判决 H 0 成立。把不满足的 y 值划归 R1 域，判决 H1 成立。
于是上式可改写为：
H1 p( H 0 ) l ( y) H0 p0 ( y | ) p0 ( )[c10 ( ) c00 ( )]d p( H1 )
当应用贝叶斯准则进行判决时，代价函数也可以是 ， 的函数。 但 c00 , c10 （与 H 0 相关的）可以只是 的函数而与 （信号的参量）无关，
c00 (i ), c10 (i ) 。 c10 , c11 （与 H1 相关的）可以只是 的函数而与 无关。 c10 (i ), c11(i )
l ( y)
p ( y | ) p ( )d
1 1

p0 ( y )
p( H 0 )(c10 c00 ) l0 H0 p( H1 )(c01 c11 )
H1
（2－82）
与简单假设检验比，门限的计算与简单假设检验相同，对随机参量信号的似 然函数的计算多了一次积分，变为平均似然函数。
c10 ( ) c00 ( ) 0 c01 ( ) c11( ) 0
（2－76）
则由于前两项与 R0 无关，因此当 R0 选成使式（2－75）对 y 的积分项的被积函数 为负值的区域时， c 即为最小值。这样 H 0 成立。 判决域 R0 可这样来确定，所有满足
p( H1 ) p1 ( y | ) p1 ( )[c01 ( ) c11 ( )]d p( H 0 ) p0 ( y | ) p0 ( )[c10 ( ) c00 ( )]d 0