2010年全国高中数学联赛湖北省预赛(高一)试题答桉
2010年全国高中数学联赛一试试题及答案
6. 两人轮流投掷骰子否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是
84 . 119 21 7 = ，从而先投掷人的获胜概率为 36 12
解：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为
7 5 7 5 7 + ( )2 × + ( )4 × + " 12 12 12 12 12 7 1 84 . = × = 25 119 12 1− 144
2
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g ( y ) max = a 2 + 3a − 2 = 8 ⇒ a = 2 ，
所以 g ( y ) min = 2
1 + 3 × 2 −1 − 2 = − . 4 1 综上 f ( x) 在 x ∈ [ −1,1] 上的最小值为 − . 4
解二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则
OA1 = OB, OA = OB1 , A1 B ⊥ AB1 .
因为 PA = PB1 , 所以 PO ⊥ AB1 ,
从而 AB1 ⊥ 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ⊥ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ∠B1 EO 为二面角 B − A1 P − B1 的平面角. 设 AA1 = 2 ,则易求得
2
3 ≤ a ≤ 12 . 2
解：令 sin x = t ，则原函数化为 g (t ) = ( −at + a − 3)t ，即
2
g (t ) = −at 3 + (a − 3)t .
由
− at 3 + (a − 3)t ≥ −3 ， − at (t 2 − 1) − 3(t − 1) ≥ 0 ，
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
） 1．计算：sin ²10º+sin ²20º+sin ²30º+…+sin ²90º=? 5 ．2．设等差数列﹛an ﹜的前n 项和为Sn ，已知S12=21，则a3+a4+a9+a10＝____7____．3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA ﹙→﹚+PB ﹙→﹚+2PC ﹙→﹚=3AB ﹙→﹚，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程x ²+8xsin ﹙xy ﹚+16=0（x ∈R,y ∈[0,2π﹚）的实数对﹙x,y ﹚的个数为 8 ． 6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知a,b ∈R ，关于x 的方程x^4+ax^3+2x ²+bx+1=0有一个实根，求a ²+b ²的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b =时等号成立，此时21r =，a b =.结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-．解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分 （2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++. ------------------------------------------20分。
数学-高一2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一) 新人教版
2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题与参考答案（高一年级）一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
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）1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为15 ．2．已知函数46)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b 5 ．3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为16715．5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则=100S 89 ．6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 12 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．解（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22122+=x x ，解得2=x ，由题意可得2221)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ②由①、②可得1,42=-=b a c ．……………………4分又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以41=a ，从而142=-=a c ．因此函数)(x f 的解析式为141)(2++=x x x f ． ……………………8分 （2）由)2()(x f t x f <+得122411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++xx t x t x ， 整理得 0)382)(2(<+++t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾．………12分当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 2382-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-121382t t ，解得2125-<<-t ． 综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛--21,25．…………16分10．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a nn n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证：对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．解 （1）由已知，对2≥n 有 11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ，两边同除以n ，得)1(1)1(111---=+n n a n na n n ，即)111()1(111nn a n na n n ---=--+， ……………………5分 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=．……………10分 （2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ，………………15分所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k nk k .6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时，.67121<=a故对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．…………………20分11．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．解 )10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数．……………5分 下证没有其他整数x 满足要求． （1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>， 从而2222)13()3(++<<+x x P x x ．又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．…………………10分 （2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2， 则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ， 所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10.……20分。
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒ ＝ 5 ．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22a b +的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分 当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩ 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有 （1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分 所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分（2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++， 所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n >=->-++. ------------------------------------------20分。
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高一)
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。
直接将答案写在横线上。
） 1. 若非空集合{|3254}A x a x a =+≤≤-，{|531}B x x =≤≤，则能使A A B ⊆成立的所有a 的集合是{|37}a a ≤≤.2. 在四边形ABCD 中，32-=，则△ADC 与△ABC 的面积之比为13．3. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，2)1(=f ，且对任意的R x ∈都有(5)f x +()f x ≥＋5，1)()1(+≤+x f x f ．则=)2014(f 2015 ．4．在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．5．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .6．在单调递增数列}{n a 中，已知：12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．那么，100a = 2601 .7．去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第 1961 项.8. 若函数)23(log )(2+-=x ax x f a 在区间]2,1[上递增，则a 的取值范围是11(,](1,)84+∞.9．若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 已知20παβ<≤≤，且βαtan 3tan =，则βα-=u 的最大值为6π．二、解答题（本题满分60分，每小题20分。
） 11. 求函数232+-=x x x y 的值域．解 函数的定义域为2|{>x x 或}1<x ，当0=x 时0=y ．当0≠x 时，令x t 1=，记81)43(2231232222--=+-=+-=t t t x x x u . ………………5分若2>x ，则210<<t ，故)1,0(∈u ，从而可得),1(1+∞∈=uy ； ……………… 10分 若10<<x ，则1>t ，故),0(+∞∈u ，从而可得),0(1+∞∈=uy ； ………………15分 若0<x ，则0<t ，故),1(+∞∈u ，从而可得)0,1(1-∈-=uy ． 综合可知：),1(+∞-∈y ，即函数的值域为),1(+∞-． ………………20分12. 已知数列}{n a 满足：31=a ，211332,(1)*n n a a n n n n n +=+++-∈+N ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）证明：2111121<+++n a a a ． 解 （1）因为)111(23321+--++=-+n n n n a a n n ，所以 ∑∑∑-=-=-=++--+++=-+=111121111)111()233(3)(n k n k n k k k n k kk k a a a a)11()1(22)1(3)12()1(6133n n n n n n n ---+-⨯+--⨯+=nn n 13++=．…………………10分（2）因为422222211(1)(1)(1)n n n na n n n n n n n n ===+++-++-+22111()211n n n n =--+++， 所以 22111111111()[1]2112(1)12nn k k ka k k k k n n ===-=-<-+++++∑∑． …………………20分13. 已知函数12sin |cos ||sin |)(--+=x x x x f ， （1）求函数)(x f 的最值；（2）如果函数)(x f 在),0(πM 上恰有2014个零点，求M 的取值范围.解 （1）因为)()(x f x f =+π，所以)(x f 是以π为周期的函数，故只需考虑)(x f 在],0[π上的最大值.①当[0,]2x π∈时，令sin cos )4t x x x π=+=+，则[1,t ∈，2()()f x t t u t =-+=，易知()u t 在区间上单调递减，所以，)(x f 的最大值为(1)0u =，最小值为2u =.②当(,]2x ππ∈时，令sin cos )4t x x x π=-=-，则[1,t ∈，2()2()f x t t v t =+-=，易知()v t 在区间上单调递增，所以，)(x f 的最大值为v =(1)0v =.综合可知：函数)(x f 2. …………………10分 （2）因为)(x f 是以π为周期的函数，可以先研究函数)(x f 在(0,]π上的零点个数，易知()0f π=.当(0,]2x π∈时，令2()()f x u t t t ==-+＝0，解得0t =或1.)04t x π=+=在(0,]2π上无解，)14t x π=+=在(0,]2π上仅有一解2x π=.当(,)2x ππ∈时，令()f x =2()20v t t t =+-=，解得2t =-或1.)24t x π=-=-在(,)2ππ上无解，)14t x π=+=在(,)2ππ上也无解.综合可知：函数)(x f 在(0,]π上有两个零点，分别为2x π=和x π=.又因为)(x f 是以π为周期的函数，所以，若*n N ∈，则)(x f 在(0,]n π上恰有2n 个零点. 又已知函数)(x f 在(0,)M π上恰有2014个零点，所以10071007.5M <<. …………………20分。
2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】
2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）1f x1．已知函数f x满足：f12，f x1对定义域内任意x都成立．那么1fxf2016__________．2．不等式3x23x128的解集为__________．3．从五个正整数a,b,c,d,e中任取四个求和，得到的和值构成集合44,45,46,47，则a b c d e__________．π3π5π7πcos cos__________．4．求值：cos cos99995．ABC中，角A,B,C的边长分别为a,b,c，D是BC的中点，若a4，AD c b，则ABC的面积的最大值为__________．6．如果存在实数a，使得关于x的不等式acosx bcos2x1无实数解，则实数b的最大值为__________．7．已知质数p,q满足q2p1，则p q__________．5228．已知实数x,y满足：23x215y118x32y8．，x3，那么，xy__________．2y9．已知MN是边长为ABC的外接圆的一条动弦，MN4，P为ABC的边上动点，则MP PN的最大值为__________．10．设a表示不大于a的最大整数，则方程1的最大正整数解为__________．78二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC得三边长a,b,c（a b c）均为整数，且满足：（1）a,b,c构成等比数列；（2）a,b,c中至少有一个等于100．求符合要求的三元数组a,b,c的个数．12．已知二次函数f x ax bx c满足条件：2x x（1）4a b2a；（2）当x1时，f x1．证明：当x2时，f x5．413．已知定义在R上的函数f x满足：f110，且对任意实数x,y，恒有3f x f y f x y f x y，若数列an满足an3f n f n1，n N*．（1）求数列an的通项公式；（2）令bn24an3an82，n N，Sn是数列bn的前n项和，求证：Sn1．*。
2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高一)
2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题一、填空题（每小题9分，共90分）1、设集合A={1，3，5，7，9}，B ={2，4，6，18}，若C ={a +b | a ∈A ，b ∈B}，则集合C 的所有元素之和为＿＿＿＿ .2、已知数列{a n }满足：a 0 =0， a 1=1，且a 2n =a n ，a 2n +1= a n +1（n ∈N *）,则 a 2013＿＿＿＿.3、设函数f (x)= 2x ，x ≤0 log 2x ，x >0 ，则方程f(x)=12 的解集为＿＿＿＿.4、函数y=1sin x +1cos x+1tan x+1cot x的最小值为＿＿＿＿.5、设0<x<y<π2，则P=cos 2x -cos 2y -4cos x +4cos y 的取值范围是＿＿＿＿.6、设F 为椭圆C :x4+y3=1的右焦点，过椭圆C 外的一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若PFM =900，则点P 的轨迹方程为＿＿＿＿.7、从集合A={1，2，3，...，30}中取出5个不同的数，使这5个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为＿＿＿＿.8、四面体P —ABC 的体积为1，G 和K 分别是∆ABC 和∆PBC 的重心，过G 作直线分别交，AB 、AC 于点M 、N ，那么四棱锥K-MNCB 的体积的最大值为＿＿＿＿.9、已知互不相等的三个实数a 、b 、c 成等比数列，且log c a 、log b c 、log a b 构成公差为d 的等差数列，则d =＿＿＿＿.10、已知a ，b ，c ，d ∈ −1,+∞），且a+b+c+d =0，则ab+bc+cd 的最大值为＿＿＿＿.二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11、求函数y=x 2+x 2−1的值域.12、已知数列 a n , b n 满足： a 1=1，b 1=3，a n +1=2+27a n 9a n2+4b n2，b n +1=27bn 9a n2+4bn2，n ∈N ∗. （1）证明：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1（2）求数列 a n 的通项公式.13、设P(x 0，y 0)为椭圆x 24+y 2=1内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆交于A 、C 和B 、D ，若AB//CD . (1)证明：直线AB 的斜率为定值；（2）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF .解 答1. 1782. 93. −1， 22， ， 4. 2（ +1） 5. （-2，0） 6. x=47. 196 8. 5279. 3210. 5411.易求得函数的定义域为 x x ≥1或x ≤1 .(1)易知函数y=x 2+2−1是 1，+∞ 上的增函数，所以，当x ≥1时，可得y ≥1. (2)当x ≤−1时，y=x (x +2−1)=x 2−1)(x− x 2−1)x− x 2−1)=x− x 2−1=1−2x=1+ 1−12.因为x ≤−1，所以0≤1−1x 2<1，1≤1+ 1−1x 2<2，所以12<1+ 1−12≤1.即12<y ≤1.综上可知：y >12，故函数y=x 2+2−1的值域为（12，+∞）.12.(1)用数学归纳法证明. ①当n =1时，a 1=1，b 1=3,显然有(a 1−1)24+b 129=1；②假设当n=k 时结果成立，即(a k −1)24+b k 29=1成立，则9a k 2+4b k 2=9(2a k +3),那么b k +1=3b k 2a k +3, a k +1-1=1+27b k9(2a k +3)=5a k +32a k +3，所以a k +1−1 24+b k +129=（5a k +3）24（2a k +3）2+b k 2（2a k +3）2=（5a k +3）2+4b k24（2a k +3）2=（5a k +3）2+9(2a k +3−a k 2)4（2a k +3）2=16a k 2+48a k +364（2a k +3）2=1，所以，当n=k+1时结论也成立.综合①、②可知：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1(2)由（1）知9a n 2+4b n 2=9（2a n +3），所以a n +1=2+27b n9(2an+3)=7a n +62a n+3.易得a n+1-3=a n−32a n+3，a n+1+1=9（a n+1）2a n+3，所以a n+1−3a n+1+1=19⋅a n−3a n+1.又a1=1,递推可求得a n−3a n+1=-19，所以a n=3⋅9n−1−19+1.13.(1)设A（x1，y1）B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），AP=λPC,则x0—x1=λ（x3—x0），y0—y1=λ（y3—y0），所以x3=1+λx0−x1λ，y3=1+λy0−y1λ.因为点C在椭圆上，所以x324+y32=1，即1+λx0−x124λ+1+λy0−y12λ= 1,整理得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）+(x124+y12) =λ2.又点A在椭圆上，所以x124+y12= 1，从而可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）=λ2—1. ①又因为AB//CD，故有BP=λPD，同理可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x2+4y0y2）=λ2—1. ②②—①，得x0（x1—x2）+4y0（y1—y2）= 0.因为x0≠0，,y0≠0,易知AB不与坐标轴平行，所以直线AB的斜率k=y1—y2x1—x2 = -x04y0，为定值.（2）直线EF的方程为y = - x04y0(x—x0)+y0，代入椭圆方程得x02+4y02 16y02⋅x2—x0（x02+4y02）8y02⋅x+x0416y02+x022+y02—1 = 0，所以x E+x F=——x0（x02+4y02）8y02x02+4y0216y02= 2x0，因此点P是EF的中点，即点P平分线段EF.。
2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编
函数值域与最值1、 (2010年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (2010年安徽省预赛试题)函数242)(xx x x f --=的值域是3、 (2010年山西省预赛试题)若],0[π∈x ，函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 4、 (2010年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (2010年全国联赛一试试题)函数xx x f 3245)(---=的值域是6、(2010年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式kx x ≥-+2有实数解，则实数k 的取值范围是7、(2010年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足：对R x ∈∀，都有xxx f x f 42)1()1(2-=-++，则)(x f 的最小值是8、(2010年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=xxx k k xx f 的最小值是0，则非零实数k 的值是9、(2010年全国联赛一试试题)已知函数xx a y sin )3cos(2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是10、(2010年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a aax f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 11、(2010年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=，试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(2010年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ，若12)(2+-=x axx f 在]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=函数性质与导数的应用1、(2010年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x fy，且4007)1(=f ，则=)1998(f2、(2010年山西省预赛试题) 函数2)(2-=axx f ，若2))2((-=f f ，则=a3、(2010年辽宁省预赛试题)不等式xx 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(2010年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ，),(),(**N n m N n m f ∈∈，且对任意*,Nn m ∈都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+，则)2008,2010(f 的值为5、(2010年山东省预赛试题)若函数xe ex xf -=ln)(，则=∑=)2011(20101k ke f6、(2010年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x xx x f 的图像的对称中心为7、(2010年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x axx f ，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使41|)()(|21≥-x f x f 成立，则a 的最小值为8、(2010年福建省预赛试题)函数)(cossin)(*22N k x x x f kk∈+=的最小值为9、(2010年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ，记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2010x f10、(2010年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x xax恒成立，则实数a 的取值范围为11、(2010年甘肃省预赛试题)设0>a ，函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则=a 12、(2010年甘肃省预赛试题)函数RR f →:对于一切Rz y x ∈,,满足不等式13、(2010年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是严格单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为14、(2010年贵州省预赛试题)已知函数2232)(aax xx f --=，且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根，则实数=a 15、(2010年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与xey =的图像关于直线1=+y x 对称16、(2010年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x xk x f --+-=，如果对任何]1,0[∈x ，都有)(≥x f ，则k 的最小值为17、(2010年湖南省预赛试题)设函数xx x x f 2cos )24(sinsin 4)(2++⋅=π，若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ，则实数m 的取值范围是18、(2010年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(xxx f +=，若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=，则=+n m19、(2010年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mxx f（1）若曲线)(:x f y C=在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值；（2）求证：函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ，并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.文)含详解
绝密*启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学本试题卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
*祝考试顺利*注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A （或B ）后的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合M={1,2,4,8},N={x|x 是2的倍数}，则M ∩N=A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8}2.函数f(x)=sin(),24x x R π-∈的最小正周期为 A. 2π B.x C.2π D.4π 3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4B. 14C.-4 D-144.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A. ①②B. ②③C. ①④D.③④。
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高一年级)
课外 园地・
数学通讯 一 ２１ 年第 ７期 （ ０１ 下半月 ）
５ ９
２１ 年全国高中数学联赛湖北省预赛试题 （ ０１ 高一年级）
一
、
填空题
（ 本题满分 ６ ４分 ， 每小题 ８分． 直
（） １ ； １ ａ ＜ａ ＋ ＜１
（ ）口 ＞ ２ １一 １
．
接将答案写在横线上） １ ．计 算 ： ｉ １。 ｓ ２０ ＋ ｓ ２０ ＋ … ＋ ｓ ２０ ＋ ｉ ２ 。 ￣ ３。 ｎ ｎ ｎ
ｓｎ ９ 。 ｉ２ ０ ＝
— —
．
２ 设 等差 数列 ｛ ｝ ． ａ 的前 项 和 为 Ｓ ， 已知 Ｓ２ １
一
参
、
考
答
案
＝２ ，０ ３ ４ ９ ｌ＝— — ． １贝 口 ＋ａ 十口 ＋ａｏ
填 空题 ：
２ ．７． ３． ２ ４． ． ５ ．８ ．
３ 已 Ｐ是ＡＡ Ｃ所在平面上一点， ． 知 Ｂ 满足＞ － ａ ＋ ＋ ＝ ， 商 ２ ３ 则△Ａ Ｐ￣ＡＡ Ｃ的面积之 Ｂ Ｂ
（ ＥＮ ． 明： ， ）证 ｚ 对一切 ＥＮ 有 ，
一 筹１ 。十 ４ ｒｒ＋ ４’ 叶
＝
２
＋
数学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ７期 （ 下半月 ）
・ 课外园地 ・
≥￣ ４１４ ４８ ２ ｒ ｒ ＋＝． ／＋ ２
当且仅当！ ＝ ＝ ！
此 时 ｒ ＝１ 口＝ｂ 。 ．
的数组 （ ， ） 盘 ｂ 为— — ． ７ 设集合 Ａ＝｛ ， ， ， ， ，， ， ， ， ｝如果 ． ０ １ ２ ３ ４ ５６ ７８ ９ ．
，
故ｂ ． ＝１
又因为二次 函数ｆ ｘ ＝Ｘ ＋ｂ （ ） ｚ＋ｃ的图象过
_求解最值(取值范围)问题的几种视角
3 时以上等号同时取到） 所以 当 且 仅 当 x1 = x2 = x3 = x4 = 3 时， （ x1 x2 x3 x4 ） min = 3 4 = 81 ． 三、 配方视角 例 10 最小值．
第 11 题) 已知二次函数 y = ax + bx + c ≥ 0 ( a ＜ b) 对任意的 x ∈ R 恒成立， 则M = 为 ． b2 － 4 ac ≤ 0 ． 解：可得 0 ＜ a ＜ b， 设 M b = t（ t ＞ 1 ） ， 得 a = a + 2b + 4c b －a = a2 + 2 ab + 4 ac a（ b － a） ≥ a + 2b + 4c 的最小值 b －a
1 1 + 的最小值． 2b + 1 2c + 1 解：可设 a = S = x y z ， b = ， c = （ x， y， z ∈ R+ ）， 得 y z x
+ （ y2 － 3 y + 3 ） = （ x +
3 y －3 2 ） + （ y － 1） 2 ≥ 0． 2 4
y z x + + ． 2x + y 2y + z 2z + x y + 2x + y
b2 － 4 ac ≤ 0 ， 解法 1 ：可得 0 ＜ a ＜ b， 所以 c ≥ b a
设
t2 a + at + a a +b +c 4 = t（ t ＞ 1 ） ，得 = ≥ b －a at － a
2010年全国高中数学联赛试题及答案_百度文库
11111k nnkiiiikAAaankn
11111nk iiikiaankn
1 1111max, n kiiikiaankn
条，02 ni，标有b的边有2j
条，202nij ．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22j niC种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jniC种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
9 2. （40分）设k是给定的正整数
，1 2 rk ．记(1)()()frfrrr， ()()lfr(1)(()),2lffrl．证明：存在正整数m，使得()()mfr为一个整数．这里，x表示不 小于实数x
AQAP QNPM ． ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
EQ P O N M KD C B A
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
10 1NBDEAQ BDEAQN ， ②
2222220 04nniijnniijCC ． ① 这里我们约定0 01C． 当n为奇数时，20ni，此时
为偶数时，若2ni ，则②
式仍然成立；若2 n i，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛2010年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。
试题以《高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）》为依据，所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准》中所规定的教学内容和要求，在数学思想方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。
湖北省预赛按高一、高二年级分开命题，试题包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分，考试时间为120分钟。
湖北省预赛于2010年5月16日（星期日）上午8：00至10：00举行，约5万名学生参加，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，从中选出约9000人参加全国高中数学联赛。
试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S ．2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为 ．3．设100<n ，则使得nb a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．5．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．6．设椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(xf t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围． 10．（20分）设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．11．（20分）已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．（1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．解 答1．89 提示：由已知可得k k a a =+9．89)(11192110099100=++++=+=a a a a a S S ．2．16715 提示：由余弦定理可得b c b =-+22228 ① 又BC AB CK AK =，则 211cb =- ② 由①②，3,25==c b ．又由81cos =C 可得873sin =C ， 故△ABC 的面积16715sin 21==C ab S ． 3．98 提示：设nb a )(+的展开式中有连续三项的系数分别为)11(,,11-≤≤+-n k C C C k n k n k n ，由题意得 112+-+=k nk n k n C C C ．依组合数定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ．故)(2981422,1N n k k n ∈+±+=（1）．22)12(98+=+m k ，222-+=m m k ，代入（1），得2)1(21-+=m n ，222-=m n ．由1002)1(2<-+m ，98=n ．4．327 提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：1A ：3，6，9，12，15，18； 2A ：1，4，8，11，14，17；3A ：2，5，7，10，13，14，19．这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在1A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （2）在2A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （3）在3A 中任取3个数，有3537=C 种取法；（4）在321,,A A A 中各取一个数，有252766=⨯⨯种取法．因此，取法总数为：32725235220=++⨯（种）． 5．223+ 提示：因 22212z y x xy -=+≤，所以 ]1)1)][(1(2[1)1(1)1()1(2)1(222-++-+=-+=-+≥+=z z z z z z z z z xyz z S ]12)1[(31+++-=z z 2232231+=-≥．当且仅当12,12-==-=y x z 时等号成立．所以 223min +=S ．6．32- 提示：先证明下面的结论：已知△ABC 的内心为I ，则AB ＋AC －BC ＝2AI A cos2⋅． 证明：设△ABC 的内切圆与边AB 、AC 分别切于D 、E 两点，则AD ＝AE ＝12（AB ＋AC －BC ），又AD ＝2AI A cos2⋅，所以AB ＋AC －BC ＝2AI Acos 2⋅． 对于本题的△12MF F ，有12122cos MF MF F F MI θ+-=⋅．又2214x y +=中2,1,a b c ====，所以1224MF MF a +==，122FF c ==，从而32)324(21)(21cos ||2121-=-=-+=⋅F F MF MF MI θ． 7．110-≤≤-a 提示：记1)(23++-=x x ax x f ，已知条件即0)(≥x f 对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,2x 恒成立．（1）当0=x 时，对一切实数a ，01)(>=x f ．（2）当]21,0(∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321x x x a --≥．设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当]21,0(∈x 时，0)(>'x g ，所以函数)(x g 在区间]21,0(上单调递增，从而10)21()]([max -==g x g ．因此10-≥a ．（3）当]0,2(-∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321xx x a --≤． 设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当)0,1(-∈x 时0)(>'x g ；当1-=x 时0)(='x g ；当)1,2(--∈x 时．所以函数)(x g 在区间)1,2(--上单调递减，在区间)0,1(-上单调递增，从而1)1()]([min -=-=g x g ．因此1-≤a ．综合可知：110-≤≤-a ．8．26 提示：设所有放置中的最大数为A ，则200583≤⨯+A ，所以.26≤A 事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足．9．（1）由已知，对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n 并整理，得)111()1(111nn a n na n n ---=--+， 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． （2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ，所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时，.67121<=a ．故对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．10．)10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数．下证没有其它整数x 满足要求．（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>， 从而2222)13()3(++<<+x x P x x ． 又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2， 则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ， 所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数． 综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10.11．（1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，θα22222222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ+4，则四边形MANB 面积θθθθπ2222cos cos sin ||2)4sin(||||21c a ab OA MN AB S MANB -+⋅⋅=+⋅=．而5,11,16222===c b a ，A 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛9334,9334，且9664||=OA ， 从而，αααθθθ22cos 516cos sin 933352cos 516cos sin 933352--⋅=-+⋅=MANB S ， 其中59334334arctan0+≤<α或πα<≤+59334334arctan．（2）记αααα2cos 516cos sin )(--=f ，而)(αf 只可能在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan 时才可能取到最大值．对)(αf 求导数得到：222)cos 516()sin cos 10)(cos (sin )cos 516)(sin (cos )(ααααααααα----+='f ． 令0)(='αf ，则有0)tan 10)(1(tan )11tan 16)(tan 1(2=--++αααα． 化简得到 011tan 21tan 6tan 1623=+++ααα． 所以 0)11tan tan 8)(1tan 2(2=+-+ααα．而 011tan tan 82=+-αα无实根，则21tan -=α． 经检验21tan -=α，符合⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan ． 故所求直线l 的方程为：2521+-=x y ．。
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()f x =的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++L . 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a L 满足1k a ≤,1,2,,k n =L ,记12,1,2,,.k k a a a A k n k+++==L L 求证：1112n n k k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A L 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
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2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。
请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）
1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈=
=)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 ． 2．已知函数4
6)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b 5 ． 3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 3 ．
4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为167
15．
5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则=100S 89 ．
6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π
=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．
7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 12 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于
58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的图象经过点)0,2(-，且不等式
22
1)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围． 解（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22122+=x x ，解得2=x ，由题意可得222
1)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ②
由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分 又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以41=
a ，从而142=-=a c ． 因此函数)(x f 的解析式为 14
1)(2++=x x x f ． ……………………8分 （2）由)2()(x f t x f <+得12
2411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x x t x t x ， 整理得 0)382)(2(<++
+t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3
822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩
⎪⎨⎧>+--<-138212
t t ，此不等式组无解． 当3
822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾． ……………………12分 当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 23
82-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-1
21382t t ，解得2125-<<-t ． 综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--
21,25． ……………………16分
10．已知数列}{n a 中，4
1,121==a a ，且
),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n
n n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求证：对一切*N n ∈，有67
1
2
<∑=n
k k a ．
解 （1）由已知，对2≥n 有 1
1)1()1(11---=--=+n a n n
a n a n a n n n n ，
两边同除以n ，得 )1(
1
)1(111---=+n n a n na n n ，
即 )111()1(1
1
1n
n a n na n n ---=--+， ……………………5分 于是，)1
11(111)1(111
21
21---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---
=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ，
即 2),1
1
1(1)1(12≥---=--n n a a n n ，
所以 123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231
≥-=n
n a n ．
又1=n 时也成立，故*,231
N n n a n ∈-=． ……………………10分
（2）当2≥k ，有
)131431(31)13)(43(1)23(1
22---=--<-=k k k k k a k ，………………15分 所以2≥n 时，有
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---++-+-+
<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n
k k n k k
.67
61
113121
311=+<⎪⎭⎫
⎝⎛
--+=n
又1=n 时，.67
12
1<=a
故对一切*N n ∈，有67
1
2<∑=n
k k a ． ……………………20分
11．设3131162
34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值． 解 )10(3)13(22--++=x x x P ．
所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x 满足要求．
（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，
又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>，
从而2222)13()3(++<<+x x P x x ．
又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数． ……………………10分
（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2，
则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，
所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ，
即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．
解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．
综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分。