高考数学一轮复习 4-5课时作业

课时作业(十九)
一、选择题 1.lim
n →∞ (4n 2
－n ＋7n 2－n ＋…＋3n ＋1
n 2－n
)等于( ) A.3
2 B.12 C ．
3 D ．1
答案 A
解析 原式＝lim n →∞
n
n
＋
2
n 2－n
＝lim
n →∞ 3n ＋5n －＝3
2
，故选A. 2．(2011·济宁)求lim n →∞{n [(1＋1n
)3
－1]}＝( )
A ．3
B ．0 C.13 D ．7
答案 A
解析 原式＝lim n →∞ 3n 2
＋3n ＋1
n
2
＝3，故选A. 3．(2011·黄冈)若数列{a n }满足：a 1＝1
3，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，则lim n →∞ (a 1＋a 2＋…＋a n )＝( )
A.12
B.2
3 C.32 D ．2
答案 A
解析 在a m ＋n ＝a m ·a n 中，令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ＝13a n ，所以{a n }是首项为13，公比为1
3的
等比数列．
lim n →＋∞ (a 1＋a 2＋…＋a n )＝a 1
1－q
＝13
1－13
＝1
2，故选A. 4．把1＋(1＋x )＋(1＋x )2
＋…＋(1＋x )n
展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则
lim n →∞
2a n －1
a n ＋1
等于( )
A.14
B.12 C ．1 D ．2
答案 D
解析 令x ＝1可得多项式各项系数和
a n ＝1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1
∴lim n →∞ 2a n －1a n ＋1＝lim n →∞ (2－32
n ＋1)＝2.
5．设正数a 、b 满足lim x →2 (x 2
＋ax －b )＝4，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1
a n －1＋2
b n
＝( )
A ．0 B.14 C.12 D ．1
答案 B
解析 ∵lim
x →2 (x 2
＋ax －b )＝4，∴4＋2a －b ＝4 ∴2a ＝b ，
∴原式＝lim n →∞ a 2＋2n －1·a
1＋2n ＋1
·a ＝lim n →∞ a 22n
＋
a
2
1
2
n
＋2a
＝1
4
.故选B. 6．已知lim n →∞ (2n
2
2＋n －an )＝b ，则常数a 、b 的值分别为( )
A ．a ＝2，b ＝－4
B ．a ＝－2，b ＝4
C ．a ＝1
2，b ＝－4
D ．a ＝－12，b ＝1
4
答案 A 解析 ∵lim n →∞ －a n 2
－2an
n ＋2
＝b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ＝0，－2a
1
＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4.
7．已知数列{a n }满足：a n －a n －1＝(－a 12)·(－12
)n －2(n ∈N *
且n ≥2)，若lim n →∞a n ＝1，则a 1
等于( )
A.3
2 B ．
3 C ．4
D ．5
答案 A
解析 由a n －a n －1＝(－a 12)·(－12)n －2(n ∈N *
且n ≥2)，累加可得a n －a 1＝(－a 12)·[(－12
)
n －2
＋(－12)n －3＋…＋(－12)0]，两边取极限，得1－a 1＝(－a 12)·11＋12，解得a 1＝3
2
.
二、填空题 8.lim n →∞ ＋a n ＋1
n ＋a
＝2，则a ＝________.
答案 1
解析 lim
n →∞＝＋a n ＋1
n ＋a ＝lim n →∞ 1＋a ＋
1
n 1＋a
n
＝1＋a ＝2.∴a ＝1
9．在数列{a n }中，a n ＝4n －5
2
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则lim n →∞
a n －
b n
a n ＋
b n
的值为________． 答案 1
解析 分别取n ＝1和2得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝324a ＋2b ＝7，解得a ＝2，b ＝－12，∴lim n →∞ a n －b
n
a n ＋b
n ＝lim n →∞
2n
－－
12n
2n
＋－
12
n
＝1.
10．如图，抛物线y ＝－x 2
＋1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1，P 2，…，P n －1，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，
Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1，△Q 2P 1P 2，…，△Q n －1P n －2P n －1.当n
→∞时，这些三
角形的面积之和的极限为________．
答案 1
3
解析 这n －1个三角形面积之和为
f (n －1)＝S 1＋S 2＋…＋S n －1
＝12×1n ×[(1－1n )＋(1－22
n )＋…＋(1－n －2
n )]
＝12n [(n －1)－12
＋22
＋…＋n －
2
n 2]
＝4n 2
－3n －112n
2
， ∴lim n →∞f (n －1)＝lim n →∞ 4n 2
－3n －112n 2
＝1
3
. 11．已知无穷数列{a n }前n 项和S n ＝1
3a n －1，则数列{a n }的各项和S 为__________．
答案 －1 解析 依题意，
S n ＝13a n －1，n ＝1时，a 1＝13a 1－1，a 1＝－32，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13
a n －1，则a n ＝
－1
2a n －1，所以{a n }是无穷递缩等比数列，则S ＝－321＋1
2
＝－1. 三、解答题 12．已知u n ＝a n
＋a
n －1
b ＋a n －2b 2＋…＋ab n －1＋b n (n ∈N *，a ＞0，b ＞0)．
(1)当a ＝b 时，求数列{u n }的前n 项和S n ； (2)求lim n →∞
u n
u n －1
. 解析 (1)当a ＝b 时，u n ＝(n ＋1)a n
， 这时数列{u n }的前n 项和
S n ＝2a ＋3a 2＋4a 3＋…＋na n －1＋(n ＋1)a n ①
①式两边同乘以a ，得
aS n ＝2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＋(n ＋1)a n ＋1②
①式减去②式，得
(1－a )S n ＝2a ＋a 2
＋a 3
＋…＋a n －(n ＋1)a n ＋1
当a ≠1时，(1－a )S n ＝
a
－a n
1－a
－(n ＋1)a n ＋1
＋a ，
S n ＝
a －a n －a
2
＋
a －n ＋
a n ＋1
1－a
＝
n ＋
a n ＋2－n ＋
a n ＋1－a 2＋2a
－a
2
当a ＝1时，S n ＝2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝
n n ＋3
2
(2)由(1)，当a ＝b 时，u n ＝(n ＋1)a n
，则
lim n →∞ u n u n －1＝lim n →∞ n ＋a n na n －1＝lim n →∞ a n ＋n
＝a
当a ≠b 时，
u n ＝a n ＋a n －1b ＋…ab n －1＋b n
＝a n
[1＋b
a ＋(
b a
)2
＋…＋(b a
)n
]
＝a
n 1－b a
n ＋1
1－
b a
＝
1a －b
(a n ＋1－b n ＋1
) 此时，u n u n －1＝a n ＋1－b n ＋1
a n －
b n
若a ＞b ＞0，则lim n →∞ u n u n －1＝lim n →∞ a n ＋1
－b
n ＋1
a n －
b n ＝lim n →∞ a －b
b
a n
1－
b
a
n
＝a
若b ＞a ＞0，则
lim n →∞ u n
u n －1＝lim n →∞
a
a b
n
－b a b
n
－1＝b .。