最小二乘法线性拟合

最小二乘法线性拟合
函数masdap_meas_lsq_fit_data 的功能就是对采集到的三组样本传感器位置数据进行最小二乘法线性拟合。

其计算公式如下：
设采集到一组N 个(,)i i x y 样本数据，对这组数据做y ax b =+线性拟合，求出拟合(,)a b 值。

由每个样本数据做误差求和计算：2
[()]i
i err y
ax b =
-+∑，err 值由(,)a b 值
确定，因此，误差和分别做偏微分计算，当每个偏微分值为0时，误差和最小。

故有：
()()2
2
2[()]
20
[()]
20
i i i i i i i i i i y ax b err x y a x b x a a
y ax b err y a x N b b
b
∂-+∂==---=∂∂∂-+∂=
=---=∂∂∑∑∑∑∑∑∑
进而解出
()()
22222i i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
N x y x y
a N x x y x x x y
b N x x -
=
--=
-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
函数masdap_meas_lsq_fit_data 最后返回(,)a b 值。

基于最小二乘法作圆回归拟合
在一维短触故障拟合计算中，需要对一组数据点作圆拟合，在此介绍基于最小二乘法的圆回归算法。

已知条件：平面上一组点坐标；
求解目标：回归圆的半径R 和圆心坐标(),c c x y 。

由圆曲线公式的两种形式：
()()2
2
2
2
2
i c i c i i i i x x y x R
x y ax by c ⎧-+-=⎪⎨++++=⎪⎩
，即知：22c c
a x
b y R ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=
⎪⎩
根据最小二乘法，
()()()222
22
222
22
222
22
[]2[]0[]2[]0[]2[]0i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x y ax by c err x x y ax by c a
a x y ax by c err y x y ax by c b
b x y ax by
c err x y ax by c c
c ⎧∂++++∂==-++++=⎪
∂∂⎪⎪∂++++∂⎪==-++++=⎨
∂∂⎪⎪∂++++∂==-++++=⎪
∂∂⎪⎩∑∑∑∑∑∑ 由此可以推出，
322232
220
0i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x y a x b x y c x x y y a x y b y c y x y a x b y cn ⎧++++=⎪⇒++++=⎨⎪++++=⎩
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
()()()23222322
i i i i i i i i i i i i i i i i i i a x b x y c x x x y a x y b y c y x y y a x b y cn x y ⎧++=-+⎪⎪⇒++=-+⎨⎪++=-+⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ()()()322223
22i i i i
i i
i i i
i i i i i i
i i i x x y x x y x a x y y y b x y y x y
n c x y ⎛⎫
-+⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪⇒=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭-+⎝⎭
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ()()()321
2223
22i i i i
i i
i i i
i i
i i i
i i
i i x x y a x
x y x b x y y y
x y y c x y
n
x y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⇒=-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-+⎝⎭
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
最后通过上式求得(),,a b c ，进而计算得到回归圆的半径R 和圆心坐标
(),c c x y 。