直线共轭内啮合齿轮泵的啮合特性分析

( 4)
1 4 内齿轮的齿廓曲线方程
内 齿轮 2的齿 廓是 齿轮 1 的 直 线齿 廓 的共 轭 曲
线 , 即为点 M 在 动 坐标 系 S2 中 的轨 迹。 将式 ( 2 ) 进 行坐标 变 换, 就 可 得 到 齿 轮 2的 齿 廓 曲 线方 程 。
即
rM 2 = r2
e + il e - i 2
= 1ex
-
arcs in
ah r22 - a2
( 11 )
时函数 f ( 1 ) 存在极大值。即当 1 = 1ex 时, 齿轮 2
上啮合点的半径 rM 2 达到最 大值, 超过 了这一 点的齿
廓啮合半径将减小, 实际上已无法形成实际齿廓。因
此, 齿轮 2齿根啮合极限半径为
rM 2ex = r2
1+
1 齿廓曲线方程和啮合线 1 1 坐标系的建立
如图 1所示为齿轮啮 合原理图, r1、 r2 为两 齿轮 的节圆半 径; a 为 中心 距。以 直线 齿 轮 1 的 中心 O1 为原点建立固定坐标系 S f ( O1 xfyf ), 其横 轴通过 节点 P; 以 O 1 为原点、以 齿 轮 1 上轮 齿的 对 称中 心线 为 横坐标建立动坐 标系 S1 ( O1 x1y1 ) , 并与 齿轮 1 固联; 以内齿轮 2的转动中 心 O2 为原点, 以其齿 槽中 心线 为横坐标轴建立 动坐标 系 S 2 ( O2x2 y2 ), 并 与其 固联。
K eyword s: Stra ight con jugated g ea r; Extrem e rad ius; O ve rlapping of m ating pro files
直线共轭齿廓内啮合齿轮泵是一种多齿差啮合传
动, 小齿轮 (外 齿轮 ) 的 齿廓 为直 线, 大 齿轮 ( 内 齿轮 ) 的齿廓为直 线齿廓的 共轭曲 线。其结构 简单、 紧凑, 工作平稳, 噪声低, 寿命长, 适用于高压、要 求流量脉动小的场合, 是目前较先进的一种齿轮泵。
( 9)
2 2 直线共轭齿廓的极限齿根圆半径
理论上, 与直线共轭的内齿轮的齿廓曲线上的啮
合点的半径由式 ( 7 ) 求得, 此半径随啮合相 位角 1 而变化, 令
f ( 1 ) = [ h + a s in( - 1 ) ] 2 + r22 cos2 ( - 1 )
( 10 )
对式 ( 10 ) 求极值, 则当
4 结论 ( 1) 直线 共轭 齿廓 内啮 合传 动 中, 当啮 合 点不
超过啮合极限半径时, 才存在共轭齿廓。 ( 2 ) 根据 啮合 定律 所得到 的 啮合 界限 点 [ 2] 并不
构成对齿轮齿顶圆的限制条件, 啮合界限点前的一段 区间的共轭齿廓也不存在。
( 3) 直线 共轭 齿廓 传动存 在着 齿廓 重迭 干 涉现 象, 设计参数的选择 必须要 满足 齿廓重 迭干涉 条件。 合理地选择设计参数可以避免产生齿廓重迭干涉。
C11, 其齿顶位于点 M , 这时小齿轮转过的角度为 !1。 同时, 内齿 轮 2 应转 过 !2 = i12 !1, 其齿 廓 C2 到 达
C21, 而齿顶 位于 A 点。若 要 不 产生 齿 廓 重迭 干 涉, 则应使 !AO 2P ∀ !MO 2P, 即
!2 + ∀∀ #2
( 15)
由图 3中的几何关系, 可得
在设计直线共轭齿廓内啮合传动时, 必须检验齿
廓重迭干涉条件, 以避免产生齿廓重迭干涉。经计算 和作图表明, 增大齿形半角 、减小 齿顶圆半 径可以 避免齿廓重迭 干涉, 但 同时会 使重 合度减 小。另外, 齿数差小时, 愈易产生齿廓重迭干涉。目前直线共轭 齿廓内啮合传动所选择的 齿数差大于 等于 3, 主要原 因是受齿廓重迭干涉条件的限制。
R esearch on M esh Characteristic of Straigh t C on jugated In ternal G ear Pum p
XU Xuezhong, ZHANG K a,i TAN H anm o ( Departm ent o fM echan ical Eng ineering, Changshu Institute of T echno logy, Changshu Jiangsu 215500, China)
l = h - r1 sin( - 1 )
( 3)
式中: h 为齿廓直线距中心 O1 的距离。
式 ( 2) 为啮合点 M 在动坐标系中运动轨迹的矢
量方程式, 即啮合线方程。
1 3 直线齿廓方程
将式 ( 2) 进行坐标变换, 可得到啮 合点在 动坐
标系 S1 中的曲线方程。即
rM 1 = r1 e- i 1 + l ei( /2- )
0512- 52700897,
第 7期
徐学忠 等: 直线 共轭内啮合齿轮泵的啮合特性分析
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线齿廓的垂线 PM, 则点 M 为两齿廓在该时刻 的啮合 点。啮合点 M 在固定坐 标系 S f 中的 径矢用 复数 形式 表示为
rM = r1 + l ei( 1+ 2 - )
( 2)
式中: rM 为啮合点 在坐 标系 S f 中 的径 矢; 以下计 算
过 节点 P 作 直线 齿廓 的垂 线, 其垂 足就 是啮 合
点 M。当转至某位置时, 齿廓的公法线与两节圆相切
于点 P 时, 这时的 啮合点为 啮合界 限点, 如图 2示,
直线齿廓上超过此点的齿廓不存在共轭齿廓。
在啮合界限点处, 齿轮 1的啮合相位角
= 1 l im
( 8)
则点 C 所在圆的半径
rc1 = h2 + r1 2
Abstrac t: F or the straigh t conjugated inte rnal gear pump, the too th pro file s equation and m eshing curve equation w ere estab lished w ith com plex vector. By so lv ing the extrem e rad ius o fm esh ing po int, the ex trem e m esh ing po int w as determ ined. T he ov erlap p ing prob lem of m ating pro files w as ana ly zed. T he cond ition to avo id ov erlapping of ma ting pro files was derived. It prov ides theo ry foundation fo r design of stra ight conjuga ted interna l gear pump.
过程中, 用 rM j ( j= 1, 2, f) 表示啮合点在坐标系 Sj
中的径矢; 当 j= f时省略。 为齿轮 1 的直线齿 廓半
ห้องสมุดไป่ตู้
角。 l 为公法线上 线段 PM 的 长度, 其 值由 图 1中 几
何关系确定。在图 1 中, O 1F 为直线齿廓的 垂线, 过
节点 P 作直线 O 1F 的垂线 PE, 则
图 1 啮合原理图
1 2 啮合线方程 两 齿轮作定传动比传动时, 过节点 P 做齿轮 1直
收稿日期: 2010- 03- 12 基金项目: 江苏省高教自然科学基础研究项目 ( 08K JD 460001)
作者简介: 徐学忠 ( 1962 ), 男, 博 士, 副 教授, 主 要 研究 方向 为 机械 设计 理 论、机 械 CAD。电 话: E - m a i:l xx zhong@ cslg cn。
#2 =
arccos
r2 a2
+
a2 -
r2 a1
2a ra2
#1 =
arccos
r2 a1
-
a2 -
r2 a2
2a ra1
另外, 任意啮合点 M 有下列几何关系
( 16)
cos∃1i = h /r1i 据此可计算出 ∃1a 和 ∃1 , 即
% = ∃1a - ∃1 !1 = #1 + % !2 = !1 i12 当内齿轮 2的齿顶圆啮合时,
h + a s in ( -
cos∃2i =
r2i
1)
( 20)
&2i = 2( 2 - + 1 - 2 - ∃2i )
( 21)
由上式可求出齿顶圆啮合时和节点啮合时对应的
&2r 和 &2a , 则
∀ = &2r - &2a
( 22)
将以上各式代入式 ( 16 ), 即可得到 齿廓不 产生
齿廓重迭干涉的条件。
图 2 啮合界限点
图 3 齿廓重迭干涉
50
机床与液压
第 39卷
图 3中, M 为两轮齿顶圆的交点, 在这点以后的
两轮的轮齿将完成脱离接触, 故齿廓重迭干涉现象只
能发生在 点 M 以 前。现 设在 某 一瞬 时, 两 齿 廓 C1、 C2 在节点 P 接触。 经 过一 段 时 间后, 齿 廓 C1 到 达
相应地, 齿轮 1上齿顶圆的 极限值 由式 ( 13 ) 确定。
因此, 在确定设计参数时要保证
ra1 < r1M ex
( 14 )
3 齿廓重迭干涉
在齿数差较少的内啮合齿轮传动中, 可能发生不
在啮合位置的齿廓互相重迭的现象, 这种现象称为齿
廓重迭干涉。在直线共轭内啮合传动中, 也存在这种
齿廓重迭干涉现象 [ 5- 6] , 如图 3示。
S 1、 S 2 在初 始位 置 时, x1、 x2 与定 坐标 系 S f 的 横坐
标轴 xf 重合。当某 时刻齿 轮 1 转过 1 时, 齿 轮 2 相 应地转过 2, 它们之间的关系由传动比确定:
i12 =
r2 r1
=
1=
2
z2 z1
( 1)
式中: 1、 2 分别为齿轮 1、 2 的转动相位角; z1、 z2 分别为齿轮 1、 2的齿数。
摘要: 用复数矢量法建立 直线共轭齿廓的曲线方程和啮合线方程。通过求 齿廓啮合点 半径方程的 极值, 确定了 齿廓的 极限啮合点。分析齿廓重迭干 涉现象, 推导出齿廓重迭干涉条件, 为直线共轭齿轮的设计参数选择提供理论依据。
关键词: 直线共轭齿轮; 极限半径 ; 齿廓重 迭 中图分类号: TH325 文献标识码: A 文章编号: 1001- 3881 ( 2011) 7- 048- 3
( 17)
( 18) ( 19) 啮合点为该对齿廓
的啮合起始点, 其啮合相位角 1s 可由式 ( 7) 求得。 同样, 节点 啮 合 时 所对 应 的 啮合 相 位 角 1 r 可 由 式 ( 6 ) 或 ( 7) 求出。
x2 轴 为直 线 共 轭内 齿 圈 上齿 槽 的 对 称中 心 线, 对任一啮合点 M , 有下列几何关系
国内现有文献主要研究了直线共轭齿廓方程、啮 合线、重合度的计算和加工刀具设计方法, 但对直线 共轭齿轮的基本参数的选择尚无理论依据。
作者根据复数矢量法建立了齿廓曲线方程和啮合 线方程。分析了齿廓曲线的变化规律, 首次得到了直 线齿轮齿顶圆半径的极限值; 讨论了直线共轭齿轮传 动的齿廓重迭干涉现象, 推导出了不产生齿廓重迭干 涉的条件。所得结论对直线共轭齿轮的设计参数选择 和结构设计具有重要的指导意义。
r22
h2 - a2
( 12 )
齿轮 1上相应的啮合点半径由式 ( 6) 求得, 为
rM 1ex =
h2 + r21
1-
a2 h2 ( r22 - a2 ) 2
( 13 )
由式 ( 11 ) 求 得的 极限 啮 合相 位角 显然 要 小于
式 ( 8) 确定的啮合界 限点的相 位角。因此, 每一对
齿廓结束啮合的相位角 的极限值 应由式 ( 11) 确定。
文中所提出的极限啮合半径和齿廓重迭干涉条件 是直线共轭齿轮传动设计时的两个重要限制条件, 在 设计中再考虑到重合度、压力角等限制条件, 就可设 计出满足使用要求的齿轮传动系统。 参考文献:
2011年 4月 第 39卷 第 7期
机床与液压
MACH INE TOOL & HYDRAULICS
A pr 2011 V ol 39 N o 7
DO I: 10. 3969 / j issn 1001 - 3881 2011 07 015
直线共轭内啮合齿轮泵的啮合特性分析
徐学忠, 张凯, 谭翰墨
(常熟理工学院机械工程系, 江苏常熟 215500)
i( 1- 2- )
( 5)
两齿廓在任一点啮合时, 齿廓上的啮合点所在圆
周半径可根据图 1中的几何关系求出。由图 1 得
r2
M1
=
h2 + r21 cos2 (
-
1)
( 6)
r2
M2
=
[ h + a s in (
-
1 ) ] 2 + r22 cos2 (
-
1)
( 7)
2 啮合极限半径
2 1 啮合界限点 [ 2]