中科大2016量子物理试卷

中 国 科 学 技 术 大 学

2016-2017学年第一学期考试试卷

考试科目:《量子物理》 得分:_________ 学生所在系:___________ 姓名:__________ 学号:___________

一、判断题（共10分，若陈述正确在括号里打√，若否打×)

1．微观粒子的能量不一定总是量子化的。 ( )

2．若算符B A

ˆ,ˆ 均为厄米算符，且两者对易，则乘积算符B A ˆˆ 的本征函数必正交。 ( ) 3．根据波函数的标准条件，若函数在某处趋于无穷大，则其在物理上是不可接受的（不能作为描写微观粒子状态的波函数）。 ( )

4．在一维方势垒量子隧道效应中，若势垒的宽度和高度相同，则具有相同动能的粒子的透射系数相同。 ( )

5．中心力场中的粒子（不考虑自旋），其能级简并度至少是2l+1，l=0, 1, 2,…。 ( )

二、简答/简算题（共40分，每题8分）

1. (1) 硒（Se ）的原子序数为34，试写出其基态电子组态和光谱项。(2) 对于其中能量最低的光谱项，总轨道角动量的大小是多少？总轨道角动量与总自旋角动量可能的夹角为多少？

2. 已知氢原子的电子处于某一能量本征态，波函数（用原子单位）为： θπψcos )6(811

3/r re r --=, 试求：(1) 给出电子能量（用原子单位）；(2) 试给出轨道角动量z 分量可能的取值及相应的几率； (3) 波函数的节面数目是多少？描述其节面的形状（球面？平面？锥面？）和节面的空间位置。

3. (1) 写出N 2 分子基组态和第一激发态的电子排布，并给出相应的光谱项。(2)比较基态

N 2分子和N 2+正离子中N-N 键伸缩振动频率的大小（需要说明理由）。

4. 设粒子的势场 V (r )=Cr n ，试证明维里定理: nV

̅=2T ̅, 式中V 是势能, T 是动能。 5. 解答题：(1) 量子力学有哪几个基本假设；(2) 隧道效应；(3) 单电子近似；(4) 反常塞曼效应

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三、综合计算题（50分）

1．（20分）质量为m 的微观粒子在长为 a 、宽为b 的二维势箱中运动，其势能函数为：

⎩⎨⎧∞<<<<=)()0,0(0),(others b y a x y x V 。试解答下列问题: (1) 写出其能量本征值和本

征函数的表示式; (2) 设a=1.5b ，粒子处于第一激发态，试计算在)40,40(b y a x <<<

<范围内发现粒子的概率; (3) 设粒子的状态为)2sin 2cos (sin ),(y b x a x a A y x πππψ=，试计算归一化常数Ａ，并给出能量的可能测量值和能量平均值; (4) 现用二维势箱模型处理萘分子的π电子跃迁。设a=1.5b ，试推导其由基态跃迁到第一激发态的光谱波长表达式。

2. (10) 已知体系的哈密顿算符在某一表象中的矩阵表示为H

̂=[201020102], 试求: (1) 体系能量的本征值及相应的本征态；(2) 求出H

̂对角化的幺正变换矩阵。 3. (10分) 设变分函数为ψ(x,β)=Aexp(−βx 2), 式中 β 为变分参数，试求一维线性谐振子的

基态近似能量和近似波函数（已知定积分公式∫e −αx 2dx =√πα∞−∞，∫x 2e −αx 2∞−∞dx =

12α√πα

）。 4. (10分) 转动惯量为 I ，电偶极矩为 D ⃑⃑ 的空间转子处于均匀电场 ε 中，体系的哈密顿量可写

为H ̂=L 22I

+D ⃑ ∙ε ，若电场较小，试用微扰法求转子基态能量的一级和二级修正（已知Y 10=√

34πcosθ） 。

四、附加题（5分）

对本课程你有何学习经验或感想，对教学有何建议（100字以内）。