2015年中国科学院自动研究所考博真题 数学
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1. 求 A
2015
；
tA
（7 分）
2. 求矩阵函数 e 。
（8 分） （10 分）
三. 任选下面一个矩阵，求其 Moore-Penrose 逆：
1 0 1 A , 2 0 2
1 0 B 2 1 ， 0 1
（10 分）
1 0 1 四．试求矩阵 A 的奇异值分解。 0 1 1
科目名称：数学
第 2 页
共2页
D( X ) _______ 。
六．设 X1 , X 2, X n 为来自某总体 X 的独立同分布样本，总体 X 的密度函数
x 1 , 0 x 1 f x ， 0 其他 0,
试求参数 的矩估计和极大似然估计。 (10 分)
七．一台包装机包装面盐，其每包袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布， 当机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015 公斤。某日开工后，为检验包 装机是否正常，随机独立地抽取所包装面盐 9 袋。经测量与计算得 X =0.511 ，取 0.05 ，问机器是否正常。 (10 分)
中国科学院自动化研究所 2015 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学
考生须知：
1.本试卷满分为 100 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。
一、设矩阵 A R33 的特征值为 a bi, a bi, c ，其中 a, b, c R , b 0, i 是虚数单位。
Z 2 X Y 3 的概率密度函数为_______。
bY, c 5. 设 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y) ， 则 P a X
示)。
_______(用 F 表
0 x 1 x 6. 设 随 机 变 量 X 具 有Baidu Nhomakorabea密 度 函 数 f ( x) 2 x 1 x 2 ， 则 X 的 方 差 0 其他
X , Y 在区域 D 上服从均匀分布， X 的边缘分布在 x 2 处的值为______。
3. 设 X ~ N , 4 ，样本容量 n 9 ，均值 X 4.2 ，则未知参数 的置信度 0.95 的置信区间为______(查表 Z0.025 1.96 )。 4. 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， X ~ N 1, 2 , Y ~ N 0,1 , 则 随 机 变 量
1． 证明，存在实可逆矩阵 Q 使得 （10 分）
c 0 0 Q AQ 0 a b 0 b a
1
2． 如何将上面结论推广到一般情形，只陈述结论。
（5 分）
二. 已知矩阵
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
科目名称：数学
第 1 页
共2页
五．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，总计 30 分） 1. 设 X ~ P poission分布 ，且 E X 1 X 2 1 ，则 ______。 2. 设 D 是由曲线 y
1 与直线 y 0, x 1, x e2 围成的平面区域，二维随机变量 x
2015
；
tA
（7 分）
2. 求矩阵函数 e 。
（8 分） （10 分）
三. 任选下面一个矩阵，求其 Moore-Penrose 逆：
1 0 1 A , 2 0 2
1 0 B 2 1 ， 0 1
（10 分）
1 0 1 四．试求矩阵 A 的奇异值分解。 0 1 1
科目名称：数学
第 2 页
共2页
D( X ) _______ 。
六．设 X1 , X 2, X n 为来自某总体 X 的独立同分布样本，总体 X 的密度函数
x 1 , 0 x 1 f x ， 0 其他 0,
试求参数 的矩估计和极大似然估计。 (10 分)
七．一台包装机包装面盐，其每包袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布， 当机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015 公斤。某日开工后，为检验包 装机是否正常，随机独立地抽取所包装面盐 9 袋。经测量与计算得 X =0.511 ，取 0.05 ，问机器是否正常。 (10 分)
中国科学院自动化研究所 2015 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷 科目名称：数学
考生须知：
1.本试卷满分为 100 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。
一、设矩阵 A R33 的特征值为 a bi, a bi, c ，其中 a, b, c R , b 0, i 是虚数单位。
Z 2 X Y 3 的概率密度函数为_______。
bY, c 5. 设 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y) ， 则 P a X
示)。
_______(用 F 表
0 x 1 x 6. 设 随 机 变 量 X 具 有Baidu Nhomakorabea密 度 函 数 f ( x) 2 x 1 x 2 ， 则 X 的 方 差 0 其他
X , Y 在区域 D 上服从均匀分布， X 的边缘分布在 x 2 处的值为______。
3. 设 X ~ N , 4 ，样本容量 n 9 ，均值 X 4.2 ，则未知参数 的置信度 0.95 的置信区间为______(查表 Z0.025 1.96 )。 4. 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， X ~ N 1, 2 , Y ~ N 0,1 , 则 随 机 变 量
1． 证明，存在实可逆矩阵 Q 使得 （10 分）
c 0 0 Q AQ 0 a b 0 b a
1
2． 如何将上面结论推广到一般情形，只陈述结论。
（5 分）
二. 已知矩阵
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
科目名称：数学
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五．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，总计 30 分） 1. 设 X ~ P poission分布 ，且 E X 1 X 2 1 ，则 ______。 2. 设 D 是由曲线 y
1 与直线 y 0, x 1, x e2 围成的平面区域，二维随机变量 x