浅谈欧式几何与非欧几何公理的正确性

浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系

摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。

关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义

一、概述

欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。欧式几何的五条公设是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。

面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆

其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？

二、公理公设

1、历史上人们对公理认识的变化

(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；

(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；

(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。

虽然这些观点之间千差万别，但有一个共同点：公理是真理，是相对真理或绝对真理，是不必加以证明的命题。而受上述哲学观点的支配，数学家也倾向于认为：公理应当是自明之理，只有从真理出发，才能得到真理。

2、、现代数学对公理的看法

随着现代数学的发展，数学家的看法改变了，没什么自明之理。即使有，也不必要求数学公理是真理。数学公理是对数学对象的性质的约定。比如：直线就是满足某几条公理的某种东西，满足欧式几何公理的直线，叫欧式直线；满足罗氏几何公理的直线，叫罗氏直线。概念的成立与否有赖于是否满足公理体系中的一些条件。

若问数学家怎样的公理是真的，他们也许就会反问，你怎么解释公理公设中的术语的意义呢？几何体系是个抽象的系统，如果对其中的原始术语不给以指定的意义，不知道他们是什么，就无所谓真假问题。只有在给与一定的定义的前提下，如果某一些对象适合于某些公理，它也一定适合于从这些公理推出来的定理。从这个意义上来说，数学定理总是对的。

3、、公理的特征

不过，也不是随便几条命题凑起来就可以作为公理

(1)、相容性或协调性。这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的相容性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。

(2)、相互独立性。这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度。

(3)、完全性。这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。

一般来说，有了前两个特征就可以了。甚至有人提出独立性并不重要，重要的是相容性。

4、公理的现实意义

对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思想。现代数学公理系统层出不穷，很难说孰是孰非。然而，有些公理系统更受人欢迎，而另外的一些就显得不那么受人待见。毕竟，数学家也是人，也要穿衣吃饭，要靠社会供养，他自然希望自己的研究于社会。尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权利，但是这个系统“有什么用”的问题使他无法回避的。所以，那些现实作用比较强的公理系统往往更容易被人们理解和接受，这也可以看作是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了。

三、几何上的选择

数学家指出公理是不可论真假的，认为它只是一种约定，在这一体系下的命题如果符合这一公理，就符合从这一公理中却推导出的定理，云云。却忽略了哲学上最有意义的问题：如果按通常的意义来理解几何术语，哪种几何是真的？这

样把问题提的更加明确之后，我们就可以说非欧几何的出现就不足以动摇欧式几何地位了。比如：欧式几何中“直线”的性质，才是与现实空间相符合的，与我们的经验相一致的。而另两种几何，虽然逻辑上相容，但是其中所说的“直线”，在我们看来并不直。

进一步来看，对欧式几何真实性的最严重的挑战不是来自非欧几何，而是来自爱因斯坦的相对论。在物理上，人们将光的路径作为两点之间的距离，在欧式几何的公理体系中，光的路径是一条通常意义上的直线，所以，两点之间的最短距离是直线。但是到了在引力场中，空间弯曲了，光的路径不再是一条通常意义上的直线了，但仍是两点之间的最短距离，可以说，直线弯曲了。而如果把光看成直线，则三角形内角和大于两直角。如果把拉紧了的线当作直线，也是一样。不过，三角形要足够大，边长是天文距离时，才能测量出三内角和与180度的差别。在地球上，是测不出来的。这时，欧式几何就遇到了曾经牛顿力学所遇到的问题，在更广阔的空间之中，有许多它无法解释的现象存在，他的地位遭到了巨大的挑战。

相对论动摇了欧式几何的地位，但是没有否定欧式几何。他只是要人们在两种几何中做出选择：你要哪种几何？

如果选择欧式几何，好处是数学上的简单，在牛顿力学中也试用，并且在地球上是符合经验的，不过，在这种几何体系中相对论的物理语言变得麻烦，比如，光走的是曲线，等等。

选择黎曼几何，它适于描述相对论所描述的空间现象。在地球上，它与欧式几何在经验上也是一致的。

四、总结

现在再来看何种几何才是“真”的，我们可以说这是没有意义的，对真的定义只是表达了对术语的理解。因为处在在不同的情况下，物理学家会选择使用黎曼几何来对他们的研究提供理论帮助，此时，他们可能会认为黎曼几何是正确的。但是不妨碍中学生学他们的欧式几何，因为在他们所能理解的日常生活经验的层次上，直线就是“直线”，不会是所谓的“大圆”。所以，任何对这些几何体系的评价都是建构在逻辑体系上，脱离了一定的逻辑，都是没有意义的。