浅谈欧式几何与非欧几何公理的正确性
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
浅谈欧式几何与非欧几何公理的正确性
浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。
不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。
关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义一、概述欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。
从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。
面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。
因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。
所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。
不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？二、公理公设1、历史上人们对公理认识的变化(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系欧几里得几何和非欧几里得几何是两个不同的数学分支，它们通过研究空间和几何形状之间的关系，在数学领域做出了巨大贡献。
虽然它们有着不同的基本假设和公理系统，但它们之间存在一些有趣而重要的联系。
欧几里得几何，也称为平面几何，是基于欧几里得公理系统而建立的几何学。
它以欧几里得公理为基础，包括了诸如平行公理、共线公理等，并通过这些公理推导出其他几何定理。
欧几里得几何的研究范围主要涉及二维平面和三维空间中的几何形状，如点、线、角、面等。
这个分支的主要目标是研究空间内物体之间的关系，如距离、形状、相交等，并通过推导出的定理来描述这些关系。
与欧几里得几何不同，非欧几里得几何是建立在不同公理系统基础上的几何学。
它包括了不满足欧几里得公理的几何系统，其中最著名的是黎曼几何和庞加莱几何。
黎曼几何是非欧几里得几何的一种形式，它引入了曲率的概念，并对平行线的概念进行了重新定义。
在黎曼几何中，平行线不再保持严格平行，而是随着曲率的变化而可能相交。
庞加莱几何是另一种非欧几里得几何的形式，其特点是没有平行线的概念，所有线都是相交的。
尽管欧几里得几何和非欧几里得几何是两个独立的数学分支，但它们之间存在一些联系和相互影响。
首先，非欧几里得几何的发展源于对欧几里得几何公理系统的质疑和挑战。
19世纪末，数学家们开始研究在非欧几里得公理系统下的几何学，并发现了与欧几里得几何不同的几何规律。
这种挑战促使数学界重新审视和理解几何学的基础。
其次，欧几里得几何和非欧几里得几何在某些方面也存在一些相似之处。
虽然它们的公理系统和推演规则不同，但它们都在探索空间和形状的性质方面发挥作用。
例如，在欧几里得几何中，我们研究了平行线的特性，而在非欧几里得几何中，我们研究了曲线和曲率。
这些研究都为我们提供了对几何空间的不同看法，拓宽了我们对空间结构的认识。
此外，欧几里得几何和非欧几里得几何在应用领域也存在一些交叉。
欧几里得几何在物理学、工程学和地理学等领域中得到了广泛的应用，帮助我们研究和解释物体之间的相对关系。
欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。
1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。
十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。
从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
思维工具趣谈（一）——欧氏几何和非欧几何-商与儒的日志-网易博客
思维工具趣谈（一）——欧氏几何和非欧几何-商与儒的日志-网易博客思维工具趣谈（一）——欧氏几何和非欧几何默认分类2008-07-20 12:52:02 阅读200 评论1 字号：大中小订阅读过初中的朋友都学过欧氏几何，它是2000年前就创建的、现在还在广泛应用的线性科学。
对非欧几何，大家可能就不是那么熟悉了，至于第一个非欧几何的产生过程，估计知道的人更少——这是一个很有趣的过程！欧氏几何是在五条公设的基础上，经过严密的形式逻辑推导出来的公理体系。
公设就是公认的、不需要经过证明的定理。
长期以来，数学家们对欧氏几何的第五公设颇有疑议，因为这个公设直到第二十九个命题中才用到，而且仅用一次，以后再也没有使用。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
第五公设的内容是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基决定用反证法来检验五公设是否正确。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设——“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
如果这个系统最终出现自相矛盾的结果，根据反证法的定义，就证明原先的假定是错误的，也就等于证明了第五公设的正确。
但是，在他极为细致严格的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最终罗巴切夫斯基得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论体系。
这个体系是一个像欧式几何一样完善、严密的几何学——这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，也是第一个被创立的非欧几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
绝世传奇——非欧几何还原为欧氏几何
绝世传奇——非欧几何还原为欧氏几何科学是一个整体，一些基础性的学科，应当成为其他很多学科的基础，也就是这些更为分支的学科规律，要能够在数学上或逻辑上完全还原为基础学科的规律。
一些规律要还原为更基础的规律。
还原有多种类型，《实验、测量与科学》一书中主要讲述了决定论式还原、回溯式还原和映射式还原。
1.决定论式还原。
通过逻辑演绎，基于公理体系导出所要描述的规律，或以基础学科规律，通过演绎推导出分支学科规律。
这种还原关系也称为“决定论”式的还原关系。
2.回溯式还原。
虽然不能通过决定论式的还原关系进行推导，但新的理论体系可以在极限条件下变成原有的理论体系，这种还原关系可称为“回溯式”还原关系。
例如，相对论和量子力学不能通过牛顿力学推导出来，但它们都会在宏观低速条件下还原成牛顿力学。
3.映射式还原。
如果新的理论，既不能决定论式地推导，也不能回溯，但通过数学建模建立公理体系之间完备的映射关系，从而也可以建立完全不同公理体系之间的还原关系。
例如非欧几何和欧氏几何的关系。
非欧几何向欧氏几何的还原是映射式还原的典型案例。
欧氏几何第五公理（平行公理）的证明是一个持续了2000年的数学难题，无数的尝试都失败了。
俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Никола йИва новичЛобаче вский）在解决这个难题过程中，创造性地设想出了用反证法来解决这个难题。
这种反证法的基本思想是，为证明“第五公理不可证”，首先对第五公理加以否定，然后用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理体系，并由此展开逻辑推演。
俄国数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基假设第五公理是可证的，即第五公理可由其他公理推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公理和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公理可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公理不可证”。
非欧几何与欧氏几何的联系
非欧几何与欧氏几何的联系
欧几里德几何（Euclidean geometry）是对平面和空间的理论的研究。
它在许多领域
都有应用，包括建筑、工程、物理学、天文学等。
然而，欧几里德几何是基于一些公理
（公认为真的陈述），这些公理在其他几何体系中不一定是真实的，因此出现了非欧几
何。
非欧几何（Non-Euclidean geometry）是指与欧几里德几何不同的几何体系。
在非欧
几何中，与欧几里德几何中的公理不同，例如，直线可能具有弯曲、平行线在一点处可能
相遇等等。
与欧几里德几何不同，非欧几何不一定是在欧几里德几何的基础上发展而来。
相反，
非欧几何在自身的基础上开创了不同的几何领域。
然而，非欧几何和欧几里德几何之间仍然存在一些联系。
其中最重要的联系是在范畴中。
如果说欧几里德几何是平坦的，那么可以将它看作是一种特殊的拓扑空间。
相比之下，非欧几何通常被认为是曲面的一种形式，因此它们也被归为拓扑空间的一类。
此外，在数学、物理学和其他学科中，非欧几何也有着广泛的应用。
在广义相对论中，非欧几何被用来描述弯曲的时空。
在抽象的数学领域中，非欧几何的一些结构也被用来证
明数学定理。
总之，非欧几何和欧几里德几何之间存在着紧密联系。
它们之间的相互作用使我们能
够更好地理解几何学的本质，并促进了许多领域的发展。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
几何中的非欧几何和几何证明
几何中的非欧几何和几何证明几何学作为数学的一个重要分支，研究着空间和形状的关系。
传统欧几何中，我们通常研究的是平面几何和立体几何，但在20世纪，人们开始发现了非欧几何的存在，它颠覆了我们对传统几何的认识并带来了新的思维方式。
非欧几何的出现不仅丰富了几何学的研究领域，也对几何证明提出了新的挑战。
一、非欧几何的基本概念非欧几何诞生于19世纪，它与欧几何最大的区别在于第五公设的不同。
在欧几何中，第五公设也被称为平行公设，它规定了通过一点外一直线上的平行线只有一条。
而在非欧几何中，第五公设被拓展了，提出了多种关于平行线的不同假设。
这就导致了非欧几何与欧几何有着不同的几何性质。
非欧几何的两个经典例子是椭圆几何和双曲几何。
椭圆几何是典型的非欧几何，它的特点是不存在平行线，任意两条直线都会相交。
而双曲几何则是另一种非欧几何，它的特点是存在无数条平行线，且相交角的和小于180度。
二、非欧几何的影响和应用非欧几何的提出对几何学的发展产生了深远的影响。
首先，非欧几何推动了数学的发展。
它挑战了传统几何的思维方式，促使数学家们重新思考几何的基本原理和公设。
这对后来的研究起到了积极的推动作用，并且促成了更加深入的几何学研究。
其次，非欧几何对物理学的发展也有一定的贡献。
爱因斯坦的广义相对论理论中，空间被看作是弯曲的，而非欧几何正是提供了一种新的模型来描述这种弯曲的空间，从而有助于解释物理现象。
因此，非欧几何为物理学的发展提供了新的视角。
此外，非欧几何还在现代通信、计算机图形学等领域得到了广泛应用。
在通信领域，非欧几何被用来研究信号传输中的误差控制和编码技术。
在计算机图形学中，非欧几何被应用于三维模型的建模和渲染，能够更加真实地反映物体之间的关系。
三、几何证明的挑战几何证明是几何学的重要部分，它通过推理和逻辑推断来证明几何定理的正确性。
在传统欧几何中，几何证明的过程通常基于欧几里德几何的公理和定理，逻辑推理比较简单明确。
然而，在非欧几何中，几何证明面临着更大的挑战。
欧氏几何与非欧几何中的几何思考与证明
● 03
第3章 欧氏几何与非欧几何 的比较Biblioteka 欧氏几何与非欧几何 的异同
01 欧氏几何基于直觉和直线的概念
欧氏几何
02 非欧几何基于曲线和曲面的概念
非欧几何
03 欧氏几何受限于第五公设
欧氏几何
欧氏几何和非欧几何的几何思考
更侧重于直线和角
度的关系
欧氏几何
01
更注重于曲线和曲 面之间的关系
非欧几何
02
Unified fonts make reading more fluent.
Theme color makes PPT more convenient to change.
Adjust the spacing to adapt to Chinese typesetting, use the reference line in PPT.
非欧几何的未来前景
01 现代数学地位
非欧几何将更突出
02 广泛应用
领域发展需求
03 新思路方法
为数学研究提供
欧氏几何与非欧几何的融合
相互影响 创新性提升
领域融合
创新实用
01
融合效果 实践应用
02
发展推动 04
促进数学研究
03
前沿探索
欧氏几何与非欧几 何的发展趋势展望
数学研究领域扩展 多元化前沿性
02
解决特殊问题
为特殊问题提供新的解决思路
03
推动数学的创新发展
几何思考与证明
01 推理与证明方法
通过逻辑推理确立几何定理
02 几何形状分析
探索图形形状的几何特征
03 数学定律应用
运用数学定律解决实际问题
几何中的欧式空间与非欧几何
几何学是研究空间、形状、大小以及它们之间的关系的学科。
在几何学中，欧式空间和非欧几何是两个重要的概念。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，而非欧几何是指那些不符合欧几里德几何学规则的几何学系统。
欧式空间是指一个平直的三维空间，符合欧几里德几何学的公理。
在欧几里德几何学中，空间是连续的，直线是无限延伸的，平行线永不相交等。
欧式空间中的几何学主要关注点是点、线、面和体的位置关系与性质。
欧式几何学应用广泛，不仅适用于物理学和工程学的各个领域，也是我们日常生活中的几何学基础。
然而，在几何学的发展历程中，人们发现了一些不符合欧几里德几何学规则的情况。
这给几何学家们带来了挑战，正在这种情况下，非欧几何学产生了。
非欧几何学是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
椭圆几何学是一种曲面几何学，也称为黎曼几何学。
与欧几里德几何学不同，椭圆几何学中的曲面上的直线并非无限延伸，而是在某一点处回到原点。
在椭圆几何学中，平行线将会相交，直角三角形内角和不等于180度。
椭圆几何学的发现给人们打开了一个全新的几何学世界，并为曲面拓扑学等领域的发展奠定了基础。
双曲几何学与椭圆几何学相似，也是一种曲面几何学。
在双曲几何学中，直线永远不会相交，而是以两个方向无限延伸，也没有平行线的概念。
双曲几何学对于研究曲面的性质以及它们之间的关系起到了重要的作用，也在相对论中得到了广泛的应用。
总的来说，几何学中的欧式空间和非欧几何学代表了两个不同的几何学体系。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，符合欧几里德几何学的公理，以点、线、面和体的位置关系为研究重点。
而非欧几何学则是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
这些非欧几何学不仅拓展了几何学的范畴，也为曲面拓扑学和相对论提供了理论基础。
因此，了解和研究欧式空间与非欧几何学对于深入理解空间和几何学的本质具有重要意义。
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同在我们探索数学的广袤世界时，欧几里得几何是我们最初接触的重要领域之一。
然而，随着数学的发展，非欧几何的出现打破了传统的认知，为我们打开了全新的视角。
那么，究竟什么是非欧几何？它与欧几里得几何又有着怎样显著的不同呢？要理解非欧几何，我们得先回顾一下欧几里得几何。
欧几里得几何，是以古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为基础构建的几何体系。
在这个体系中，有着一系列我们熟悉的公理和定理。
比如，两点之间直线最短；三角形内角和等于 180 度；平行线永不相交等等。
欧几里得几何在很长一段时间里被认为是描述空间和形状的唯一正确方式。
它在我们日常生活中的建筑、工程、制图等方面都有着广泛的应用。
我们所熟悉的房屋结构、道路规划，都遵循着欧几里得几何的规则。
然而，非欧几何的出现挑战了这种传统观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。
罗巴切夫斯基几何中，最显著的特点是平行线不再是永不相交。
想象一下，在一个双曲平面上，过直线外一点可以画出多条与之平行的直线。
这与我们在欧几里得几何中的认知完全不同。
而且，在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。
这种几何模型在一些特殊的物理学和天文学研究中具有重要意义。
黎曼几何则是另一种非欧几何。
在黎曼几何中，没有绝对的平行线概念。
并且，三角形的内角和大于 180 度。
这种几何在广义相对论中发挥了关键作用，帮助我们理解弯曲的时空。
那么，为什么会出现非欧几何呢？这其实是数学发展的必然结果。
当人们对空间和形状的认识不断深入，发现欧几里得几何在某些情况下无法很好地描述现实世界中的现象。
比如，在研究大尺度的宇宙空间或者微观世界时，欧几里得几何的局限性就逐渐显现出来。
从数学的本质来看，欧几里得几何是基于平坦的空间假设，而非欧几何则是对弯曲空间的描述。
这就好比我们在平地上走路和在山坡上走路的感觉是不同的。
欧几里得几何就像是在平地上行走的规则，而非欧几何则是在山坡或者更复杂地形上行走的规则。
欧几里得几何、非欧几何、真理
1.广义的非欧几何： 1.广义的非欧几何：泛指一切和欧几里得几何不同的几何 广义的非欧几何 学； 2.狭义的非欧几何 只是指罗式几何或黎曼几何； 狭义的非欧几何： 2.狭义的非欧几何：只是指罗式几何或黎曼几何； 3.通常意义的非欧几何 指罗式几何和黎曼几何二者。 通常意义的非欧几何： 3.通常意义的非欧几何：指罗式几何和黎曼几何二者。
马克思主义的真理理论认为，真理即客观事
物及其规律在人的意识中的正确反映。 物及其规律在人的意识中的正确反映。
在总的宇宙发展过程中，人们对于在各个发展 阶段上的具体过程的正确认识，他是对客观世 界近似的、不完全的反应。相对真理 绝对真 相对真理和绝对真 相对真理 理是辩证统一的，绝对真理寓于相对真理之中， 在相对真理中包含有绝对真理的成分，无数相 对真理的总合就是绝对真理。
非欧几何分类
• 按几何特性（曲率），现存非欧几何的类型可以概括如下：
1.坚持第五公设，引出欧几里得几何。 1.坚持第五公设，引出欧几里得几何。 坚持第五公设 2.以 可以引最少两条平行线”为新公设， 2.以“可以引最少两条平行线”为新公设，引出罗氏几 或称双曲面几何）。 何（或称双曲面几何）。 3.以 一条平行线也不能引”为新公设， 3.以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何 或称椭圆几何） （或称椭圆几何）。
• 欧几里得还提出了五个“一般概 念”，也可以作为公理。当然， 之后他还使用量的其他性质。 • 与同一事物相等的事物相等。 • 相等的事物加上相等的事物仍然 相等。 • 相等的事物减去相等的事物仍然 相等。 • 一个事物与另一事物重合，则它 们相等。 • 整体大于局部。
非欧几里得几何
• 第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相 交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直 线经无限延长后在这一侧相交。 • 但是，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来， 显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学 家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十 九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说， 在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八 个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作 为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第 五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两 千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公 设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走 的对不对？第五公设到底能不能证明？
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
几何学中的欧氏空间与非欧几何
几何学中的欧氏空间与非欧几何几何学是一门关于空间形状和性质的学科，其基本概念是面积、长度、角度和体积等。
在几何学中，欧氏空间是最基本的概念之一。
欧氏空间是指具有欧氏度量的空间。
在欧氏空间里，我们所熟悉的平凡几何学定理都是成立的。
但是，随着几何学的发展与深入研究，我们发现了无数个非欧几何空间。
本文将会详细探讨欧氏空间和非欧几何空间。
一、欧氏空间欧氏空间是用欧氏度量定义的空间。
在欧氏空间内，两点之间的距离是由勾股定理（a²+b²=c²）推导出的。
欧氏空间的特点是满足传递性、对称性和非负性。
同时，在欧氏空间内，平行线永远不会相交。
欧氏空间的一个非常重要的应用是解析几何。
然而，欧氏空间并不是唯一的空间。
在追求更为真实的数学描述的推进下，数学家们尝试着超越欧氏空间，并发现了许多非欧几何空间。
二、非欧几何空间非欧几何空间是指不满足欧氏公理的空间，如球面空间、双曲面空间等。
它的特点在于满足非欧几何公理。
在非欧几何中，曲线不再是直线。
在球面上，我们可以看到地面上所有的边都弯曲了。
而在双曲面上，直线却是呈现成弯曲的。
一个很好的例子是“球面上两点间最短路径不是直线”，这个性质通往了非欧几何的大门。
相比之下，这正是欧式几何公理中的假设。
在球面空间中，我们可以为一个点在地球表面上指定球面坐标（纬度和经度）。
在双曲面上也有类似的坐标系。
这些坐标系使得我们能够在非欧几何空间中进行研究和计算。
总结来说，非欧几何中的曲线要么是弯曲的，要么可以是弯曲的，但两点之间总有一条最短的路径。
在双曲几何中，平行线永远相交。
而在球面几何中，平行线不可能相交。
三、欧氏空间和非欧几何空间的比较欧氏几何是我们熟知的三角形、圆等形状的集合，其中最基本的特征是勾股定理。
而非欧几何没有勾股定理，并且不满足传递性、对称性和非负性等欧氏公理，因此在很多情况下，非欧几何的推导和欧氏几何完全不同。
在欧氏空间中，平面和立体之间可以无缝连接。
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用首先简单说说我对欧氏几何与非欧氏几何的陋见，欧氏几何与非欧氏几何都是数学几何学中的一块，做一个不是十分恰当的比喻，欧氏几何与非欧氏几何之间的关系就像是牛顿基本力学与后来爱因斯坦创立的相对论之间的关系。
那么接下来我将从学术上简单谈谈欧氏几何与非欧氏几何，欧氏几何是由以欧几里得几何学为基础的经典集合理论，它包括五条基本定理，整个欧氏几何的大厦都建立在这五条基本理论上，也就是说欧氏几何的一切定理、推论就是通过这些定义五个公设和数量公理的演绎、推理证明而得到的。
非欧氏几何即是区别于传统平面几何学的三维几何，它是建立在三维的现实生活中的，相较于二维几何它更加复杂更加具有动态的美，它的主要发展是在计算机的发明之后，人们开始利用计算机辅助技术来建立三维模型并寻找其中的数学规律，非欧氏几何的代表有拓扑几何、凸体几何等。
那么我们为什么要选择在建筑数字技术概论这门课上讲欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用呢？计算机辅助技术看起来和我们的课题并无直接联系，建筑数字技术是指一些服务设计的软件比如CAD、Rhino、Revit、Sketchup等软件，它们大都是一些辅助人们建立模型的软件，我们这门课也是简要介绍这些软件，让同学们心里对这些软件有一定的认识，这好像与欧氏几何与非欧几何并无联系。
其实并不然，正如我之前所说，非欧氏几何的快速发展正是借助计算机强大的建模能力，而想要把它们都运用到我们的建筑设计中光靠传统的手绘是远远不够的，也无法表达清楚我们想要的效果，这只是其一。
其二，就算我们通过手绘解决出了非欧几何造型的难题，这只是完成了建筑设计中的一小部分——造型设计，还有设备设计，结构设计等方面内容，试想一下，想要在复杂的非欧几何建筑里不借助计算机辅助就做好结构、设备等处理设计这几乎是不可能实现的，由此可见，通过对欧氏几何非欧氏几何对我们建筑设计的影响就可以看出，计算机辅助技术对我们设计帮助之大，对我们建筑设计进步推动之大。
数学的几何探秘从欧式几何到非欧几何的发展
数学的几何探秘从欧式几何到非欧几何的发展数学的几何探秘：从欧式几何到非欧几何的发展几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间和形状的性质以及它们之间的关系。
在数学的历史长河中，欧式几何是最早被研究和发展起来的几何学体系之一，而非欧几何则是在欧式几何之后才逐渐形成的。
本文将探究数学几何在欧式几何到非欧几何的发展过程中的重要里程碑，并探索其背后的原理。
一、欧式几何的基础欧几里得是古希腊几何学的奠基人之一，他在公元前3世纪著作的《几何原本》中提出了欧式几何学的基本原理和定理。
这一体系以点、线、面为基本元素，采用了公理和证明的严密方法，建立了严谨的逻辑体系。
欧式几何在描述平面和空间中的图形性质和空间关系方面极为成功，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础。
二、非欧几何的崛起19世纪中期，数学家们开始探索非欧几何。
最早提出非欧几何的是俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家冯康。
他们从不同的角度出发，通过修改欧式几何的公理体系，构建了两种非欧几何系统：超几何和椭圆几何。
这些非欧几何系统打破了欧式几何传统的思维模式，提出了一些与直觉相矛盾，但在逻辑上仍然是自洽的命题。
三、超几何与椭圆几何超几何是从平行公理的否定出发，提出了一种没有平行线的几何系统。
由于没有平行线的约束，超几何的空间结构呈现出非欧几何的特征，其中最为著名的例子就是黎曼球面几何。
而椭圆几何则是在超几何的基础上，进一步将欧式几何的直线延伸到无穷远处，形成了一个封闭结构。
椭圆几何的一个重要应用就是研究球面上的性质，如经纬度系统。
四、广义相对论与非欧几何的应用非欧几何的发展不仅对数学学科本身有了重要的影响，而且对其他领域如物理学也产生了深远的影响。
广义相对论就是建立在非欧几何的基础上的理论，它通过引入弯曲的时空概念和测地线的概念，改变了牛顿力学中的绝对时空观念，给出了更为精确的描述重力和宇宙结构的理论框架。
在本文中，我们回顾了从欧式几何到非欧几何的发展过程，探讨了非欧几何系统的特点和应用。
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浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系
摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。
不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。
关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义
一、概述
欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
欧式几何的五条公设是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。
从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。
面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆
其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。
因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。
所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。
不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？
二、公理公设
1、历史上人们对公理认识的变化
(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；
(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；
(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。
虽然这些观点之间千差万别，但有一个共同点：公理是真理，是相对真理或绝对真理，是不必加以证明的命题。
而受上述哲学观点的支配，数学家也倾向于认为：公理应当是自明之理，只有从真理出发，才能得到真理。
2、、现代数学对公理的看法
随着现代数学的发展，数学家的看法改变了，没什么自明之理。
即使有，也不必要求数学公理是真理。
数学公理是对数学对象的性质的约定。
比如：直线就是满足某几条公理的某种东西，满足欧式几何公理的直线，叫欧式直线；满足罗氏几何公理的直线，叫罗氏直线。
概念的成立与否有赖于是否满足公理体系中的一些条件。
若问数学家怎样的公理是真的，他们也许就会反问，你怎么解释公理公设中的术语的意义呢？几何体系是个抽象的系统，如果对其中的原始术语不给以指定的意义，不知道他们是什么，就无所谓真假问题。
只有在给与一定的定义的前提下，如果某一些对象适合于某些公理，它也一定适合于从这些公理推出来的定理。
从这个意义上来说，数学定理总是对的。
3、、公理的特征
不过，也不是随便几条命题凑起来就可以作为公理
(1)、相容性或协调性。
这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理．反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A(记作-A)，从A与-A并存就说明出现了矛盾，而矛盾的出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾的认识，这是思维规律所不容许的．因此，公理系统的相容性要求是一个基本要求，任何学科，理论体系都必须满足这个要求。
(2)、相互独立性。
这一要求是指在一个公理系统中的每一条公理都独立存在，不允许有一条公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理的数目减少到最低限度。
(3)、完全性。
这就是要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，也就是说，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。
一般来说，有了前两个特征就可以了。
甚至有人提出独立性并不重要，重要的是相容性。
4、公理的现实意义
对公理看法的这种进步，大大解放了数学家的思想。
现代数学公理系统层出不穷，很难说孰是孰非。
然而，有些公理系统更受人欢迎，而另外的一些就显得不那么受人待见。
毕竟，数学家也是人，也要穿衣吃饭，要靠社会供养，他自然希望自己的研究于社会。
尽管他在逻辑上有建立任何能够自圆其说的公理系统的权利，但是这个系统“有什么用”的问题使他无法回避的。
所以，那些现实作用比较强的公理系统往往更容易被人们理解和接受，这也可以看作是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验，或代表了人类向某一未知领域探索的愿望，在这个意义上，公理也就不完全是人们任意的约定了。
三、几何上的选择
数学家指出公理是不可论真假的，认为它只是一种约定，在这一体系下的命题如果符合这一公理，就符合从这一公理中却推导出的定理，云云。
却忽略了哲学上最有意义的问题：如果按通常的意义来理解几何术语，哪种几何是真的？这
样把问题提的更加明确之后，我们就可以说非欧几何的出现就不足以动摇欧式几何地位了。
比如：欧式几何中“直线”的性质，才是与现实空间相符合的，与我们的经验相一致的。
而另两种几何，虽然逻辑上相容，但是其中所说的“直线”，在我们看来并不直。
进一步来看，对欧式几何真实性的最严重的挑战不是来自非欧几何，而是来自爱因斯坦的相对论。
在物理上，人们将光的路径作为两点之间的距离，在欧式几何的公理体系中，光的路径是一条通常意义上的直线，所以，两点之间的最短距离是直线。
但是到了在引力场中，空间弯曲了，光的路径不再是一条通常意义上的直线了，但仍是两点之间的最短距离，可以说，直线弯曲了。
而如果把光看成直线，则三角形内角和大于两直角。
如果把拉紧了的线当作直线，也是一样。
不过，三角形要足够大，边长是天文距离时，才能测量出三内角和与180度的差别。
在地球上，是测不出来的。
这时，欧式几何就遇到了曾经牛顿力学所遇到的问题，在更广阔的空间之中，有许多它无法解释的现象存在，他的地位遭到了巨大的挑战。
相对论动摇了欧式几何的地位，但是没有否定欧式几何。
他只是要人们在两种几何中做出选择：你要哪种几何？
如果选择欧式几何，好处是数学上的简单，在牛顿力学中也试用，并且在地球上是符合经验的，不过，在这种几何体系中相对论的物理语言变得麻烦，比如，光走的是曲线，等等。
选择黎曼几何，它适于描述相对论所描述的空间现象。
在地球上，它与欧式几何在经验上也是一致的。
四、总结
现在再来看何种几何才是“真”的，我们可以说这是没有意义的，对真的定义只是表达了对术语的理解。
因为处在在不同的情况下，物理学家会选择使用黎曼几何来对他们的研究提供理论帮助，此时，他们可能会认为黎曼几何是正确的。
但是不妨碍中学生学他们的欧式几何，因为在他们所能理解的日常生活经验的层次上，直线就是“直线”，不会是所谓的“大圆”。
所以，任何对这些几何体系的评价都是建构在逻辑体系上，脱离了一定的逻辑，都是没有意义的。
参考文献：
(1).张景中.《数学与哲学》[M]北京：中国少年儿童新闻出版社.2003(8)
(2).邓宏标.《平行公理与非欧几何》[J]. 中学生数学.2003(22)
(3).直笔.《几何学史简表》[J]. 中等数学.1990(06)
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