梁单元有限元分析

梁单元-有限元分析
一、有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。

由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。

是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。

有限元法是最重要的工程分析技术之一。

它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。

有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。

虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。

随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。

早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。

目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。

二．梁单元的分类
所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。

1．平面桁架
特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。

单元特性：只承受拉力或压力。

单元划分：常采用自然单元划分。

即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。

为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：
①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；
②每根杆件的轴线必须是直线；
③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。

④荷载均只作用于理想铰的几何中心。

在此条件下所算得的各种应力称为主应力。

实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。

钢桁架如设计得较合理，次应力一般不太大;钢筋混凝土或预应力混凝土桁架,由于其结点刚度大、杆件粗短，次应力的影响不能忽视。

2．平面刚架
特点：与平面桁架的不同在于杆件之间以刚性铰接点作为连接。

单元特性：除承受拉、压轴向载荷外，还要承受剪力和弯矩。

单元划分：除采用自然单元划分外。

即以两个刚接点之间的杆件作为一个单元。

同时也要考虑在集中载荷作用位置、截面突变位置和分布载荷突变的位置增设节点。

多用钢筋混凝土或钢材建造，刚架结构多为空间刚架，但许多空间刚架可分解为平面刚架进行计算。

刚架可分为静定刚架和超静定刚架，但工程中所应用的主要是超静定刚架。

3．连续梁
特点：简化了的刚架。

特性：不考虑轴向变形，只考虑垂直于轴线的线位移和轴线平面内的转角位移。

单元划分：同刚架。

4.欧拉－伯努利梁有两点假设：
A．粱在变形前垂直于粱轴线的横截面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；
B．横截面变形后的平面仍与变形后的轴线相互垂直。

也就是说欧拉梁忽略了剪切变形和转动惯量，认为初始垂直于中性轴的截平面在变形时仍保持为平面垂直于中性轴（Kirchhoff假设），即认为截面的转动等于挠度曲线切线的斜率。

适用于梁的高度远小于跨度情况下。

5.铁木辛柯（Timoshenko）梁理论：
A．粱在变形前垂直于粱轴线的横截面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；
B ．由于欧拉－伯努利梁的第二个假设忽略了梁的剪切变形，对于有效长度较短或复合材料梁板桥时，忽略剪切变形是不妥的，铁木辛柯提出让梁的应力应变关系得到满足，即考虑剪切变形与转动惯量。

在铁木辛柯梁中，需要考虑横向剪切变形影响的情况，如高度相对跨度不太小的高梁。

此时梁内的横向剪切力Q 所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度，并使原来垂直于中性面的截面变形后不再与中性面垂直，且发生翘曲。

三．连续梁单元刚度矩阵 节点位移向量{}[
]
T
j j i
i e
v v ϑθδ= （1-1）
节点力向量{}[
]
T
j j
i i
e
M V M V F = （1-2）
1．位移模式
每个单元四个自由度，所以可以有4个待定系数
332210x a x a x a a v +++= （1-3）
有材料力学知，挠度与转角之间的关系是：
232132x a x a a dx
dv
++==
θ （1-4）
将i 、j 节点的位移代入，求得待定系数：
⎪⎪⎭⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧j j i i v v l l l l l l l l
a a a a θθ23232232101212132300100001 （1-5） 所以
[
]
[]{}e j j i i N v v l l l l l l l l x x x v δθθ=⎪
⎪⎭⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=23
2
3
2232
1212132300100001
1 （1-6） 其中[N]为形函数矩阵
33
221231l x l x N i +-= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=22221l x l x x N i
33
221
23l x l x N j -= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=l x l
x x N j 221 （1-7） 它也满足前面形函数的性质。

2．节点位移表示应变、应力
梁弯曲变形时，若忽略剪切的影响，由材料力学知道：
dx
dv
y
u -= （1-8） 将它代入到几何方程，得：
22dx
v d y dx du x -==ε （1-9）
换入位移插值公式
{}[]{}[]{}
e
e
e
x B B B B B l x l l x l l x l l x l
y δδδε==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=43
2
1
232232
6212664126 （1-10） 单向应力状态，所以
[]{}e x x B E E δεσ== （1-11） 3．单元刚度矩阵
[][][][]⎰⎰⎰=dxdydz B D B K T e （1-12） 代入[B]矩阵和[D]=E ，并考虑I dydz y =⎰⎰2
[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l l l
l
l l l l l l l l
l l l l EI K e
46266126122646612612
2
2232322
2323 （1-13） 其中：2
12l GA EI
s =
ϕ——剪切影响系数，A s 为有效的抗剪切面积。

四．梁单元的例题分析
有一外伸梁及其承载情况如图所示，其中，m kN m ⋅=10，m kN q /10=，
kN F 10=。

对该梁进行分析，画出弯矩图和剪力图。

图1. 外伸梁结构示意图
用材料力学计算所得剪力和弯矩图如下（以供对照）：
5KN•m
图2. 外伸梁的剪力图和弯矩图
利用有限元软件ANSYS对此外伸梁及其承载情况进行分析。

步骤概括：
1.创建节点
1）创建梁的各个节点；
2）显示各个节点。

2.定义单元类型和材料
1）定义单元类型-2D elastic 3；
2）定义材料特性- Isotropic, 在EX后的文本框内输入数值207e5作为弹性模量；
3）定义几何参数。

3.创建单元
1）创建单元；
2）显示单元资料。

4.施加约束和载荷
1）施加集中载荷F；
2）施加弯矩M;
3）施加分布载荷q。

5.求解
1）改变分析类型；
2）求解。

6.后处理
1）显示梁单元变形结果；
2）建立元素结果表：
①创建单元表，计算节点弯矩；
②创建单元表，计算节点剪力。

3）列出所有表格资料：
①列出资料；
②画剪力图；
图3. 外伸梁的剪力图
③画弯矩图。

图4. 外伸梁的弯矩图
7.退出程序。

将理论的弯矩图和剪力图与ansys软件分析出的结果是一致的，通过对比，我们可以看出有限元的优越性。