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2020年高考数学(理科)押题卷 (一)

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山东省2023届高考考前押题卷数学试题(含解析)

山东省2023届高考考前押题卷数学试题(含解析)

山东省2023届高考考前押题卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．290mB ．420.25mC ．490m 5．定义两个向量u 与v 的向量积u v ⨯是一个向量，它的模方向与u 和v同时垂直，且以,,u v n 的顺序符合右手法则（如图）体ABCD 中，则()AB AD AC ⨯⋅=（ ）A ．42B ．46．已知5458<，设4log 5,a =A ．a c b >>C ．c b a>>A ．8081-B ．1698．已知非零数列{}123,n n n a b a a a a =⋅⋅ ()12n n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⋅⎪⎪⎩⎭的前2023项的和为（ ）A ．12-二、多选题9．甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为B．若甲、乙两组成绩的方差分别为C．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D．甲成绩的极差大于乙成绩的极差三、填空题15．设20a b >>，则()2212a ab a a b ++-的最小值为16．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,x y a b a b -=>>直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记AF F △的内切圆半径为(1)证明：GC //平面EDB ；(2)若ACG 为等边三角形，点求sin α的最小值．21．已知圆22:4,O x y O +=为坐标原点，点以L 为准线的拋物线恒过点F 为S ．参考答案：【详解】，sin,=⋅⋅AB AD AB ADABD的中心为O，连接COAB，AD⊂平面ABD，故223⨯⨯=，OC=AB【详解】选项，取1CD BB 、的中点分别为对于B 选项，取11B C 中点T ,把直线BET △中，213,BE BT TE ==5252425cos 25226TBE +-∠==⨯，故选项对于C 选项，当球与直四棱柱的上底面和当球与直四棱柱的下底面和4对于D 选项，设四边形1111D C B A 内切圆半径为1111314416,22A B C D S r r =⨯⨯=⨯⨯=由题可知在直四棱柱11ABCD A B C -心P ,如图建系，()(10,0,33,0,2,0P A 此时两球心的距离为31，【详解】由图可知：AB DE FG IJ JK=====AQC，∴30ACB∠=︒，∴BC十三边形的面积为316832⨯=．:83由122AF AF a -=，即1AM F +得122F M F N a -=，即1F E F -记C 点的横坐标为0x ，则(0,0E x 则()002x c c x a +--=，得0x a =（2）设底面圆的圆心为O ，过以O 为坐标原点，,,OA ON OG ()()(0,0,0,1,3,0,1,O B D --因为34AE AG =，所以由34AE =设()2π2cos ,2sin ,003F θθθ⎛≤≤ ⎝设平面BDE 的一个法向量为n ()30,23,0,,3,2DB BE ⎛==- ⎝ ∴2303333022y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取23cos -4（2）设点()00,P x y ，过点P 的直线的斜率为联立方程组()002244y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消y【点睛】关键点点睛：第二问，设切线方程，联立椭圆方程并整理，根据切线与椭圆的位置关系有Δ0=得到关于切线斜率的一元二次方程，求出直线的方程，利用根与系数的关系得到AB 12,d d ，则()1212PAOB S AB d d =+四边形，结合22．(1)1a <1x ∴>时，()()('0,h x p x h =<在1x =处取得极大值也是最大值存在两条切线重合等价于y =（2）因为12a =，由（1）知，取令()()'22ln 1,e x x x x ϕϕ=--当()0,e x ∈ 时，()'0,x ϕϕ<。

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试(一)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试(一)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考押题信息考试（一）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,m n R ∈，集合{2,lg }A m =，{},2nB m =，若{1}A B ⋂=，则m n +=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D 【解析】集合{}2,lg A m =，{},2nB m =，若{}1A B ⋂=.所以lg 1m =，解得10m =. 所以21n =，解得0n =. 所以10m n +=. 故选D. 2.已知复数3412iZ i-=- ，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】341121255i z i z i -==+-Q 在复平面内对应的点Z 坐标为112(,)55在第一象限，故选A. 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如图所示，由图知该几何体的俯视图为D ，故选D.5.若实数,x y 满足521x y x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A. 9B.203C.103D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()10514,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，.作直线:20l x y +=，平移直线l ，当其经过点B 时，z 取得最小值，min 105202333z =+⨯=， 故选B.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A. 12 B. 36C. 72D. 108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．7.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A. 8.执行如图的程序框图，则输出的n =( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的m ，n 的值，当5m =，4n =时满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4，从而得解.【详解】模拟程序的运行，可得：1m =，1n = 执行循环体，不满足条件m n >，3m =，2n =不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件m n >， 2m =，3n = 不满足条件9m n +=，执行循环体，不满足条件m n >，5m =，4n = 满足条件9m n +=，退出循环，输出n 的值为4. 故选：A .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题.9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若30MNA ∠=︒，则C 的离心率为( ) A. 3 B.3C. 2D.2【答案】C 【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A (a ,0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若30MNA ∠=︒,可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：sin 302bb =o， 可得：222b a b =+,即222223,3,2c b a c a a e a=-=∴==. 10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.26B.210C.3 D.310【答案】B 【解析】试题分析：以C 为原点，CA 为x 轴，在平面ABC 中过作AC 的垂线为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6， E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE=B 1E ，C 1F=13CC 1， ∴A 1（4，0，6），E （2，233），F （0，0，4），A （4，0，0），1A E u u u r =（-2，23-3），AF u u u r=（-4，0，4）， 设异面直线A 1E 与AF 所成角所成角为θ，则11·2cos 10425A E AF A E AF θ===⨯u u u r u u u ru u u r ．∴异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210考点：异面直线及其所成的角11.若曲线()ln (1)f x x a x =-+存在与直线210x y -+=垂直的切线，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1(,)2-+∞ B. 1[,)2+∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C 【解析】函数()()ln 1f x x a x =-+，0x >，则()11f x a x'=--，若函数()f x 存在与直线210x y -+=垂直的切线，可得1 12a x --=-有大于0的解，则1 10a x=->，解得1a >，则实数a 的取值范围是()1,+∞，故选C.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数()()ln 1f x x a x =-+的导函数，结合与直线210x y -+=垂直的切线斜率为2-，可得112a x--=-有大于0的解，分离参数，求出实数a 的取值范围.12.已知ABC V 是腰长为4的等腰直角三角形，AB AC =，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为( ) A. 4- B. 43-C. 0D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】如图建立坐标系，设(,)P x y ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论.【详解】如图建立坐标系，(0,2)A ，(2,0)B -，2,0)C ，设(,)P x y ， 则(,22)PA x y =-u u u r ，2(2,2)PB PC PO x y +==--u u u r u u u r u u u r，∴2222()242222(2)44PA PB PC x y x y ⋅+=-+=+-≥-u u u v u u u v u u u v，∴最小值为4-， 故选：A .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省高考数学押题试卷(6月份) (解析版)

2020年江苏省高考数学押题试卷(6月份) (解析版)

2020年高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝（n＝5，7，9，11，…）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝{1}．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，1}，∴M∩N＝{1}．故答案为：{1}．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为60．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，因为在[50，100）中的频数为24，所以n＝＝60，故答案为：60．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为8．【分析】按照程序框图一步一步代入求值，直到跳出循环，输出结果．解：a＝1，b＝1；b＝2，a＝2；b＝4，a＝3，b＝8，a＝4；跳出循环，输出b＝8，故答案为：8．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．【分析】利用排列组合数公式易求三人值班有A种，A排在C后一天值班的情况有C A 种，相比即可．解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A＝6种，其中A排在C后一天值班的情况有C A＝2种，所以A排在C后一天值班的概率P＝＝，故答案是．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，S0＝2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE＝AB＝1，则侧高SE＝＝，故棱锥的表面积S＝2×2+4×（×2×）＝4+4．故答案为：4+4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为﹣x2＝1．【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为x2﹣＝t，（t≠0），将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2﹣＝t，（t ≠0），又由双曲线经过点（﹣，6），则有（﹣）2﹣＝3﹣4＝t＝﹣1，则要求双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式可求cos4α的值，即可得解．解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方，可得1+sin2α＝，sin2α＝﹣，∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（﹣）2＝，∴sin2α+cos4α＝﹣+＝．故答案为：．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为400．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列方程组，解得a1＝1，d＝2，由此能求出S20．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，2a3﹣a5＝1，S10＝100，∴，解得a1＝1，d＝2，∴S20＝20×1+＝400．故答案为：400．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝+（n＝5，7，9，11，…）．【分析】由已知中＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出＝+．解：假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．【分析】设P（x0，y0），求出以AB为直径的圆的方程，与圆C联立，可得AB所在直线方程，代入（1，1），得P点轨迹，再由点到直线的距离公式求得线段PO长的最小值．解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），又|PC|＝，∴以PC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．故答案为：．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为2．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．解：已知正实数x，y满足，整理得：，所以＝，所以（当且仅当y＝2x等号成立）故的最小值为2．故答案为：213．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．【分析】用表示出，根据条件列方程计算cos∠DAB．解：＝+，设＝λ＝+λ＝+2λ，∵B，O，E三点共线，∴+2λ＝1，即λ＝．∴＝＝+，＝+，∴＝＝﹣，∴5•＝（+）•（4﹣2）＝﹣2+．若，则﹣2＝，又AB＝2AD，＝AB•AD•cos∠DAB，∴6（4AD2﹣AD2）＝51（2AD•AD•cos∠DAB），解得cos∠DAB＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．【分析】由已知化切为弦可得3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A ﹣cos A），得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．解：由＝1，得，∴4cos A sin B+3cos B sin A＝sin A sin B，∴3sin（A+B）+cos A sin B＝sin A sin B，即3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A﹣cos A），∴．∵0＜A＜π，∴＜＜，则当A﹣时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0法一：根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B法二：根据余弦定理可得，b×＝0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c＝2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cos A，利用同角平方关系可求sin A，代入三角形的面积公式S＝可求解：（1）法一：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B＝0∴（sin B cos A﹣sin A cos B）﹣2（sin B cos C+sin C cos B）＝0∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0∵A+B+C＝π∴sin C﹣2sin A＝0∴（法二）：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据余弦定理可得，b×＝0整理可得，c﹣2a＝0∴＝2（2）∵由（1）可知c＝2a＝4∴b＝3∴cos A＝＝，sin A＝＝∴△ABC的面积S＝＝＝16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．【分析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，而AD⊂平面AA1C1C∴BC⊥AD…①又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，由已知AA1＝AC＝A1D，则∠A1DA＝，同理∠C1DC＝，则∠ADC＝，即CD⊥AD，由①BC⊥AD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE＝EB，CO＝BO∴OE平行等于AC，而A1D平行等于AC，∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，∴A1E∥OD，而A1E⊄平面BCD，OD⊂平面BCD，∴A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理计算PB；（2）设行进时间为t，得出两人距离关于t的函数，解不等式得出t的范围即可得出结论．解：（1）AC＝＝5，cos C＝＝，在△PBC中，由余弦定理可得：PB2＝PC2+BC2﹣2PC•BC•cos C＝4+16﹣2•2•4•＝，∴PB＝千米．（2）设两保安出发t小时后，甲保安到达M处，乙保安到达N处（0≤t≤1）．则AM＝5（1﹣t），AN＝3t，又cos A＝，则MN2＝25（1﹣t）2+9t2﹣2•5（1﹣t）•3t•＝52t2﹣68t+25，令MN＞3可得52t2﹣68t+25＞9，即13t2﹣17t+4＞0，又0≤t≤1，解得：0≤t＜．∴两保安有小时不能通话．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾；可设直线AB的方程为y ＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得所求值；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，结合三角形的面积公式，计算可得所求值．解：（1）因为e＝＝，所以a2＝2b2，设椭圆方程为+＝1，将点（1，）代入可得+＝1，解得b＝，则a＝2，则椭圆的方程为+＝1；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾．所以直线AB的斜率存在．可设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，于是y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•+km（﹣）+m2＝，而k OA•k OB＝＝，即x1x2＝2y1y2，则＝2•，解得k2＝，即有k＝±，所以直线AB的斜率为±；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，因为原点O到直线AB的距离d＝，所以|CD|＝2＝2，由（2）当k＝时，x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣2，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，于是＝＝，解得m2＝3，因此△COD的面积S△OCD＝CD•d＝•2•＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【分析】（1）令n＝1，结合S1＝a1及题设条件可得2a1＝a1+λ，进而得解；（2）利用S n+1﹣S n＝a n及题设条件可得2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，进而得到2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，化简整理即可得证；（3）由（2）问题等价于，令，题目条件进一步转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，然后再分类讨论得出结论．解：（1）当n＝1时，，∴2a1＝a1+λ，解得λ＝a1＝1；（2）证明：由题意知，，∴2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，∴，∴2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，∴（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1＝2（n﹣1）a n，又n≥2，n∈N•，∴n﹣1＞0，∴a n+1+a n﹣1＝2a n对任意n≥2，n∈N•都成立，∴数列{a n}是等差数列；（3）由（2）可知，|S m﹣2m|＜m+1，即，即，∴，令，题目条件转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，若m＝1符合，则2t＜2，即t＜1；若m＝2符合，则2t＜3，即；若m＝3符合，则t为任意实数，即m＝3以外只能有1个m符合要求；当m≥4，m∈N•时，tm（m﹣3）＜m+1，解得，令x＝m+1≥5，则，令，则，当x≥5时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴，∴，∴当时，至少存在m＝2，3，4满足不等式，不符合要求；当时，对于任意m≥4，m∈N•都不满足不等式，m＝1也不满足，此时只有m＝2，3满足；当时，只有m＝3符合；故，即，解得或，∴λ的取值范围为．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．【分析】（1）根据导数的几何意义知f′（e）＝，由此构造方程求得结果．（2）将问题转化为ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，恒成立的问题，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，分别在a＝0，a＞0和﹣≤a＜0，或a≤﹣1时，结合函数单调性确定最小值，令φ（x）min≥0，从而求得a的取值范围．（3）根据（2）的结论可知f（x）在（1，2）上单调递增，分类讨论可确定≤2ln（2x﹣3），将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果．解：（1）由题意得：f′（x）＝＝，因为y＝f（x）的函数图象在x＝e处的切线的斜率为，所以f′（e）＝，所以，解得（ae+1）2＝（1﹣e）2，所以ae+1＝±（1﹣e），所以a＝﹣1或．（2）因为函数f（x）在（1，2）上单调递增，所以对于任意的x∈（1，2），都有f′（x）≥0恒成立，即ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，当a＝0，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，由x≠﹣得：﹣，即a＞0，或﹣或a≤﹣1，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，则φ′（x）＝﹣alnx，①当a＞0且x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（2）≥0，即2a+1﹣2aln2≥0，解得a≥，所以a＞0满足题意，②当﹣≤a＜0或a≤﹣1，且x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（1，2）上单调递增，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（1）≥0，即a+1﹣aln1≥0，解得a≥﹣1，所以﹣≤a＜0或a＝﹣1，综上所述：a的取值范围是{﹣1}∪[﹣，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＝﹣1时，函数f（x）在（1，2）上单调递增，此时f（x）＝＝，当1＜x≤时，f（x）≤f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≤0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，当≤x＜2时，f（x）≥f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≥0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，综上，对于任意x∈（1，2），都有，所以≤2ln（2x﹣3）+2ln（2y﹣3）＝2ln（2x+2y﹣6）＝0，结论得证．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【分析】（1）推导出＝，从而，由点P'（x'，y'）在曲线＝1，得＝1．再由x2+y2＝1，能求出矩阵A．（2）由|λI﹣A|＝＝0，求出λ1＝3，λ2＝1，由此能求出矩阵A的特征向量．解：（1）P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则＝，即，又∵点P'（x'，y'）在曲线＝1，∴＝1．由已知条件可知，x2+y2＝1，∴a2＝9，b2＝1．∵a＞0，b＞0，∴a＝3，b＝1．∴A＝．（2）∵A＝．∴|λI﹣A|＝＝0，解得λ1＝3，λ2＝1，把λ1＝3代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x2＝0，∴λ1＝3的特征向量为，把λ1＝1代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x1＝0，∴λ2＝1的特征向量为．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．【分析】化曲线的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，进一步化为参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解．解：由（α为参数），消去参数α，得；由ρ（sinθ+cosθ）＝2，得ρsinθ+ρcosθ﹣2＝0，即x+y﹣2＝0．设直线l的参数方程为，代入，得．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【分析】根据条件，可得＝，然后利用柯西不等式求出其最小值即可．解：∵a，b，c为正实数且满足a+b+c＝3，∴，即，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为12．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．【分析】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，结合排列组合的思想逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝，所以2和4不相邻的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，P（X＝0）＝（先确定3的位置）或（P（X＝0）＝1﹣P （X＝1）﹣P（X＝2）＝）．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．解：（1）若a1＝3，则1+3≤2+a2，故a2＝2，则a3＝1．若a2＝3，则2+a2≤3+a3，则a3≥2．故a2＝2，则a1＝1．若a3＝3，则a1＝1，a2＝2，或a1＝2，a2＝3．所以当n＝3时，满足条件的数列T为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T为4．（2）设满足条件的数列T的个数为b n，显然b1＝1，b2＝2，b3＝3．不等式i+a i≤j+a j中取j＝i+1，则有i+a i≤i+1+a i+1，即a i≤1+a i+1．①当a1＝n，则a2＝n﹣1，同理a3＝n﹣2，…，a n＝1．②当a i＝n，（2≤i≤n），则a i+1＝n﹣1，同理a i+2＝n﹣2，…，a n＝i．即a i＝n以后的各项是唯一确定的．a i＝n之前的满足条件的数列的个数为b i﹣1．所以：当n≥2时，b n＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1+1．（*）．当n≥3时，b n﹣1＝b n﹣2+b n﹣3+…+b1+1．代入（*）式得到b n＝b n﹣1+b n﹣1＝2b n﹣1，且满足b2＝2b1．所以对任意n≥2的，都有b n＝2b n﹣1，又b1＝1，所以．综上所述，满足条件的数列T的个数为2n﹣1．。

高考数学原创押题卷1

高考数学原创押题卷1

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作原创押题卷(一)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{}y | y ＝2x ，B ＝{x |x 2－2x －3>0，x ∈R }，那么A ∩()∁U B ＝( )A.(]0，3B.[]－1，3C. ()3，＋∞D.()0，－1∪()3，＋∞2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.12＋i B. 5 C.52 D.543．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数”是“函数g (x )＝(1－a )·a x 在R 上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x －，标准差为s ，则数据3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和标准差分别是( )A ．3x －和9sB ．3x －和3sC ．3x －＋2和9sD ．3x －＋2和3s5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 6．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y －1的最大值为( )A ．5B ．4 C.12 D. －37．某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )图1A.16B.12C.23D.568．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S 的值为 ( )图2A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×29．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB→＝0，则k ＝( )A.2B.22C. 12 D ．210．设f (x )是定义在R 上的偶函数，∀x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －2，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)在区间(－1,9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19∪(7，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1∪(1，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，15∪(3，7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，13∪(5，3) 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n ＝__________.12．已知直线x －y ＋1＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．13．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．14．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________． 15．设x >0，y >0,2x ＋y ＝2，则2x ＋1＋1y 的最小值为________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (本小题满分12分)已知向量a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )＝a ·b －2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最值．17. (本小题满分12分)6件产品中有2件一等号，3件二等品，1件次品． (1)从中任选3件产品，求至少有1件一等品的概率；(2)若一等品盈利80元，二等品盈利50元，次品亏损10元，任选3件产品，求盈利低于150元的概率．18. (本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <32.19. (本小题满分12分)已知P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BA ⊥AD ，CD ＝AD ＝AP ＝4，AB ＝2.图3(1)求证：CD ⊥平面ADP ；(2)M 为线段CP 上的点，当BM ⊥AC 时，求三棱锥B -APM 的体积． 20．(本小题满分13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过原点，且线段的垂直平分线交y 轴于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，求直线l 的方程．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x －2ln x －ax ＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )－a .(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数g (x )有零点，求实数a 的取值范围．【详解答案】1.【解析】 A ＝{}y | y ＝2x ＝{}y |y >0，∁U B ＝{}x | x2－2x －3≤0，x ∈R ＝{}x | －1≤x ≤3，所以A ∩()∁U B ＝{}x | 0<x ≤3，故选A. 【答案】 A2.【解析】 由已知得－2a ＋i ＝1－b i ，所以a ＝－12，b ＝－1，则a ＋b i ＝－12－i ，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 2＋(－1) 2＝54＝52，故选C.【答案】 C3.【解析】 因为f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数，则有a >1；g (x )＝(1－a )·a x在R 上为减函数，则有⎩⎨⎧ 0<a <1，1－a >0或⎩⎨⎧a >1，1－a <0，故a 的取值范围是a >0且a ≠1.故前者是后者的充分不必要条件，故选A.【答案】 A 4.【解析】 依题意，(3x 1＋2)＋(3x 2＋2)＋…＋(3x n ＋2)n＝3(x 1＋x 2＋…＋x n )＋2n n ＝3n x －＋2n n＝3x －＋2，[(3x 1＋2)－(3x －＋2)]2＋[(3x 2＋2)－(3x －＋2)]2＋…＋[(3x n ＋2)－(3x －＋2)]2n＝3(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2n＝3s .【答案】 D5.【解析】 由2sin φ＝3及|φ|<π2得φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－π6＋k π2，令k ＝0，得x ＝－π6，故选B.【答案】 B6.【解析】 作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，如图：其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.目标函数z ＝2x －y －1可变形为y ＝2x －z －1，其表示斜率为2，在y 轴上截距为－z －1的一组平行线；将直线l ：z ＝2x －y －1进行平移， 当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ，所以z max ＝2×2－(－1)－1＝4，故选B. 【答案】 B7.【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正方体切去了一个三棱锥得到的几何体．所求的几何体的体积为V ＝1×1×1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝56，故选D.【答案】 D8.【解析】 由程序框图，每次循环中，参数T ，S ，k 的值依次为(1,1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3，1＋12＋12×3，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×4，1＋12＋12×3＋12×3×4，5，这里k ＝5>4结束循环，输出结果为B.【答案】 B 9.【解析】过点F (2,0)且斜率为k 的直线的方程为：y ＝k (x －2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若MA →·MB →＝0，则MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0， ①由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x ， 消去y 并整理得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2， ②消去x 并整理得ky 2－8y －16k ＝0， ∴y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8k ，③ 将②，③代入①并整理得k 2－4k ＋4＝0， ∴k ＝2，故选D. 【答案】 D10.【解析】 由f (2－x )＝f (2＋x )，得f (x )关于直线x ＝2对称，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (2－x )＝f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)的零点即函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的交点，作出函数y ＝f (x )的图象：①若a >1，当函数y ＝log a (x ＋1)经过点A (2,2)时，函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)有2个交点，此时log a 3＝2，解得a ＝3，当函数y ＝log a (x ＋1)经过点B (6,2)时，函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)有4个交点，此时log a 7＝2，解得a ＝7，要使两个函数有3个交点，则3<a <7； ②若0<a <1，当函数y ＝log a (x ＋1)经过点C (4，－1)时，函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)有2个交点，此时log a 5＝－1，解得a ＝15，当函数y ＝log a (x ＋1)经过点D (8，－1)时，函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)有4个交点，此时log a 9＝－1，解得a ＝19， 要使两个函数有3个交点，则19<a <15.综上，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)在区间(－1,9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫19，15∪(3，7)，故选C.【答案】 C11.【解析】 设样本容量为n ，∵A ，B ，C 三种产品的数量之比依次为2∶3∶4，∴22＋3＋4＝18n ，解得n ＝81. 【答案】 8112.【解析】 圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，其圆心为(－1,2)，半径为5－a ，因为AC ⊥BC ，|AC |＝|BC |＝5－a ，所以(－1,2)到x －y ＋1＝0的距离为2(5－a )2，即|－1－2＋1|2＝2(5－a )2，解得a ＝1. 【答案】 113.【解析】 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 【答案】 k ≠114.【解析】 归纳出一般结论．由题意可得3＝1×3,10＝2×5,21＝3×7，推理可知第n 个等式的等号右边的结果是n ×(2n ＋1)＝2n 2＋n .【答案】 2n 2＋n15.【解析】 因为2x ＋y ＝2，所以2x ＋2＋y ＝4，2x ＋1＋1y ＝42x ＋2＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋2＋1y ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋4y 2x ＋2＋2x ＋2y ≥14×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24y2x ＋2×2x ＋2y ＝94，当且仅当4y2x ＋2＝2x ＋2y 时等号成立．【答案】 9416【解】 (1)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴－π3≤2x －π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴f (x )的最大值是0，最小值是－32－1.17.【解】 (1)设一等品为A 1，A 2，二等品为B 1，B 2，B 3，次品为C ， 则从中任取三件有(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，A 2，C )，(A 1，B 1，B 2)，(A 1，B 1，B 3)，(A 1，B 1，C )，(A 1，B 2，B 3)，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 3，C )，(A 2，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 3)，(A 2，B 1，C )，(A 2，B 2，B 3)，(A 2，B 2，C )，(A 2，B 3，C )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 2，C )，(B 1，B 3，C )，(B 2，B 3，C )，共20种情况，其中至少有1件一等品有16种情况， ∴P ＝1620＝45.(2)盈利低于150元分为两类：1个一等品1个二等品1个次品；2个二等品1个次品，其中1个一等品1个二等品1个次品包含6种情况：(A 1，B 1，C )，(A 1，B 2，C )，(A 1，B 3，C )，(A 2，B 1，C )，(A 2，B 2，C )，(A 2，B 3，C )；2个二等品1个次品包含3种情况：(B 1，B 2，C )，(B 1，B 3，C )，(B 2，B 3，C )，∴P ＝920.18【证明】 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1， ∴当n ≥2时，1n S n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <1＋121－12＋12－13＋…＋1n －1－1n <32－12n <32.19.【解】 (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面ADP ， 所以平面ADP ⊥平面ABCD .又因为平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊥AD ， 所以CD ⊥平面ADP . (2)取CD 的中点F ，连接BF ，在梯形ABCD 中，因为CD ＝4，AB ＝2， 所以BF ⊥CD .又BF ＝AD ＝4，所以BC ＝2 5. 在△ABP 中，由勾股定理求得BP ＝2 5. 所以BC ＝BP .又知点M 在线段PC 上，且BM ⊥PC ，所以点M 为PC 的中点． 在平面PCD 中过点M 作MQ ∥DC 交DP 于Q ，连接QB ，QA,则V 三棱锥B -APM ＝V 三棱锥M -APB ＝V 三棱锥Q -APB ＝V 三棱锥B -APQ ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×2×2＝83.20.【解】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0.则有x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2.Δ>0⇒4k 2＋1>t 2.y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝k 24t 2－41＋4k 2＋kt －8kt 1＋4k 2＋t 2＝t 2－4k 21＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点，所以O A →·O B →＝0⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1x 2＋y 1y 2＝4t 2－41＋4k 2＋t 2－4k 21＋4k2＝0⇒5t 2＝4＋4k 2， 又设A ，B 的中点为D (m ，n )，则m ＝x 1＋x 22＝－4kt 1＋4k 2，n ＝y 1＋y 22＝t 1＋4k 2.因为直线PD 与直线l 垂直，所以k PD ＝－1k ＝－32－n －m，得t 1＋4k 2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧t1＋4k 2＝12，5t 2＝4＋4k 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝1，t 2＝－35，当t ＝－35时，Δ>0不成立． 当t ＝1时，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x ＋1.21.【解】 (1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax 2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f (x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1，＋∞)． (2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)知，当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1， 且f (x )在定义域上是增函数得f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0， 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故x ＝1时，g (x )取得最大值－e. 因为函数g (x )有零点，所以a <－e ， 所以实数a 的取值范围为(－∞，－e)．。

2020年泄露天机高考数学(文)押题预测卷答案(一)

2020年泄露天机高考数学(文)押题预测卷答案(一)

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|B y y ==，则A B =（ ）A ．{2}B ．{0}C ．[2,2]-D ．[0,2]2．若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ） A ．25BC ．5D ．173．从[6,9]-中任取一个m ，则直线340x y m ++=被圆222x y +=截得的弦长大于2的概率 为（ ） A ．23 B ．25C ．13D ．154．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺， 则该女子织布每天增加（ ）A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺5．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．125π+D ．2412π+6．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间， 频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为3507．已知252(231)(1)a x x x++-的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A ．10-B ．7-C ．10D ．98．已知双曲线C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且双曲线的渐近线方程为y =， 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．3或2D ．2或39．已知正项数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，且有223526324002a a a a +=-，2410S S =，则第2019项的个位数为（ ） A ．1B ．2C ．8D ．910．已知函数2()f x x ax =+的图象在12x =处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．1314B ．1415C ．1516 D ．161711．已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 在]32,2[ππ-上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，且函数)(x f 在]12,3[ππ-上具有单调性，)0,6(π-和π127=x 分别为函数)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A ．函数)(x f 图象的两条相邻对称轴之间的距离为4πB ．函数)(x f 图象关于直线3π-=x 对称C ．函数)(x f 图象关于点)0,12(π-对称D ．函数)(x f 在)2,6(ππ上是单调递减函数12．已知函数()f x 在(0,1)恒有()2()xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则（ ） A ．)(sin sin )(sin sin 22βααβf f > B ．)(cos sin )(sin cos 22βααβf f > C ．)(cos cos )(cos cos 22βααβf f > D ．)(cos sin )(cos sin 22βααβf f >第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题

押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题

押新高考卷1题集合考点3年考题考情分析集合2022年新高考Ⅰ卷第1题2022年新高考Ⅱ卷第1题2021年新高考Ⅰ卷第1题2021年新高考Ⅱ卷第2题2020年新高考Ⅰ卷第1题2020年新高考Ⅱ卷第1题高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的新高考试题，均考查集合间的交集、并集和补集的基本运算．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕集合间的基本关系展开命题．1.集合有n 个元素，子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集个数为22n -个.2.{}B x A x x B A ∈∈=且 ，{}B x A x x B A ∈∈=或 3.{}Ax U x x A C U ∉∈=且1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.。

天津市咸水沽第一中学2023届高考押题卷(一)数学试题(含答案解析)

天津市咸水沽第一中学2023届高考押题卷(一)数学试题(含答案解析)

天津市咸水沽第一中学2023届高考押题卷（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为4．函数333()x x f x x -+=的图象大致是（A ．．．．．已知2log 3a =，0.42b =b ，c 的大小关系是（）．b a c <<B ．a a b c <<D ．b<c<a．如图，在正四棱柱ABCD 是侧棱1CC 上一点，且1C P =棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱111B C D 的体积为V ，则1V V的值为（A ．12B ．1316D ．187．已知双曲线2222:1(x y C a a b-=的渐近线与抛物线2:2(0)E y px p =>交于A B 、两点，若抛物线的焦点为FB ，则双曲线C 的离心率为（A ．2B ．32D ．8．下列关于函数()4cos f x =（1）它的最小正周期是（2）π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是它的一个对称中心（3）π6x =是它的一条对称轴（4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为A ．0B ．9．如图，在四边形ABCD N 在线段CD （端点除外）上运动，则A．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．二、填空题10．已知21i(R) 1iaa=-∈+11．在代数式721xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是三、双空题12．已知直线l：y kx=被圆圆C上到直线l的的距离为13．甲、乙两人每次投篮命中的概率分别人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为三次的概率为_______．四、填空题五、解答题(1)证明：BE DC ⊥；(2)求直线BE 与平面PBD (3)若F 为棱PC 上一点，满足18．在平面直角坐标系xOy 右焦点，且椭圆C 经过点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆求直线l 的斜率．19．已知{}n a 是公比为q 的等比数列．公差为21k a -的等差数列{(1)求{}n a 的通项公式；(2)求(2)(2)111ni i i b b=+∑；(3)求()1i ink b =∑．20．已知12a <≤，函数f （Ⅰ）证明：函数()y f x =（Ⅱ）记x 0为函数(y f x =参考答案：因为1MC MD CD ===，即且||1MA =，所以()(NA NB NM MA NM ⋅=+ 故选：A依题意，(1,0,0),(2,2,0),B C 向量()0,1,1BE = ，(2,0,0DC =uuu r （2）向量(1,2,0),BD PB =- 则2020n BD x y n PB x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，令于是有cos ,|||n BEn BE n BE ⋅〈〉=。

浙江省学军中学2024年高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学试题试卷

浙江省学军中学2024年高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学试题试卷

浙江省学军中学2024年高考押题金卷（全国卷Ⅰ）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．22．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2594．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．已知函数2()sin 3sincos444f x x x x πππ=-，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20207．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5 C ．2或9D ．1或59．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±11．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-22B ．22C ．-12 D ．1212．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．1925二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考考前押题密卷(全国甲卷) 数学理试题

高考考前押题密卷(全国甲卷) 数学理试题

数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．14 B．74．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约A ．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为B ．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C ．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D ．该公司2022年营收总额约为30800万元5．函数的图象大致为（ ） ()21ln 11x x x f x x x -+⎛⎫= ⎪--⎝⎭． ．C ．6．数列中，{}n a n a 做期盼数，则区间[1,A ．20237．已知，函数0w >A ．平面 //BD 11CB DC ．与共面1D C 1AC 11．若存在，使得关于[)1,x ∞∈+（ ）A ．B ．四边形5AB = 255,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．是其左、右顶点，M 是椭圆上分别与椭圆交于C ，D 两点． ，求的内切圆的最大面1CF D.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：. 22e a mn a <<（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-+m ，正数a ，b ，c 满足a b ++2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）数学（理科）·参考答案题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．设，则ABI θ∠=BAI ∠在中，由正弦定理得，ABI △因为分别是的中点，所以，且，（1分）,H F 11,DD CC //HF AB =HF AB 所以是平行四边形，所以.因为，所以ABFH AH 14DD DG =14DD DG =又，所以是的中点.（5分）12DD DH =2DH DG =G DH 又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．E AD //EG BF ,,,B E G F （2）如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 则，，，，，()2,2,0B ()1,0,0E (0,C )0,2,1()2,0,0A ()12,0,2A 1C ，.（7分） ()10,2,2BA =- ()12,0,2BC =- ，)z（2）①设，则(4,)(0)P t t ≠， 2:2PB l x y t=+联立方程，得226234120x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪21．【详解】（1）由题意，(f 所以有两个不相等正根，即ln 3a x x+=记函数，则()3ln h x x x x =-h 令，得，令()0h x '=2e x =(h x '所以函数的单调递增区间为()3ln h x x x x =-要使有两个不相等正根，则函数3ln a x x x =-由图知，故实数a 的取值范围20e a <<（2）函数定义域为()f x ()(0,,f '+∞当时，，在0a ≤()0f x ¢>()f x (0,+当时，若时，0a >0x a <<()0f x '<第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当时，，0x ≤()2342f x x x x =--=-+解，即，解得；()10f x ≥4210x -+≥2x ≤-当时，，02x <≤()2322f x x x x =-+=+解，即，解得，无解； ()10f x ≥2210x +≥4x ≥当时，，2x >()2342f x x x x =-+=-解，即，解得.（4分）()10f x ≥4210x -≥3x ≥综上所述，不等式的解集为. （5分）()10f x ≥(][),23,-∞-+∞ （2）由（1）可知，.()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩当时，；0x ≤()422f x x =-+≥当时，；02x <≤()222f x x =+>当时，，（7分）2x >()426f x x =->所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）()f x 2m =2a b c ++=由柯西不等式可得，，（9分） ()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=当且仅当时，等号成立.所以，所以。

2020年高考理科数学押题卷全国大纲卷

2020年高考理科数学押题卷全国大纲卷

2020年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()．A．3 B．4 C．5 D．6答案：B解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．2．(2020大纲全国，理2)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：∵(2－i)2＝3－4i，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3．(2020大纲全国，理3)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()．A．B．C．D．答案：A解析：由题意可知AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，故AB在CD方向上的投影为2AB CDCD⋅==.4．(2020大纲全国，理4)若变量x，y满足约束条件2,1,1.y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x＋2y的最大值是()．A．52-B．0 C．53D．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x＋2y＝d，即122dy x=-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以dmax ＝145333+=. 5．(2020大纲全国，理5)函数y－x)的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1]．故选B. 6．(2020大纲全国，理6)下面是关于公差d ＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；p4：数列{an ＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( )． A ．p1，p2 B ．p3，p4 C ．p2，p3 D ．p1，p4 答案：D解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则na n ＝1，故p3是假命题．故选D.7．(2020大纲全国，理7)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案：D解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为5C r rx(0≤r≤5，r ∈Z)，则含x2的项为225C x＋ax·15C x＝(10＋5a)x2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.8．(2020大纲全国，理8)过点0)引直线l 与曲线yA ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A．3 B．3- C．3±D．答案：B解析：曲线y若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝(k x，则点O到l的距离d=.又S△AOB＝12|AB|·d＝22111222d dd-+⨯=≤=，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝12时，S△AOB取得最大值．所以222112kk=+，∴213k=，∴k=.故选B.9．(2020大纲全国，理9)已知函数f(x)＝220ln(1)0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0]答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．10．(2020大纲全国，理10)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()．A．43B．2 C．83D．3答案：C解析：由题意可知，l的方程为y＝1. 如图，B点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.11．(2020大纲全国，理11)抛物线y ＝x2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．A. (-2,1/3) B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(-1,1/2) D ．(1/2,2) 答案：B解析：由题意可知抛物线y ＝x2在x ＝1处的切线方程为y ＝2x －1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x ＋2y ＝0平移到过点A 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，x ＋2y 取得最大值12.当直线x ＋2y ＝0平移到过点B(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2.因此所求的x ＋2y 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 12．(2020大纲全国，理12)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝2e 8，则x ＞0时，f(x)( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 答案：D解析：令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx ，F(2)＝4·f(2)＝2e 2. 由x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx ，得x2f′(x)＝e x x －2xf(x)＝2e 2x x f x x -()， ∴f′(x)＝3e 2x F x x -().令φ(x)＝ex －2F(x)，则φ′(x)＝ex －2F′(x)＝2e e (2)e x x xx x x --=.∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0. ∴φ(x)≥0.又x ＞0，∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2020大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．(2020大纲全国，理14)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 答案：96解析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．15．(2020大纲全国，理15)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)＞x 的解集用区间表示为__________． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f(x)＝x2－4x ，则f(x)＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．16．(2020大纲全国，理16)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．答案：16π－16 解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2020大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知S3＝22a ，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式． 解：设{an}的公差为d. 由S3＝22a 得3a2＝22a ，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得22S ＝S1S4.又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0，此时Sn ＝0，不合题意； 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d ＝0或d ＝2. 因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1.18．(2020大纲全国，理18)(本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B. (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ．① 又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以π4B =.(2)△ABC的面积1sin 2S ac B ==.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－π2cos4ac .又a2＋c2≥2ac，故ac ≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC.19．(2020大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝2AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD ；(2)求二面角D －A1C －E 的正弦值．解：(1)连结AC1交A1C 于点F ，则F 为AC1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC1∥DF. 因为DF ⊂平面A1CD ，BC1平面A1CD ，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC ＝CB＝2AB 得，AC ⊥BC.以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz. 设CA ＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)． 设n ＝(x1，y1，z1)是平面A1CD 的法向量，则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩ 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A1CE 的法向量， 则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m〉＝||||=·n m n m ，故sin 〈n ，m〉＝3.即二面角D－A1C－E的正弦值为.20．(2020大纲全国，理20)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝1 2；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝1 3；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝1 6.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P(ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P(ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P(ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.21．(2020大纲全国，理21)(本小题满分12分)设{an}是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，Sn 是其前n 项和．记2nn nS b n c =+，n ∈N*，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk ＝n2Sk(k ，n ∈N*)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c ＝0. 证明：由题设，(1)2n n n S na d -=+.(1)由c ＝0，得12n n S n b a d n -==+.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以22b ＝b1b4，即23=22da a a d⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.(2)设数列{bn}的公差是d1，则bn＝b1＋(n－1)d1，即2nnSn c+＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的n∈N*，有3211111122d d n b d a d n cd n⎛⎫⎛⎫-+--++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝c(d1－b1)．令A＝11 2d d-，B＝b1－d1－a＋12d，D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，从而有111 730, 1950, 2150,A B cdA B cdA B cd++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.即11 2d d-＝0，b1－d1－a＋12d＝0，cd1＝0.若d1＝0，则由11 2d d-＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.22．(2020大纲全国，理22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋32x＋1＋2xcosx．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤11x +；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex. 记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－e－x)，当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11x +，只需证明ex≥x ＋1.记K(x)＝ex －x －1，则K′(x)＝ex －1，当x ∈(0,1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤11x +，x ∈[0,1]．综上，1－x≤f(x)≤11x +，x ∈[0,1]．(2)解法一：f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x －312cos 2x ax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ≥1－x －ax －1－32x －2xcos x＝－x(a ＋1＋22x ＋2cos x)．设G(x)＝22x ＋2cos x ，则G′(x)＝x －2sin x.记H(x)＝x －2sin x ，则H′(x)＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0,1]上是减函数． 于是G(x)≤G(0)＝2，从而a ＋1＋G(x)≤a ＋3.所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤3112cos 12x ax x x x ----+ ＝32cos 12x x ax x x x ----+ ＝212cos 12x x a x x ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭， 记I(x)＝2112cos ()121x a x a G x x x +++=++++，则I′(x)＝21'()(1)G x x -++，当x ∈(0,1)时，I′(x)＜0，故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．解法二：先证当x ∈[0,1]时，1－12x2≤cos x≤1－14x2.记F(x)＝cos x －1＋12x2，则F′(x)＝－sin x ＋x.记G(x)＝－sin x ＋x ，则G′(x)＝－cos x ＋1，当x ∈(0,1)时，G′(x)＞0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x ∈(0,1)时，G(x)＞G(0)＝0，从而F(x)在[0,1]上是增函数．因此F(x)≥F(0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，1－12x2≤cos x.同理可证，当x ∈[0,1]时，cos x≤1－14x2.综上，当x ∈[0,1]时，1－12x2≤cos x≤1－14x2.因为当x ∈[0,1]时，f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x －312cos 2x ax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ≥321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ＝－(a ＋3)x.所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x －312cos 2x ax x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ≤3211121122x ax x x x⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ ＝23(3)12x x a x x +-++ ≤32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以存在x0∈(0,1)(例如x0取33a和12中的较小值)满足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)．。

(泄露天机)高考数学押题试卷文理(全国卷)

(泄露天机)高考数学押题试卷文理(全国卷)

（泄露天机）高考数学押题试卷文理（全国卷）一、选择题1.(文)已知集合{1,2}A =-，A B =（ ）（A ）{0} （B ）{2} （C ）{0,1,2} （D ）∅ 1.B{}2A B =.（理）若集合{0}A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R1.A 由AB B =知B A ⊆,故选A .2.已知复数121,1z i z i=-=+，则12z z i 等于（ ）（A ）2i （B ）2i - （C ）2i + （D ）2i -+2.B 212(1)(1)122z z i i i ii i i i ⋅-+-====-.3.已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ）（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∧⌝是真命题 （D ）命题()p q ∨⌝是假命题3.D 因为命题:p R x ∃∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ∀∈，1xe >，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题.4.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ）（A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12-4.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23a a ----==-.又1232,,,,8b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-⨯-==（舍去），24b =-，所以21221.42a ab --==-5.已知1122log log a b<，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b > （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -< 5.A 由1122log log a b<得，0a b >>，所以111()()()443a b b<<. 6.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥6.B A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 7.（文）“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B ∵010)1ln(<<-⇔<+x x ，∴“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要不充分条件．（理）已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B 函数21xy m =+-有零点时，10,1m m -<<，不满足01m <<，所以“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”不成立；反之，如果“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”，则有01m <<，10,m -<所以，“函数21xy m =+-有零点”成立，故选B .8.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A）向左平移6π个单位长度（B）向右平移12π个单位长度（C）向右平移6π个单位长度（D）向左平移12π个单位长度8.C由图可知74123TTπππ=-⇒=则22πωπ==，又sin(2)03πϕ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()sin3(2)f x xπ=+，为了得到sin2y x=的图象，只需把()sin(2)si3n26y f x x xππ⎡⎤⎛⎫==+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度.9.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）（A）20（B）25（C）22.5（D）22.759.C产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,设中位数是x，则由0.10.20.08(20)0.5x++⋅-=得，22.5x=．10. 如图，1F、2F分别是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两个焦点，以坐标原点O为圆心，1FO为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若2F AB∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A3（B）2（C31（D3110.D 依题213AF AF=，12122c F F AF==，所以()211231a AF AF AF=-=-，()1123131AFcea AF===+-.11.如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c满足,(,)c xa yb x y R=+∈，则x y+=（）（A）0（B）1（C）55（D）13511.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c==-=，由,(,)c xa yb x y R=+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y=+-=+-所以2324x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得11525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，x y+=5，选D.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）（A）22（B）5（C）6（D）312.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABES S S=⨯⨯===⨯⨯=151522ACDS=⨯⨯=.13.(文) 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b，则使得函数222()2f x x ax bπ=+-+有零点的概率为（）（A）78（B）34（C）12（D）1413.B若使函数有零点，必须222(2)4()0a bπ∆=--+≥，即222a bπ+≥．在坐标轴上将,a b的取值范围标出，如图所示当,a b满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分，因此概率为223144ππ-=．π2π2π-2π-2π-πaOb（理）2321(2)xx+-展开式中的常数项为（）（A）-8 （B）-12 （C）-20 （D）2013.C ∵236211(2)()x xx x+-=-，∴6621661()(1)r r r r r rrT C x C xx--+=-=-，令620r-=，即3r=，∴常数项为336(1)20C-=-.14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k的值是（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）814.A 第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：168,22n k ===；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52n k ===，这时符合条件输出5k =.15.已知{}n a 是首项为32的等比数列，nS 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）4515.A 根据题意3633164S S q S ，所以14q，从而有72113224nnn a ，所以2log 72na n，所以有2log 27na n ，所以数列的前10项和等于2(51)2(113)5311357911135822.16.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A+B +=，则角=A （ ）（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）3016.D 由于G是ABC∆的重心，0=++∴GCGBGA，()GAGBGC+-=∴，代入得()33caGA bGB GA GB+-+=，整理得3333c ca GAb GB⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cba33==∴bcacbA2cos222-+=∴2223333323c c cc c⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23=，因此030=A.17.(文)函数()2sin1xf xx=+的图象大致为（）17.A函数()f x定义域为R,又()()()()22sin sin11x xf x f xxx--==-=-+-+,∴函数()f x 为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C、D，又当0πx<<时，sin0x>,所以()0f x>可排除B，故A正确.（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当0x=时，13h=．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数()h f x=的图像为（）17.C 由题意得，每分钟滴下药液的体积为3cm π当134≤≤h 时，),13(42h x -⋅⋅=ππ即,1613xh -=此时1440≤≤x ；当41<≤h 时，),4(29422h x -⋅⋅+⋅⋅=πππ即,440xh -=此时156144≤<x 所以，函数在[]156,0上单调递减，且156144≤<x 时，递减的速度变快，所以应选（C ）18 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF=（ ）（A ） 25 （B ）38（C ） 3 （D ） 618.B 如下图所示，抛物线C ：x y 82=的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x 轴的交点为()2,0N - ，||4FN =过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知||||QM QF = 又因为QF PF 3=，所以，||2||2||PQ QF QM ==所以，28433QM PQ QM FN PF =⇒=⨯=所以，83QF QM ==19.已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）52 （D ）319.B 如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故1sin AO APO OP OP ∠==最大，故OP 最小即可，其最小值为点O到直线0x y +-=的距离2d =，故1sin 2APO ∠=，此时0260APB APO ∠=∠=，且PA PB ===，故3cos 2PA PB PA PB APB⋅=⋅∠=． 120.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞20.B 设()()212g x f x x =- 因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ，所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=---+-=()()20f x f x x -+-=所以，函数()()212g x f x x =-为奇函数； 又因为，在),0(+∞上x x f <')(，所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-<即函数()()212g x f x x =-在),0(+∞上为减函数， 因为函数()()212g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数， 所以函数()()212g x f x x =-在R 上为减函数， 所以，()()()()()221144422g m g m f m m f m m --=----+()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥所以，实数m 的取值范围为),2[+∞. 二、填空题21.（文）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则m = ． 21.8 由题意得6,834m m ==.（理）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ．21. 2 由题意得6,834m m==，即681403470x y x y++=⇒++=，所以它们之间的距离2=22. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-，那么输出的结果是．22.10 若输入2-，则0x>不成立，所以()22313110y--=+=+=，所以输出的值为10．23.（文）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A,编号落入区间[301,495]的人做问卷B,编号落入区间[496,600]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C的人数为．23.8 由于1250600=，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为()91211-=-+=ndnaan，落在区间[]600,496的人做问卷C满足600912496≤-≤n，得1295012142≤≤n，由于n是正整数，因此5043≤≤n，人数为8人.（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种（用排列组合表示）．23.218218A A先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有22A种不同方法；再安排其余人员，有1818A种不同方法；所以，共有181822AA种不同方法.24.函数)12lg()(xaxf++=为奇函数，则实数=a .24.-1 因为函数)12lg()(xaxf++=为奇函数，所以()()x fxf-=-，即2221lg()lg()21111a a ax x x ax+=-+⇒+=-+-++2222211(2)11(1)2xa x a a x ax a x+⇒+=⇒-=+-⇒=--++25.已知正实数,,x y z满足112x x yzy z⎛⎫++=⎪⎝⎭，则11x xy z⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 .25.2由题知112x x yzy z⎛⎫++=⎪⎝⎭即22x x yzxy z++=于是可将给定代数式化简得2111112222x x yz yzx x xy z y z yz yz yz⎛⎫⎛⎫++=+++=+≥=⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2yz=时取等号.26. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从M点测得A 点的俯角30NMA︒∠=,C点的仰角45CAB∠=︒以及75MAC∠=︒；从C点测得60MCA∠=︒已知山高200BC m=，则山高MN=m．26.300 在ABC∆中, 45,90,200BAC ABC BC∠=︒∠=︒=2002002sin 45AC ∴==︒AMC ∆中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM ACACM AMC =∠∠即1002,sin 60sin 45AM =︒︒解得2003AM =,在Rt AMN ∆中sin MN AM MAN =⋅∠2003sin 60=⨯︒300()m =．27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++=．27. 100711a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,---偶数项为1,2,3,，故201320150a a +=，20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n+=+.记第n 个k 边形数为(),N n k （3k ≥），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N =.1000()211,312322N n n n n=++++=+，()()2,413521N n n n =++++-=，()()231,51473222N n n n n=++++-=-()()2,6159432N n n n n=++++-=-，从中不难发现其中的规律：(),N n k 就是表示以1为首相，()2k -为公差的等差数列前n 项的和，即有()()(),112122N n k k k =++-++⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦()()11122n n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦=，所以()()()101110124210,2410002N ++-⋅-⎡⎤⎣⎦==.28.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．28.13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所以302x <<，正六棱柱的体积223333()66)V x x y x x ==-，2'()3()V x x x =-，令2'()273()0V x x x =->，解得01x <<，令2'()273()0V x x x =-<得312x <<，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3(1,)2是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22y OE x =+=所以外接球的表面积为2413.S R ππ==29.我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a b y a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线； ②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 _________ ．29.①②③④对于①，215,122+==b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e解得251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，a b NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，a b c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线.30.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”；③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号） 30.①③④①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，则)()1(x f x f -=-，则)()1()2(x f x f x f =--=-，所以它是周期为2的周期函数；②假设函数()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使)()(x Tf T x f =+对于R x ∈恒成立，即Tx T x =+，即0)1(=--T x T 恒成立，则1=T 且0=T ,显然不成立；③设x T x T -+-⋅=22)(，即T T =-2,易知存在非零常数T ，使T T =-2成立，所以函数-()2x f x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则x T T x T x ωωωωcos )cos()(cos =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”；故选①③④. 三、解答题31.设函数π()4cos sin()3f x x x=-+x∈R.（Ⅰ）当π[0,]2x∈时，求函数()f x的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x=的图象与直线1y=有交点，求相邻两个交点间的最短距离.解析：（Ⅰ）解：因为1()4cos(sin)2f x x x x=-+ 3cos32cossin22+-=xxxxx2cos32sin-==π2sin(2)3x-，因为π2x≤≤，所以ππ2π2333x--≤≤，所以sin(π2)123x--≤，即()2f x≤，其中当5π12x=时，()f x取到最大值2；当0x=时，()f x取到最小值所以函数()f x的值域为[2].（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x-=，π1sin(2)32x-=，所以ππ22π36x k-=+或π5π22π36x k-=+，所以ππ4x k=+或7ππ12x k=+()k∈Z，所以函数()y f x=的图象与直线1y=的两个相邻交点间的最短距离为π3.32. (文)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.8709201012n m 甲组乙组（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n -+-+-+，其中x 为数据12,,,nx x x 的平均数）.解析：（1）根据题意可得：10)10121087(51=+++++=m x 甲，∴3=m ，10)1211109(51=++++=n x 乙，∴8=n ；（2）根据题意可得：2222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s =-+-+-+-+-=甲， 2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s =-+-+-+-+-=乙，∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些； （3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有25520-=，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为204255=.（理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x+++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x+++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s=-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s=-+-+-+-+-+-=乙，则x x=甲乙，22s s>甲乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则24262(0)5CPCξ===，1142268(1)15C CPCξ===，22261(2)15CPCξ===，ξ的分布列为ξ0 1 2P25815115所以数学期望()012515153Eξ=⨯+⨯+⨯=．33.(文) 如图，已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面垂直，且90ACB∠=，30BAC∠=，1BC=，16AA，点P、M、N分别为1BC、1CC、1AB的中点．（1）求证：//PN 平面ABC ； （2）求证：1A M ⊥面11AB C ；（1）证明：连接1CB ，P 是1BC 的中点 ，1CB ∴过点P ，N 为1AB 的中点，//PN AC ∴，又AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ，//PN ∴平面ABC ；（2）证明：连结1AC ，连接1AC ，在直角ABC ∆中，1BC =，30BAC ∠=，113AC AC ∴==，1111112CC A C A C MC ==，111~Rt A C M Rt C CA∴∆∆，11AMC CAC ∴∠=∠，1111190AC C CAC AC C A MC ∴∠+∠=∠+∠=，即11AC A M⊥， 1111B C C A ⊥，111CC B C ⊥，且1111C A CC C =，11B C∴⊥平面11AAC C，111B C A M∴⊥，又1111AC B C C=，故1A M⊥平面11AB C； (理) 如图，已知四棱锥P ABCD-的底面为菱形，120BCD∠=，2AB PC==，2AP BP==.（Ⅰ）求证：AB PC⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D--的余弦值.解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接,PO CO AC，．∵AP BP=，∴PO AB⊥又四边形ABCD是菱形，且120BCD∠=︒，∴ACB是等边三角形，∴CO AB⊥又CO PO O=，∴AB PCO⊥平面，又PC PCO⊂平面，∴AB PC⊥（Ⅱ）由2AB PC==，2AP BP==1PO=，3OC=∴222OP OC PC+=，OP OC⊥以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O xyz-，则(0,1,0)B，3,0,0)C，(0,0,1)P，3,2,0)D-，∴(3,1,0)BC=-，(3,0,1)PC=-，(0,2,0)DC=AD CBP设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥，∴113020n PCz n DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴z =0y =，∴1(1n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC ⊥，∴223030n PC c nBC b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，∴c =b =2(1,n = ∴121212cos ,||||2n n n nn n ⋅<>===⋅⨯，∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为7-. 34.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ， 且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B . （1）求角C 的大小；（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ， 可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =， 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，因为π<<A 0，所以>A sin 0，从而C C cos sin =，即4π=C .（2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得1222=-+ab b a ，又222b a ab +≤，所以()122122≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π83==B A 时，22b a +取到最大值22+.35.如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b +=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312DEF S ∆=-．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．解析：（Ⅰ）由题意得32c e a ==，故32c a =，12b a =．22113133()()(112222422DEF a S a c b a a a ∆=-⨯=-⨯=-=-，故24a =，即2a =，所以112b a ==，3c =故椭圆的标准方程为：2214x y +=．（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、21(,)2xQ y ．①当直线AB 的斜率不存在时，即12x x =，12y y =-，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即221211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =， 又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2211414y y +=，解得112|||2y x ==，所以1121||||12AOB S x y y ∆=⨯-=．②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-= 由根与系数的关系可得122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+ 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即1212022x x y y ⋅+⋅=， 即121204x x y y +=．故221212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++ 222221444844141k m kmmk m k k +--=⨯+⨯+++ 2222821041k m m k =--=+整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=． 所以22412k m +=．而222212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++ 222216(41)(41)k m k =+-+故12|||AB x x =-=而点O 到直线AB的距离d =所以11||22AOBS AB d ∆=⨯=1===．综合①②可知AOB ∆的面积为定值1．36.（文）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.(1)求证：//DE 平面ACF ；(2)若AB =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO 的值；若不存在，请说明理由.解析：（1）证明：连接OF由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点 又F 为BE 的中点，所以//OF DE 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以//DE 平面ACF (2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥ 于是作CG OE ⊥于点G由EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形 所以BD AC ⊥，又EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACE 而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥又OE BD O ⊥=，所以CG ⊥平面BDE又AB =，所以CO AB CE ==所以G 为EO 的中点，所以12EG EO =解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中2AB CE =，2CO AB CE ==，所以CG EO ⊥又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥ 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥ 又AC EC C ⋂=所以BD ⊥平面ACE 而BD ⊂平面BDE所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ⋂平面BDE EO =因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE由G 为EO 的中点，得12EG EO =(理) 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4==AB AA .（1）求证：1BD A C⊥；（2）求二面角11--A A C D 的余弦值；（3）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.证明：（1）因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形.因为BD ⊂平面ABCD ， 所以1,BD AA BD AC ⊥⊥.因为1AA AC A=,所以BD ⊥平面1A AC. 因为1AC ⊂平面1A AC,所以1BD A C⊥.（2）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B 11(0,2,4),(0,0,4)C D所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-. 设平面11A D C的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,0D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩令11z =，则12y =.所以(0,2,1)=n .由（1）可知平面1AA C的法向量为(2,2,0)DB =.所以cos ,DB <>==n . 因为二面角11--A A C D 为钝二面角，所以二面角11--A A C D的余弦值为5-.（3）设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---.即22240,2,1x y z λλ===+.所以4(0,2,)1P λλ+.设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. 令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-.所以1(1,1,)2λλ+=--m .若平面11A CD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n .即1202λλ+-=，解得13λ=. 所以当113CP PC =时，平面11A CD ⊥平面PBD .37. 设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.解析：（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点.当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()xf x x -'=，令()0f x '=，解得x e =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，则当x e =时，函数()f x 有最大值1()f e e =.所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110e f -=-<，所以函数()1y f x =-不存在零点.（Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx=. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：()f x↗ ↘所以函数()f x 在1(0,)ne 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减，则当1nx e =时，函数()f x 有最大值11()nf e ne =；由函数()x n e g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得1e ()()x n x n g x x +-'=， 令 ()0g x '=，解得x n =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示： x (0,)nn(,)n +∞()g x '-0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值()()neg n n =. 因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1e nf n =<，所以曲线ln nxy x =在直线1l y =：的下方，而曲线x n e y x =在直线1l y =：的上方，所以e()1n n >，解得e n <.所以n 的取值集合为{1,2}.38.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n n b b b m a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++++-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+，所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，2112(1)a a +=+所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列（Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+，故{}n T n 是以111T =为首项，12为公差的等差数列， 则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，因为11b =满足该式，所以n b n =所以不等式1212911122n n n b b bm a a a a +++≥-++++，即为2123912222n n n m -+++≥-， 令21231222n n n R -=+++，则23112322222nn nR =+++，两式相减得231111112(1)122222222n n n n n n R -+-=++++-=-，所以1242n n n R -+=-由92n n R m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立，又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=，故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=；当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是611639.已知抛物线21:2C y px=上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率2e =，且过抛物线的焦点F . （I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''⋅+⋅+=，若点S 满足：OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上.解析：（Ⅰ）抛物线21:2C y px=上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4；抛物线的准线为2px =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF 等于到准线的距离d所以342p d =+=,所以2p =抛物线1C 的方程为24y x = 椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率2e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a -===,解得22a = 所以椭圆的标准方程为22121y x +=(Ⅱ)直线1l的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x yB x y则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*)由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-=得:1212,11x xx x λμ==--所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21P Q P Q x x y y +=-(1) 2212P P y x +=,(2) 2212Q Q y x +=(3)(1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程命题得证40.（文）已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. （3）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n ++>++++恒成立.解：（1）()(1)()(0)x a x f x x x --'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞上递增，(1,)a 上递减（2）由（1）知当0a ≤时11()(1)0,22f x f a a ≥=--≥∴≤-当0a >时，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立综上：12a ≤-（3）由（2）知12a =-时，()0f x ≥恒成立2111ln 0222x x x -+-≥ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=”1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->-1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+ 11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++(理) 设函数2()ln(1)f x x m x =++． （1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立．解析：（1）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥； 若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立. ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞.。

2023年高考数学押题预测卷及答案解析(天津卷)

2023年高考数学押题预测卷及答案解析(天津卷)

2023年高考数学押题预测卷及答案解析（天津卷）第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【详解】因为{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-所以{}U 1,1,0A =-ð，所以(){}{}{}U 1,1,03,0,1,20,1A B ⋂=-⋂-=ð．故选：C.2．设x ∈R ，则“2x =”是“24x =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当2x =时24x =，故充分性成立，由24x =可得2x =或2x =-，故必要性不成立，所以“2x =”是“24x =”的充分不必要条件.故选：A3．函数()333x x x f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】()333x x x f x -=+定义域为R ，且()()()333333x x x x x x f x f x ----==-=-++，即()333x x x f x -=+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B 、D ；当0x >时30x >，330xx-+>，所以()3033x x x f x -=>+，故排除C ；故选：A4．某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩，分为6组：[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95]，绘制了频率分布直方图如图所示，则成绩在区间[70,85)内的学生有（）A ．35名B ．50名C ．60名D ．65名【答案】D【详解】∵(0.050.060.030.010.01)51a +++++⨯=，∴0.04a =，∴100(0.060.040.03)565⨯++⨯=（名），故选：D.5．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】B【详解】依题意，10255(()133a -=<=，212221log log 5log 225b ==>=，而23331log 3log 7log 32=<<=，即12c <<，所以a ，b ，c 的大小关系为b c a >>.故选：B6．设sin cos 6παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（）A ．1825-B ．1825C ．725-D ．725【答案】D【详解】解：s 1si c in cos n os 26παααα⎛⎫+⎪⎭== ⎝⋅即3sin cos 225αα⋅+⋅=，所以14sin cos 225αα⋅+=即4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2167cos 22cos 121362525ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D7．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x yE a b a b-=>>的左、右焦点，焦距为4，若过点1F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的左、右支分别交于A ，B 两点，2122ABF AF F S S =△△，则该双曲线的离心率为（）A BC D 【答案】C【详解】因为2121112222ABF AF F S S h AB h AF =⇒⋅=⋅⋅△△，解得12AB AF =设1AF t =，22AF t a =+，13BF t =，232BF t a=-根据题意可知2,2t A ⎫-⎪⎪⎝⎭，32,2t B ⎫-⎪⎪⎝⎭设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设00(,)P x y ，若P 点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =--，20PF ex a =-+，由题意可得()1,0F c -，()2,0F c ，所以1PF =2PF =根据2200221x y a b -=变形得2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1PF ====0cx a a=--0ex a =--故10PF ex a =--，同理可得20PF ex a =-+，同理可得，若P 点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：10PF ex a =+，20PF ex a =-，根据双曲线焦半径公式可得：122A AF ex a e a =--=--，222A AF ex a e et a =-+=-+；122BF e et a =-++，22B BF ex a e a =-=--，114AF BF t +==，解得=e .故选：C8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为2C ．勒洛四面体ABCD 的体积是D ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4【答案】D【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图1所示，故A 不正确；根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B 错误；如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BO 并延长交勒洛四面体的曲面于点E ，则OE 就是勒洛四面体内切球的半径.如图3,在正四面体ABCD 中，M 为BCD △的中心，O 是正四面体ABCD 外接球的球心，连接BM 、BO 、AM ，由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为4AB =,所以233BM ==，则3AM =.因为()2222BO BM OM AM OM =+=-，即2222BO OM OM ⎫=+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得BO =则正四面体ABCD 外接球的体积是3344ππ33R =⨯=，而勒洛四面体ABCD 的体积小于其外接球的体积，C 错误；因为4BE AB ==，所以4OE =,所以，勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4D 正确.故选：D.9．将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列四个结论：①πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()g x 的一个解析式；②()g x 是最小正周期为π的奇函数；③()g x 的单调递减区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；④直线7π12x =是()g x 图象的一条对称轴.其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度得到函数()πππππcos 2cos 2sin 423233g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故①错误；函数()g x 的最小正周期2ππ2T ==，但是()ππsin 2sin 233g x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 为非奇非偶函数，即②错误；令5π2π22ππ6k x k ≤+≤+，Z k ∈，解得5ππππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，所以()g x 的单调递减区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故③正确；因为7π7ππ3πsin 2sin1121232g ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线7π12x =是()g x 图象的一条对称轴，故④正确；故选：B第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．若复数i1ia +-为纯虚数，则2i a +=___________.【详解】i (i)(1i)1(1)i 11i 1i (1i)(1i)222a a a a a a +++-++-+===+--+为纯虚数，则102a -=且102a +≠，∴1a =，2i 2i a +=+=11．102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【答案】45【详解】二项式102x⎛⎝展开式的通项为()()520102211010CC 1rr rr rr r T x x--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r-=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．12．圆心在直线2x =-上，且与直线20x -=相切于点(-的圆的方程为______.【答案】()2224x y ++=【详解】记圆心为点C ，点(-为点A ，因为圆心C 在直线2x =-上，故可设圆心C 的坐标为()2,t -，因为圆C 与直线20x -=相切于点(A -，所以直线CA 与直线20x -=垂直，直线CA 20x -=的斜率为所以1213t ⎛⨯-=- -+⎝⎭，所以0=t ，所以圆心为()2,0C -，圆的半径为2CA r ==，所以圆的方程为()2224x y ++=.故答案为：()2224x y ++=.13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.【答案】0.18/9500.86/4350【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，恰有一个是合格品的概率为12C 0.90.10.18⨯⨯=，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.60.90.40.80.86⨯+⨯=.故答案为：0.18；0.86.14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AE AC AF λλμμ=+∈，则λμ+的值为________；若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅的最小值为______.【答案】-【详解】AF AB ⊥，以点A 为坐标原点，分别以,AB AF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为(82)1801080-⨯︒=︒，则110801358HAB ∠=⨯︒=︒，所以，(0,0),(2,0),(2(2,22(0,22(A B C E F H ++-,(2,2(0,22(2AE AF AC =+=+=+,因为AE AC AF λμ=+，则(2,2(2(0,22λμ+=+++，所以2(22(2λμ⎧=+⎪⎨+++⎪⎩，解得22λμ==，所以λμ+=；设(,)P x y ，则2x ≤≤+(,),(2,0)AP x y AB == ，则2AP AB x ⋅=≥-所以，当点P 在线段GH 上时，AP AB ⋅取最小值-.，-15．已知函数()f x 满足：()222,1269,24x x f x x x x -≤≤=⎨-+<<⎩，当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-；当x ∈R 时，()()42f x f x +=，若关于x 的方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.【答案】(]{}1,20⋃【详解】由已知当[]1,2x ∈时，()22xf x =-，当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-，所以当[)0,1x ∈时，(]21,2x -∈，()()2222xf x f x -=-=-，因为当x ∈R 时，()()42f x f x +=，所以当[)4,5x ∈，()()()2472422224x x f x f x -+-=-=-=-，当[]5,6x ∈，()()()432422224x x f x f x --=-=-=-，作出函数()f x 在[]0,6时的函数图像，如图所示，方程()20f x m x --=可化为()2f x m x =-，因为方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，所以函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，当0m =时，函数()y f x =与函数0y =的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，符合题意；当102m <<时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有六个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有六个不同的实数解，不符合题意；当12m =时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有五个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有五个不同的实数解，不符合题意；当112m <≤时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有四个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有四个不同的实数解，不符合题意；当12m <≤时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有三个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，符合题意；当m>2时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上有且仅有两个交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有两个不同的实数解，不符合题意；当0m <时，函数()y f x =与函数2y m x =-的图象在[]0,6上没有交点，所以()20f x m x --=在区间[]0,6上没有实数解，不符合题意；综上所述，若关于x 的方程()20f x m x --=在区间[]0,6上恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是(]1,2.故答案为：(]{}1,20⋃三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)2222sin a c b bc A +-=.(1)求角B 的大小；(2)若1cos 3A =，求()sin 2AB -的值.【详解】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，则2222cos a c b ac B =+-，)2222sin a c b bc A +-=，所以cos 2sin B bc A =cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，因为sin 0A >，sin B B =，则tan B ，又0πB <<，所以π3B =.（2）因为1cos 3A =，2π03A <<，所以sin A ，所以1sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，27cos 22cos 19A A =-=-，所以()17sin 2sin 2cos cos 2sin 929218A B A B A B -=-=+⨯=.17．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,//,,3,2,60,ABCD AB CD AB AD AB AD CD PAB M ∠⊥===== 是CD 中点，N 是PB 上一点.(1)当13PN PB =时，（i ）证明：MN //平面PAD ；（ii ）求直线PM 与平面PAD 所成角的正弦值；(2)平面PAD 与平面AMN 夹角的余弦值为45，求PNPB的值.【详解】（1）解：如图建立空间直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过点A 作面ABCD 的垂线为z 轴，则由题意可得()()(3,0,0,,,B D P M，由((2,0,,PB PM == ，及13PN PB =即13PN PB = ，可得22,0,,,3333PN MN PN PM ⎛⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（i ）设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,AP m x AD m ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩解得,0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1z =，得()m =是平面PAD 的一个法向量.因为00MN m ⋅=+=，所以MN m ⊥.又MN ⊄平面PAD ，所以MN //平面PAD .（ii ）由（i）可得cos ,PM m PM m PM m⋅==-⋅，所以直线PM 与平面PAD所成角的正弦值为4.（2）设()[]2,0,,0,1PN t PB t t ==∈ ，则()12AN AP PN t =+=+ ，设()111,,x n y z =是平面AMN 的一个法向量，则())111101210n AM x n AN t x t z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，取)11x t =-，则))1,1,21n t t t =--+是平面AMN 的一个法向量，则4cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，解得t =t =.所以28487PN PB +=.18．在公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，n S 为{}n a 的前n 项和.已知21943,a b S b ===，且2a 是1a 与5a 的等比中项.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求1114(1)nk k k k ka a -=+-⋅∑.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意2215a a a =，即9(3)(33)d d =-+，∵0d ≠，解得2d =，∴11a =，∴()12121n a n n =+-=-.∵99892812S ⨯=+⨯=，∴34381b q =⨯=，∴3q =∴3n n b =.（2）(21)3n n n a b n ⋅=-⨯∴231133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①∴23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①-②得234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 2113(13)32(21)313n n n -+-=+⨯--⨯-16(22)3n n +=---⨯∴13(1)3n n T n +=+-⨯.（3）11114411(1)(1)(1)()(21)(21)2121k k k k k k k a a k k k k ---+-=-=-+-+-+当n 为偶数时，11141111111(1)(1)()()(33523212121nk k k k k a a n n n n -=+-=+-++++-+⋅---+∑ 1212121n n n =-=++当n 为奇数时，11141111111(1)(1)()()(33523212121nk k k k k a a n n n n -=+-=+-++-+++⋅---+∑ 12212121n n n +=+=++∴1112,421(1)22,.21nk k k k nn k n n a a n n -=+⎧⎪⎪+-=⎨+⋅⎪⎪+⎩∑为偶数，为奇数19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【详解】（1）解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅==-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12S S -0=t 时，等号成立，因此，12S S-的最大值为4.20．已知函数()e sin x f x a x a =--．（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x ．①求实数a 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <．【详解】（1）当2a =时，()2e sin 2x f x x =--，()2e cos x f x x '=-，切线的斜率()0211k f '==-=，又()00f =，所以切点为()0,0，所以，切线方程为y x=（2）①.函数()e sin x f x a x a =--，()e cos x f x a x '=-，（ⅰ）当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x a >，()cos 0,1x ∈，()0f x '∴>，则()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当01a <<时，设()e cos x x a x ϕ=-，则()e sin 0x x a x ϕ'=+>在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，又()010f a -'=<，π2πe 02f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1．②.由①知01a <<，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x =->'，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10<f x ，又因为()()πππe e 10f a a a =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x ．因为()12112e sin2x f x a x a =--，由①知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2e sin2e cos 2sin cos e x x x x f x a x a x x x =--=--11111cos e 2sin e x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设()e 2sin e x x h x x -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()e 2cos e x x h x x -=+'-，e e 2x x -+> ，2cos 2x <，所以()e e 2cos 0x x h x x -='+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos e 2sin 0e x x f x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭．所以()()1020f x f x >=．由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <．。

2020年高考数学押题预测卷01(山东卷)(参考答案)

2020年高考数学押题预测卷01(山东卷)(参考答案)

2020年高考押题预测卷01（山东卷）数学·参考答案13．2e14．6 121515．816．11217．（本小题满分10分）【解析】若选①，∵m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且12m n ⋅=-2211cos sin ,cos 0,222223A A A A A ππ⎛⎫∴-+=-∴=∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（3分） 24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V .（6分）=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） ②∵cos A(2b-c)＝a cos C12cos cos cos 2cos cos 2b A a Cc A b A b A ∴=+∴=∴=0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（3分）24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） ③f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －14 ＝12cos 2x ＋32cos x sin x －14 ＝12×1＋cos 2x 2＋32×sin 2x 2－14 ＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭Q0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（5分）24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）当n ＝1时，12a = 当2n ≥时a 1＋a 2＋a 3＋…＋1n a -＝12n -②①-②得12n n a -=经检验1a 不符合上式∴12,12,2n n n a n =-=⎧⎨≥⎩.（6分）（2）由（1）得当n ＝1时12b = 当2n ≥时()()n 2n b n 1log a 11n n =+=+-（）,∴()()()n 111112b 11211n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪-+-+⎝⎭. ()n 12n 111521...b b b 421n S n n +∴=+++=-+.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）取BC 的中点F ，连接EF ，HF .∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴HF ∥AB ，且AB ＝2HF . 又DE ∥AB ，AB ＝2DE ， ∴HF ∥DE 且HF ＝DE ， ∴四边形DEFH 为平行四边形． ∴EF ∥DH ，又D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF BCE ⊂面∴ECB ABC ⊥面面.（5分） （2）∵DH ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴以C 为原点，建立空间直角坐标系,则B (0,2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，1，()0,1,1E设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，CD uuu r ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1，CE u u ur ＝()0,1,1，则1020x z y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩取y ＝1，则x ＝2，z ＝-1. ∴n ＝(2,1,1)，∵1,2,12BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r∴sin cos ,21BD n BD n BD nα===u u u r r u u u r r g u u ur r ∴BD 与面CDE夹角的余弦值为21.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意22222112b a c a b c =⎪⎪-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的方程为22142x y +=.（4分）（2）设11(,)P x y 、22(,)Q x y .将直线与椭圆的方程联立得：()223142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(21)121840k x k x k +-+-=.由根与系数之间的关系可得：21221221k x x k +=+，212218421k x x k -⋅=+. ∵点P 关于y 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． ∴直线P Q '的斜率2121y y k x x +=-方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，即2121112121()y y x xy x x y x x y y +-=---+212112112121()()()y y y y x x x y x x x y y +++-=--+2112212121()y y x y x y x x x y y ++=--+2112212121(3)(3)()(3)(3)y y x k x x k x x x x k x k x +-+-=---+-211212211223()()6y y x x x x x x x x x +-+=--+-222221221218412232121()12621k k y y k k x k x x k -⨯-⨯+++=---+ 21214()3y y x x x +=--.∴直线P Q '过x 轴上定点4(,0)3．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）4656566666760.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯768686960.020100.0051022+++⨯⨯+⨯⨯70=.（3分）（2）由题意样本方差2100s =，故10σ≈=. 所以2(70,10)X N :，由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<<1(0.68270.9545)0.81862=+=.（6分） （3）X 所有可能为0,1,2,3.()0335385028C C P X C === ()12353815128C C P X C === ()21353815256C C P X C === ()3035381356C C P X C ===.（10分）X 的分布列为()98E X =.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）()21xf x e ax '=--，记()()21xg x f x e ax '==--，则()2x g x e a '=-.由()0g x '=，即20x e a -=，解得ln 2x a =. 当ln 2x a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当ln 2x a ＞时，()0g x '＞，函数()g x 单调递增.（4分）（2）由题意，函数()f x 有两个极值点12,x x ，记函数()g x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，则1(,ln 2)x a ∈-∞，2(ln 2,)x a ∈+∞. 所以12ln 2x a x <<记()()(2ln 2)p x g x g a x =--2ln 22[2(2ln 2)]x a x e ax e a a x -=----2(2)44ln 2x x e a e ax a a -=--+2()(2)4x x p x e a e a -'=+-由均值不等式可得()4440p x a a a '≥=-=（当且仅当2(2)x xe a e -=，即ln 2x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln 2x a >，可得2()(ln 2)0p x p a >=，即22()(2ln 2)0g x g a x -->， 又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln 2)g x g a x >-，又2ln 2x a >，所以22ln 2ln 2a x a -<，又函数()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，所以122ln 2x a x <-，即122ln 2x x a +<.（12分）。

2024届福建省莆田一中等中学全国统一招生高考押题卷数学试题(一)

2024届福建省莆田一中等中学全国统一招生高考押题卷数学试题(一)

2024届福建省莆田一中等中学全国统一招生高考押题卷数学试题（一）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件4．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 5．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B 3C ．12D ．226．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞7．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-9．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．173110．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．411．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥12．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高考押题预测卷01卷-理科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)

2023年高考押题预测卷01卷-理科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)

绝密★启用前2023年高考押题预测卷01（全国乙卷）理科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ ） A. 0B. 1C.2D. 22.设集合A={x|x 2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4B. –2C. 2D. 43.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.存在函数f(x)满足：对任意x ∈R 都有( )A.f(sin 2x)＝sin xB.f(sin 2x)＝x 2＋xC.f(x 2＋1)＝|x ＋1|D.f(x 2＋2x)＝|x ＋1|5.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 326.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112 B ．114 C ．115 D ．1187.将函数y =sin(2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间[3π4,5π4]上单调递增 B ．在区间[3π4,π]上单调递减 C ．在区间[5π4,3π2]上单调递增 D ．在区间[3π2,2π]上单调递减8.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个9.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A. ,βγαγ<< B. ,βαβγ<< C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<10.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点；②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增；④ω的取值范围是[1229510，)，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④11.已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知a =log 2e ，b =ln2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则m 、n 、e 1，e 2应满足____________关系。

2024年高考数学(新高考卷)(全解全析)

2024年高考数学(新高考卷)(全解全析)

2024年高考押题预测卷【新高考卷】数学·全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678BDBCABCD1.定义差集{M N x x M -=∈且}x N ∉，已知集合{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，则()A A B -= （）A.∅B.{}2 C.{}8 D.{}3,51．【答案】B 【解析】因为{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，所以{}3,5A B = ，所以(){}2A A B -= ．故选：B2.已知函数()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π，下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的图象关于π6x =对称B.函数()f x 的对称中心是()ππ,0122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.函数()f x 在区间5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象可以由()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度得到2.【答案】D【解析】A 选项，()21cos23sin2sin cos 22x xf x x x x ωωωωω-=+=+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，πππ1sin 2sin 6362x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，令π2π,6x k k -=∈Z ，即ππ,122k x k =+∈Z ，函数()f x 的对称中心是()ππ1,1222k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，故B 错误；C 选项，π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63u x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，显然()1sin 2f x u =+在其上不单调，故C 错误；D 选项，()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度，得到()π2π1π1cos 2sin 233262g x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A 18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A 18=种选择，综上，共有181836+=种选择.故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔()Florence Nightingale 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误．．的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4.【答案】C【解析】对于A ，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A 说法正确；对于B 和C ，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.960.480.48-=；2017年，1.880.960.92-=；2018年，2.95 1.88 1.07-=；2019年，3.56 2.950.61-=；2020年，4.15 3.560.59-=；2021年，4.77 4.150.62-=；2022年，5.27 4.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 说法正确，C 说法错误；对于D ，由5.27100.48>⨯，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D 说法正确.综上，说法错误的选项为C.故选：C5.在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为43，则sin ABD ∠=（）A.1538 B.1538+ C.534- D.534+5.【答案】A【解析】因为113sin 4222ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯⨯=△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DB DBBAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以15cos 4BAD ∠==，所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠⎪⎝⎭ππsin cos cos 81sin 5663BAD BAD =∠=-∠.故选：A6.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n n S a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++< 恒成立，则实数M 的最小值为（）A.13 B.49C.43D.36.【答案】B【解析】因为13n n n nS a S a ++=，所以()133n n n n n n n a S a S a S S +==++，即()13n n n n a S S S +-=，即13n n n a a S +=，则1213n n n a a S +++=，与上式作差后可得()()121133n n n n n n a S a a S a ++++-=-=，因为正项数列{}n a ，所以23n n a a +-=，所以22223111113n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11a =，11212333n n n a S a a a a a +=⇒=⇒=，所以1324213243521111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫+++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12411499n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以实数M 的最小值为49，故选：B.7.设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A.101x <<，23x >B.121x x >C.1201x x <<D.124x x +>7.【答案】C【解析】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133⎛⎫<= ⎪⎝⎭，23311log 2log 239⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以12012x x <<<<，所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以121133x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确.故选：C8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面面积为（）A.215π3B.8π3C.35π3D.5π3【答案】D【解析】取正方体的中心为O ，连接,,OP OQ OR，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为正方体外接球球心为点O，半径12R =⨯=，又易得12OP OQ OR ===⨯=，且12PQ PR QR ===⨯=，所以三棱锥O PQR -为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR 的中心为M，即点O 到平面PQR 的距离为OM ，又正三角形PQR 的外接圆半径为MQ ，由正弦定理可得262sin 60332PQMQ ===︒，即63MQ =，所以233OM==，即正方体1111ABCD A B C D-外接球的球心O到截面PQR的距离为3OM=，所以截面PQR被球O所截圆的半径r==，则截面圆的面积为25ππ3r=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011AB AD BD9.已知,z z∈C是z的共轭复数，则（）A.若13i13iz+=-，则43i5z--=B.若z为纯虚数，则20z<C.若(2i)0z-+>，则2iz>+D.若{||3i3}M z z=+≤∣，则集合M所构成区域的面积为6π9.【答案】AB【解析】()()()213i13i43i13i13i13i5z++-+===--+，所以43i5z--=，故A正确；由z为纯虚数，可设()i R,0z b b b=∈≠，所以222iz b=，因为2i1=-且0b≠，所以20z<，故B正确；由()2i0z-+>，得i(2)z a a=+>，因为i(2)z a a=+>与2i+均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数i,,Rz a b a b∈=+，所以()3ia b++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10.已知向量a 在向量b 方向上的投影向量为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量(b = ，且a 与b 夹角π6，则向量a 可以为（）A.()0,2 B.()2,0C.(D.)10.【答案】AD【解析】由题设可得(233,22a b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故22a b b ⋅=，而2b = ，a 与b 夹角π6，故33242a b ⨯= ，故2a = ，对于A ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故A 正确.对于B ，21cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故B 错误.对于C ，4cos ,122a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故,0a b = ，故C 错误.对于D ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故D 错误.故选：AD.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为()()()112233,,,,,,F A x y B x y D x y 为抛物线C 上的任意三点（异于坐标原点O ），0FA FB FD ++=，且6FA FB FD ++=，则下列说法正确的有（）A.4p =B.若FA FB ⊥，则FD AB=C.设,A B 到直线=1x -的距离分别为12,d d ，则12d d AB+<D.若直线,,AB AD BD 的斜率分别为,,AB AD BD k k k ，则1110AB AD BDk k k ++=11.【答案】BD【解析】对于A ，因为,,A B D 为抛物线上任意三点，且0FA FB FD ++=，所以F 为ABD 的重心，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1231233,02px x x y y y ++=++=又123362pFA FB FD x x x ++=+++=，即2p =，故A 错误；对于B ，延长FD 交AB 于点E ，因为F 为ABD 的重心，所以2FD FE =，且F 是AB 的中点，因为FA FB ⊥，在Rt FAB 中，有2AB FE =，所以FD AB =，故B 正确；对于C ，抛物线方程为24y x =，所以抛物线的准线为=1x -，所以,A B 到直线=1x -的距离之和12d d FA FB +=+，因为,,F A B 三点不一定共线，所以FA FB AB +≥，即12d d AB +≥，故C 错误；对于D ，因为2114y x =，2224y x =，两式相减,得：()()()1212124y y y y x x +-=-,所以1212124AB y y k x x y y -==-+,同理可得324BD k y y =+,134AD k y y =+,所以()123211104AB AD BD y y y k k k ++++==，故D 正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三质量监测数学试卷理科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三质量监测数学试卷理科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三质量监测数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．4．柱体体积公式：V Sh =柱体，锥体体积公式13V Sh =锥体． 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0,1,2M =，{}2320N x x x =-+>，则()MN R=（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,2 2．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(4,3)a =-，(5,6)b =，则23||4a a b -⋅=（ ）A ．83B ．63C ．57D ．234．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若18423a a a =-，则816S S =（ ） A ．310B ．13C ．18D ．195．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ） A ．1030020(())a x a x a a x +++的值 B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值6．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，该四面体以平面zOy 为投7．设变量,x y满足约束条件20510080x yx yx y-+≥⎧⎪-+<⎨⎪+-≤⎩，则目标函数34z x y=-的取值范围是（）A．[11,3)-B．[11,3]-C．(11,3)-D．(11,3]-8．已知,x y取值如下表：）A．0.95B．1C．1.1D．1.159．设函数()2122,29log,24x a xf xx a x⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．(,1][2,)-∞-+∞B．[1,2]-C．(,2][1,)-∞-+∞D．[2,1]-10．一个正三棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正三棱柱的侧面积取得最大值时，正三棱柱的底面边长为（）A B．2C D11．已知1F、2F分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点，过点1F的直线与双曲线C的左右两支分别交于P、Q两点，12PQ F P=且线段PQ的垂直平分线过点2F，则C的离心率是（）A．3B12．若函数()()223xf x e x a=--+，a∈R在区间[)0,+∞上有两个零点，则实数a的取值范围（）A．[2,ln33)--B．[33)-C．(ln33,1)--D．)+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321为必考题，每个试题考生都必须做答，第2224题为选考题，考生根据要求做答．A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上． 13．已知{}n a 为各项为正数的等比数列，其中53S =，109S =，则15S =____________．14．若4cos()55πα+=，则9sin(2)10πα+=____________．15．已知42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则123452345a a a a a ++++=____________．16．向边长为3的正方形ABCD 内随机投一点P ，则点P 满足12PA PB ≤的概率为____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()()3a b c a b c ab +++-=．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）()222sin 212C f x x x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．（本小题满分12分）某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班学生中任取三人，求这三名同学身高不低于176cm 的同学人数的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，60=∠DAB ，⊥PD 平面ABCD ，1=AD ，点E 、F 分别为AB 、PD 中点．（Ⅰ）求证：直线//AF 平面PEC ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAB所成角的正弦值为14，求PD 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下求三棱锥P CEF -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于P 、Q 两点，若△2PQF的周长为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲A BCDE FP如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E ，（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅．23．（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1)2M π，， 以极点O为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求点M 到A 、B 两点的距离之积．24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a =---∈R ， （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．BD E O高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1.故答案为：1.【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m.故答案为：60m.【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{an}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2.又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴.由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1.【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.。

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2020年高考数学(理科) 精优预测卷新课标全国卷（一）1、已知集合2{|40},{|11}B x A x x x x =-≤-≤=<，则A B =U ( ) A ．[]1,1-B ．[)1,4-C ．(]0,1D ．()0,42、命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”，的否定为（ ） A.对任意R x ∈，都有20x <B.不存在R x ∈，使得20x <C.存在0R x ∈，使得200x ≥D.存在0R x ∈，使得 200x <3、已知复数3i12iz +=-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、执行如图的程序框图，输出的c 的值为( )A.5B.4C.-5D.-45、已知底面边长为2的正四棱锥S ABCD的各顶点均在球O的表面上，若球O的表面积为25π2，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为( )A.1B.2C.2或1226、图1是某宾馆地毯上的图案，它是一个轴对称图形.可从中抽象出一个正八边形，且在该正八边形中有一个边长和该正八边形的边长相等的正方形，如图2所示.若向图2的正八边形中任意地投掷一个点，则该点落在正方形内的概率是( )A.32- B.21- C.21- D.42- 7、已知函数()cos2f x x =，将函数()sin 2g x x =的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到的函数图象与()f x 的图象重合，则m 的最小值为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π8、记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（ ） A ．23nn a =B ．13n n a -=C ．312n n S -=D ．213n n S -=9、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()221,0126,1x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨--+>⎪⎩若关于x 的方程()()20()f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ,有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A.(4)9,B.(94)--,C.[]4,9D.[]94--,10、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π11、已知点()0,2R ，曲线()()24:0C y px p =>，直线y m = (0m >且2m ≠)与曲线C 交于,M N 两点，若RMN △周长 的最小值为2，则p 的值为( )A.8B.6C.4D.212、已知函数()32113(1)f x x ax ax a =-++≤在()1212,x x x x ≠处的导数相等，则不等式()12f x x m +≥恒成立时m 的取值范围为( )A.(],1-∞-B.(],0-∞C.(],1-∞D.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、设向量()(),1,1,2a m b ==r r ，且222a b a b +=+r r r r ，则m =__________.14、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是___________.15、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为________．16、若x y,满足约束条件210501x yx yy--≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y=-++的取值范围是.17、在ABC△中，内角A B C,,所对的边分别为a b c,,，若2222222a c ba b c a c+-=+--..(1)求B.(2)若1b=，求ABC△面积的最大值.18、如图，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，且90BAP CDP∠=∠=︒.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA PD AB DC===，90APD∠=︒，求二面角A PB C--的余弦值.19、焦点在x轴上的椭圆2222:1x yCa b+=经过点(2，椭圆C2．1F，2F是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为2OF的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数λ，使得2||||OP MA MBλ=⋅；若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．20、某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，,A B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会．会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明．参考公式：22n ad bcKa b c d a c b d（－）＝（＋）（＋）（＋）（＋），其中n a b c d＝＋＋＋21、已知函数e ()xf x x =，()2(ln )g x x x =-.(1)当0x >时，证明()()f x g x >;(2)已知点(,e )xP x ，点(sin ,cos )Q x x -，设函数()h x OP OQ =⋅u u u r u u u r (O 为坐标原点），当ππ[,]22x ∈-时，试判断()h x 的零点个数.22、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为cos 4a ρπ⎛⎫θ-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cosx y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.(1).求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2).过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线1C 交于,M N 两点，求BM BN ⋅的值 23、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ． （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵集合{}2{|1{|40}01}4,B x A x x x x x x =-<=<=-≤≤<，∴{}[)141,4B x x A =-≤<=-U . 故选：B.2答案及解析： 答案：D解析：全称命题的否定是特称命题“对任意R x ∈，都有20x ≥”的否定为“存在0R x ∈，都有200x <”，故选D.3答案及解析： 答案：A解析：由题意知，()()()()3i 12i 17i 12i 12i 55z ++==+-+，则在复平面内对应的点为17,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，故选A.4答案及解析：答案：D解析：第一次执行，4542c a b k ====,,,；第二次执行，1413c a b k =-==-=,,,； 第三次执行，5154c a b k =-=-=-=,,,；第四次执行，4545c a b k =-=-=-=,,,； 第五次执行，1416c a b k ==-==,,,；第六次执行，5157c a b k ====,,,；第七次执行，454,8c a b k ====,,；…故该循环具有周期性，且周期为6，则输出的c 的值为4-.故选D.5答案及解析： 答案：C解析：设球O 的半径为R ，则225π4π2R =，得R =. 连接AC BD ,，记AC BD H ⋂=，连接SH ，则SH ⊥平面ABCD ，点O 在直线SH 上，设SH h =，则OH h =-连接OC ，在Rt OHC △中，易知HC ，由勾股定理可知222h +⎛ ⎝⎭⎝⎭=，解得h =h ， 所以该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2或12.6答案及解析： 答案：B解析：如图所示，设AB a =，连接CF ，根据题意可知90,45CEF CFE ∠=︒∠=︒， 2a EF =，则2CF a =.正八边形的面积为2222124222222a a a a a a ⎛⎫+⨯⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 故所求的概率是22221222222a a -==++.7答案及解析： 答案：C解析：()πsin 2cos 22g x x x ⎛==-⎫ ⎪⎝⎭，()g x 的图象向右平移m 个单位长度后，所得图象的函数解析式为()πcos 22y x m ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦πcos 222x m =--⎛⎫ ⎪⎝⎭.()cos2f x x =Q 的图象与πcos 222y x m ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-的图象重合，π22π2m k k ∴--=∈Z ，，ππ,4m k k =--∈Z ， 又0m >，∴当1k =-时，m 取得最小值，且min 3π4m =，故选C8答案及解析：答案：D解析：设公比为q ，有231418,916,3a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,32,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩则1(12)213123n n n S --==-．9答案及解析： 答案：B解析：作出函数()f x 的大致图像，如图.由图可知，()f x 在()1-∞-,和(0)1,上单调递增，在(10)-,和(1)+∞,上单调递减. ∴当1x =±时，函数()f x 有极大值()()113f f =-=，当0x =时，函数()f x 有极小值()02f =.要使关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有且仅有8个不同的实数根， 设()t f x =，则关于t 的方程20t at b ++=有两个不同的实数根12t t ,， 满足1)3(2t ∈,，2)3(2t ∈,，12)49(a t t ∴-=+∈,，9,()4a ∴∈--.故选B.10答案及解析： 答案：A解析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18，即该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428ππR 833V =⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和，即22734π2π217π84⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．11答案及解析：答案：B解析：易知曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =-构成，如图，设MN 与y 轴的交点为D ，抛物线2y px =-的焦点为F ，连接,FM FR .即，则,04p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，RMN △的周长()22244p p c MR MD MR MF RF ⎛⎫⎛⎫=+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当M ，R ，F 三点共线时取等号，故224242p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以6p =.12答案及解析： 答案：C解析：由题得()22f x x ax a =-+.由函数()f x 在1x ，122()x x x ≠处的导数相等，得122x x a +=.()12f x x m +≥Q 恒成立，()(2)1m f a a ∴≤≤恒成立.令()()2g a f a =()()32122213a a a a a =-+⋅+32421)13(a a a =-++≤，则()()24441g a a a a a '=-+=--.当)0(a ∈-∞,时，()0g a '<；当)1(0a ∈,时，()0g a '>. ()g a ∴在()0-∞,上单调递减，在(0)1,上单调递增， ()()min 01g a g ∴==，()min 1m g a ∴≤=.故选C.13答案及解析： 答案：-2解析：由222a b a b +=+r r r r ，得a b ⊥rr ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-.14答案及解析： 答案：1和3解析：丙说他的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字要么是1和2，要么是1和3.又乙说他与丙的卡片上相同数字不是1，所以卡片2和3必定在乙手里.因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲的卡片上的数字只能是1和3.15答案及解析： 答案：2 解析：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r 得1.F A AB =又12,OF OF = 得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则12,OB OF OF ==有221122,OBF BF O OBF OF B ∠=∠=∠=∠1AOB AOF ∠=∠．又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠则260BOF ∠=o．又渐近线OB 的斜率为tan 603ba==o 所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．16答案及解析： 答案：[]1,9解析：画出不等式组 210501x y x y y --≥⎧⎪+-=⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由501x y y +-=⎧⎨=⎩，得1(4)C ,. 将2244z x x y =-++化成()222z x y =-+.设点0(2)D ,，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()22min 2239z =-+=，经过点1(2)E ,时，z 取得最小值，()22min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］17答案及解析：答案：(1)由余弦定理可得，2222222cos 2cos 2a c b ac B ab C a b c a c+-=+--， 则cos cos 2sin sin B C A C- 即 2cos cos sin sin cos A B B C B C =+， ()2cos sin sin A B B C A =+=，(2)由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-，即221a c =+，所以2212a c ac =+≥，当且仅当a c =时取等号，则ac =1sin 2ABC S ac B =≤△，所以ABC △. 解析：18答案及解析：答案：(1) ∵90BAP CDP ∠=∠=︒，∴AB AP ⊥，CD PD ⊥， ∵//AB CD ，∴AB PD ⊥，∵PD AP P ⋂=，且AP ，PD ⊂Q 平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵PB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .(2)取AD 中点为O ，∵PA PD CD ==，∴PAD ∆为等腰三角形，∴PO AD ⊥， ∴PO AO ⊥，AO AB ⊥.取BC 中点H ，连接OH ，则//OH Ax ，∴OA OH ⊥，∵AB ⊥平面PAD ，∴OH ⊥平面PAD ，∴OH OP ⊥，∴OA ，OH ，OP 两两互相垂直.以O 为坐标原点，以OA 为x 轴， OH 为y 轴， OP 为z 轴建立空间直角坐标系， 如图:∴()0,0,0O ，设AB a =， ∴2,0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，2,,0B a a ⎫⎪⎪⎝⎭，2,,0C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ∴22,0,22AP a ⎛=- ⎝⎭u u u r ，22,,22PB a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()2,,0BC a a =-u u ur ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，则11111220,22{220,ax ay -+=+=2222220,{2220,ax ay az ax +-== ∴111,{0,x z y ==2220,{2,x z ==∴1(1,0,1)n =u r ，2(0,12)n =u u r ，∴()121223cos 323A BP C n n n n ∠--===u r u u r u r u u r . 显然二面角A BP C --为钝角，所以它的余弦值为33-.解析：19答案及解析：答案：（1）由已知可得22222421a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）若直线的斜率不存在时，||2OP =，||||MA MB = 所以77||||428MA MB λλ==⇒=； 当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线l 与椭圆方程22(1)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222214280k x k x k +-+-=，所以212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩． 因为//OP l ，设直线OP 的方程为y kx =，联立直线OP 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22218k x +=，解得22821x k =+．∴()222228||121OP x y k k =+=++，1||1MA -，同理2||1MB -，()()()212||||111MA MB kx x ⋅=+--，因为()()()1212122711121x x x x x x k -⋅-=--++=⎡⎤⎣⎦+，()227||||121MA MB k k ⋅=++，故27||||8OP MA MB =⋅，存在78λ=满足条件， 综上可得，存在78λ=满足条件． 解析：20答案及解析：答案：（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁的”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯= ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0,1,2,3，相应概率为：()()31254533995100,14221C C C P X P X C C ====== ()()2134543399512,31421C C C P X P X C C ====== 故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：可求得2K 的观测值 ()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴21k k >欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m = 解析：21答案及解析：答案：(1)令e ()()()2(ln )xx f x g x x x x ϕ=-=--，则2(1)(e 2)'()x x x x x ϕ--=，令()e 2(0)x G x x x =->，则'()e 2(0)x G x x =->，易得()G x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， ∴()(ln 2)22ln 20G x G ≥=->，∴e 20x x ->在(0,)+∞上恒成立， ∴可得()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)e 20x ϕϕ≥=->， ∴当0x >时，()()f x g x >.(2)∵点(,e )x P x ，点(sin ,cos )Q x x -， ∴()sin e cos x h x OP OQ x x x =⋅=-+u u u r u u u r，'()sin cos e cos e sin (e )cos (e 1)sin x x x x h x x x x x x x x x =--+-=--+⋅.①当π[,0]2x ∈-时，可知e x x >，∴e 0x x ->，∴(e )cos 0x x x -≥. 又(e 1)sin 0x x +≤，∴'()(e )cos (e 1)sin 0x x h x x x x =--+>，∴()h x 在π[,0]2-上单调递增.又(0)10h =>，ππ()022h -=-<，∴()h x 在π[,0]2-上有一个零点.②当π(0,]4x ∈时，cos sin x x ≥，e x x >，∴e cos sin x x x x >，∴()0h x >在π(0,]4上恒成立，∴()h x 在π(0,]4上无零点.③当ππ(,]42x ∈时，0cos sin x x ≤<，'()e (cos sin )(cos sin )0x h x x x x x x =--+<，∴()h x 在ππ(,]42上单调递减.又ππ()022h =-<，π4ππ()(e )0424h =->，∴()h x 在ππ(,]42上有一个零点.综上，()h x 的零点个数为2. 解析：22答案及解析：答案：(1).由直线l 过点Aππ44a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故a =则易得直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.曲线1C 上的点到直线l的距离d==sinϕ=，cos ϕ=max d ==(2).由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线1l 的参数方程为31cos π431+sin π4x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）又易知曲线1C 的普通方程为22143x y +=，把直线1l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程可得27502t +-=，∴12107t t =-，依据参数t 的几何意义可知12107BM BN t t ⋅== 解析：23答案及解析：答案：（1）当1a =时，()112f x x x =++->， 当1x ≥时，112x x ++->，即1x >，可得1x >； 当11x -≤<时，112x x ++->，即有x ∈∅； 当1x <-时，12x x --->，即1x <-，可得1x <-． 综上可得原不等式的解集为()(),11,-∞-+∞∪； （2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立， 即[]2,3x ∈，()1123ax x x ++-≥-恒成立， []2,3x ∈，12ax x +≥-恒成立，即有12ax x +≥-或12ax x +≥-， 即为31a x ≥-或11a x≤-恒成立， 由31x-在[]2,3递增，可得最大值为0，可得0a ≥；11x -在[]2,3递减，可得最小值为12133-=-， 可知0a ≥或23a ≤-．解析：。

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