恒成立与存在性问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4. ∀x∈D,均有 f(x)﹤g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) ﹤0
∴ F(x) max ﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立， 则 f(x)min> g(x)max
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立， 则 f(x) max < g(x) min
故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：
0 3m
3m 0
4
m2
或30m＜3m0
4
m2
,
解得0≤m≤1或-1≤m＜0，
所以m的取值范围是[-1，1].
练习
1.已知函数f (x) ax ln xa R
(1)求f (x)的单调区间； （2）设g(x) x2 2x 2,若对任意x1 (0,),均存在x2 [0,1],
∴ F(x) min <0
5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x) max > g(x) min
6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) min < g(x) max
1.∀x1∈D, ∃x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)min
练习:已知函数f (x) ax2, g(x) 2ln x, (a>0)
(1)若x1, x2 2, e ,使f (x1) g(x2 )成立，求 a
(2)若x1, x2 2, e ,使f (x1) g(x2 )成立，求 a
使得f (x1) g(x2 ),求a的取值范围。
若本题（2）条件改为：对任意x1 (0,),使得任意的x2 [0,1] 都有f (x1) g(x2 )求a的取值范围
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D,使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)min
恒成立和存在性问题
• 把含有相同变量的 移到同一侧 • 不同的变量 尽量拨开 分离开 放两侧 • 转化为两个函数 值域或最值的问题
例2。已知函数f (x) ax2, g(x) 2 ln x,
若x 2, e ,使f (x) g(x)成立，求a.
例2。已知函数f (x) ax2, g(x) 2 ln x,
(1)若x 2, e ,使f (x) g(x)成立，求a.
(2)若x1, x2 2,e ,使f (x1) g(x2)成立，求正
(3)若x1 2,e ,x2 2,e ,使f (x1) g(x2)成立，
求a
例3、已知f (x) ax ln x, g(x) x2 2x 2,
若对任意的x1 (0,)，均存在x2 0,1，
使得f (x1) gx2 ，求a的范围。
转化为 f
x m a x
g
x
m
பைடு நூலகம்
a
的问题
x
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ∃x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ∃x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
4. ∃x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
(x
x2 3 2)(x 1)2
,
令F′(x)＞0，得单调增区间为 (2,和 3) ( 3,) 令F′(x)＜0，得单调减区间为 ( 和3,1) (1, 3)
②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为：
ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即 ln x≤13ma+4-m2.
2x 1
现在只需求y=ln x (x1∈[0,1])的最大值和
2x 1
y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.
因为 x 1 1 在[01 ，1]上单调递减,
2x 1 2 2(2x 1)
所以y=ln x (x1∈[0,1])的最大值为0,
2x 1
而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，
2x 1
步转化为(ln 2xx11)max (3m成a 立4 . m2 )min
(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x
x 1
定义域为：
(-2,-1)∪(-1,+∞).
F′(x)=
x
1
2
2(x 1) 2x (x 1)2
x
1
2
(x
2 1)2
=(x 1)2 2(x 2)
(x 2)(x 1)2
(2)已知f(x)=lnx:
①设F(x)=f(x+2)- 2x ，求F(x)的单调区间；
x 1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.
【解题指南】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区 间；原不等式恒成立可转化为 ln x 1 3ma恒成4 立m，2 进一
(5)恰成立问题 1. 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D； 2.若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.
例1已知两个函数f (x) x 1, g(x) x a, 若x R, 使得f (x) g(x)成立，求a取 值范围。
x1, 对x2 , 都有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
• 大小问题
x1, x2 D,都有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)max
对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)min
x1, 对x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)max
例4、已知两个函数f (x) 1 x3 e2x2 mx 1, g(x) ln x ,
3
x
若对任意的x1, x2 (0,),都有g(x1) f (x2 )成立，求m
的范围。
转化为 g ( x)max
f
(
x)m
的问题
in
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D,使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
实数a的范围.
2.设函数 f(x)＝x2－1，对任意 x∈[32，＋∞)，f(mx )－4m2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，求实数 m 的取值范围
[解析] ∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)， f(mx )－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对 x∈[32，＋∞)恒成立． 即(mx )2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立. 即(m12－4m2－1)x2＋2x＋3≤0 恒成立.即m12－4m2－1≤－2xx2－3恒成立. g(x)＝－2xx2－3＝－x32－x2＝－3(x12＋32x)＝－3(1x＋31)2＋31. ∵x≥32，∴0＜1x≤32，∴当1x＝23时，g(x)min＝－38. ∴m12－4m2－1≤－83.整理得 12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0. ∵3m2＋1>0，∴4m2－3≥0.即：m≥ 23或 m≤－ 23.
函数中的
恒成立和存在性问题
(1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有 f(x)>A 恒成立，则 f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立，则 f(x)max<A. 3. ∀x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) >0
∴ F(x)min >0
{ f(x)} {g(x)}
2.∃x1∈D, ∀x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
则{ f(x)} {g(x)}
3.∃x1∈D, ∃x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
{ f(x)} I {g(x)}≠
(4)恒成立与存在性的综合性问题 ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x)min> g(x) min ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) max < g(x) max
x1, 对x2 , 都有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
• 大小问题
x1, x2 D,都有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)max
对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)min
x1, 对x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)max
∴ F(x) max ﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立， 则 f(x)min> g(x)max
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立， 则 f(x) max < g(x) min
故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：
0 3m
3m 0
4
m2
或30m＜3m0
4
m2
,
解得0≤m≤1或-1≤m＜0，
所以m的取值范围是[-1，1].
练习
1.已知函数f (x) ax ln xa R
(1)求f (x)的单调区间； （2）设g(x) x2 2x 2,若对任意x1 (0,),均存在x2 [0,1],
∴ F(x) min <0
5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x) max > g(x) min
6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) min < g(x) max
1.∀x1∈D, ∃x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)min
练习:已知函数f (x) ax2, g(x) 2ln x, (a>0)
(1)若x1, x2 2, e ,使f (x1) g(x2 )成立，求 a
(2)若x1, x2 2, e ,使f (x1) g(x2 )成立，求 a
使得f (x1) g(x2 ),求a的取值范围。
若本题（2）条件改为：对任意x1 (0,),使得任意的x2 [0,1] 都有f (x1) g(x2 )求a的取值范围
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D,使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)min
恒成立和存在性问题
• 把含有相同变量的 移到同一侧 • 不同的变量 尽量拨开 分离开 放两侧 • 转化为两个函数 值域或最值的问题
例2。已知函数f (x) ax2, g(x) 2 ln x,
若x 2, e ,使f (x) g(x)成立，求a.
例2。已知函数f (x) ax2, g(x) 2 ln x,
(1)若x 2, e ,使f (x) g(x)成立，求a.
(2)若x1, x2 2,e ,使f (x1) g(x2)成立，求正
(3)若x1 2,e ,x2 2,e ,使f (x1) g(x2)成立，
求a
例3、已知f (x) ax ln x, g(x) x2 2x 2,
若对任意的x1 (0,)，均存在x2 0,1，
使得f (x1) gx2 ，求a的范围。
转化为 f
x m a x
g
x
m
பைடு நூலகம்
a
的问题
x
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ∃x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ∃x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
4. ∃x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
(x
x2 3 2)(x 1)2
,
令F′(x)＞0，得单调增区间为 (2,和 3) ( 3,) 令F′(x)＜0，得单调减区间为 ( 和3,1) (1, 3)
②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为：
ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即 ln x≤13ma+4-m2.
2x 1
现在只需求y=ln x (x1∈[0,1])的最大值和
2x 1
y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.
因为 x 1 1 在[01 ，1]上单调递减,
2x 1 2 2(2x 1)
所以y=ln x (x1∈[0,1])的最大值为0,
2x 1
而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，
2x 1
步转化为(ln 2xx11)max (3m成a 立4 . m2 )min
(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x
x 1
定义域为：
(-2,-1)∪(-1,+∞).
F′(x)=
x
1
2
2(x 1) 2x (x 1)2
x
1
2
(x
2 1)2
=(x 1)2 2(x 2)
(x 2)(x 1)2
(2)已知f(x)=lnx:
①设F(x)=f(x+2)- 2x ，求F(x)的单调区间；
x 1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.
【解题指南】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区 间；原不等式恒成立可转化为 ln x 1 3ma恒成4 立m，2 进一
(5)恰成立问题 1. 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D； 2.若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.
例1已知两个函数f (x) x 1, g(x) x a, 若x R, 使得f (x) g(x)成立，求a取 值范围。
x1, 对x2 , 都有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
• 大小问题
x1, x2 D,都有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)max
对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)min
x1, 对x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)max
例4、已知两个函数f (x) 1 x3 e2x2 mx 1, g(x) ln x ,
3
x
若对任意的x1, x2 (0,),都有g(x1) f (x2 )成立，求m
的范围。
转化为 g ( x)max
f
(
x)m
的问题
in
两个变量
• 相等问题
x1, x2 D,使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
实数a的范围.
2.设函数 f(x)＝x2－1，对任意 x∈[32，＋∞)，f(mx )－4m2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，求实数 m 的取值范围
[解析] ∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)， f(mx )－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对 x∈[32，＋∞)恒成立． 即(mx )2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立. 即(m12－4m2－1)x2＋2x＋3≤0 恒成立.即m12－4m2－1≤－2xx2－3恒成立. g(x)＝－2xx2－3＝－x32－x2＝－3(x12＋32x)＝－3(1x＋31)2＋31. ∵x≥32，∴0＜1x≤32，∴当1x＝23时，g(x)min＝－38. ∴m12－4m2－1≤－83.整理得 12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0. ∵3m2＋1>0，∴4m2－3≥0.即：m≥ 23或 m≤－ 23.
函数中的
恒成立和存在性问题
(1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有 f(x)>A 恒成立，则 f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立，则 f(x)max<A. 3. ∀x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) >0
∴ F(x)min >0
{ f(x)} {g(x)}
2.∃x1∈D, ∀x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
则{ f(x)} {g(x)}
3.∃x1∈D, ∃x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
{ f(x)} I {g(x)}≠
(4)恒成立与存在性的综合性问题 ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x)min> g(x) min ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) max < g(x) max
x1, 对x2 , 都有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
• 大小问题
x1, x2 D,都有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)max
对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)min
x1, 对x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)max g(x)max