第四章 聚类分析
4 第四章 聚类分析 -数据挖掘算法与应用(Python实现)-孙家泽-清华大学出版社
西安邮电大学
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K-means算法概述
K-means算法对初始聚类中心较敏感，相似度 计算方式会影响聚类的划分。 常见的相似度计算方法有：
欧式距离 曼哈顿距离 闵可夫斯基距离
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多选题 1分 对象i和对象j距离 d(i,j)满足性质（ ）
基于密度的聚类
➢常见的基于密度的方法：
➢ DBSCAN（具有噪声的基于密度的聚类方法） ➢ OPTICS（通过点排序识别聚类结构）
➢基于网格的方法把对象空间量化为有限个单元，形 成一个网络结构。所有的聚类操作都在这个网络结 构（即量化空间）上进行。这种方法主要优点是处 理速度很快，其处理时间通常独立于数据对象的个 数，而依赖于量化空间中每一维的单元数。
模式
聚类分析的目标
聚类分析的目标就是形成多个数据簇，并且数据 簇需要满足下面两个条件：
同一个簇内的数据尽量相似（high intra-class similarity）；
不同簇的数据尽量不相似（low inter-class similarity）。
聚类分析常用算法介绍
常见的聚类分析算法有：
层次聚类算法
无论使用凝聚方法还是分裂方法，一个核心的问题是度量两 个簇间的距离，其中每个簇一般是一个对象集.
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➢ 基于距离的聚类方法的缺点：只能发现球状的簇，难以发现任意形状的 簇。
➢ 基于密度的聚类：只要临近区域的密度（对象或数据点的数目）超过某 个临界值，就继续聚类。
优点：可以过滤掉“噪声”和“离群点”，发现任意形状的簇
第四章聚类分析
西安邮电大学
1
聚类分析
1. 聚类分析 2.基于划分的聚类方法 3.基于层次的聚类方法 4.基于密度的聚类方法 5.基于概率的聚类方法 6.聚类图数据
聚类分析_精品文档
1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluste.Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术.也叫分类分析(classificatio.analysis)或数值分类(numerica.taxonomy), 它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法, 所谓类, 通俗地说, 就是指相似元素的集合。
聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性, 不同类中的个体差异很大。
1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法, 它将一批样品或变量, 按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类.聚类分析的内容十分丰富, 按其聚类的方法可分为以下几种:(1)系统聚类法: 开始每个对象自成一类, 然后每次将最相似的两类合并, 合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度. 这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止. 并类的过程可用一张谱系聚类图描述.(2)调优法(动态聚类法): 首先对n个对象初步分类, 然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整, 直到分类合理为止.(3)最优分割法(有序样品聚类法): 开始将所有样品看成一类, 然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类, 一直分割到所需的K类为止. 这种方法适用于有序样品的分类问题, 也称为有序样品的聚类法.(4)模糊聚类法: 利用模糊集理论来处理分类问题, 它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果.(5)图论聚类法: 利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题, 创造了独具风格的方法.(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题, 在多元统计分析中, 可用来作预报的方法很多, 如回归分析和判别分析. 但对一些异常数据, 如气象中的灾害性天气的预报, 使用回归分析或判别分析处理的效果都不好, 而聚类预报弥补了这一不足, 这是一个值得重视的方法。
第四章 聚类分析-数据挖掘-思政课设计
2.2.3数据挖掘其他应用
2.3
聚类分析方法
2.3.1常见的聚类分析算法有：
基于划分的聚类算法
2.3.2基于划分的方法（Partition-based methods）
划分方法是将数据对象划分成不重叠的子集（簇），使得每个数据对象 恰在一个子集中。
给定一个n个对象集合，划分方法构建数据的k个分区，其中每个分区表示一个 簇，并且k≤n。也就是说，把数据划分为k个组，使得每个组至少包含一个对象。 划分方法在数据集上进行一层划分。
（1）树立严谨的学习态度； （2）体会数据在决策中的重要作用。 （3）增强家国情怀，提升学习的责任感。
1.3教学设计
教学 重难点
重点
（1）聚类的内涵； （2）K-means算法的实现过程； （3） K-means算法的思想。
难点
K-means算法的优缺点
1.3教学设计
ห้องสมุดไป่ตู้教学 内容
聚类的内涵、应用 聚类的方法 K-means聚类思想
多学科交叉
数据挖掘课程涉及到高等数学、机器学 习、统计学、数据库、人工智能等学科 领域知识，是一门交叉、综合性课程。
数据 挖掘
应用领域广
数据挖掘广泛应用在各个领域，如信息检 索、商务智能、知识发现、医学信息处理、 管理模式分析、自然灾害预测等方面。
内容量大
课程内容涵盖范围广，数据预处理，算法 （聚类、分类，如K-means 、KNN、 SVM、NB、BP等分析方法）及有实际应 用型案例分析。知识点多且分散，重要程 度相当，且有—定理论深度。
典型的划分方法有： k-means（K-均值）算法 k-medoids（K-中心点）算法
2.4
K-means算法概述
聚类分析原理及步骤
聚类分析原理及步骤
一，聚类分析概述
聚类分析是一种常用的数据挖掘方法，它将具有相似特征的样本归为
一类，根据彼此间的相似性(相似度)将样本准确地分组为多个类簇，其中
每个类簇都具有一定的相似性。
聚类分析是半监督学习(semi-supervised learning)的一种，半监督学习的核心思想是使用未标记的数据，即在训
练样本中搜集的数据，以及有限的标记数据，来学习模型。
聚类分析是实际应用中最为常用的数据挖掘算法之一，因为它可以根
据历史或当前的数据状况，帮助组织做出决策，如商业分析，市场分析，
决策支持，客户分类，医学诊断，质量控制等等，都可以使用它。
二，聚类分析原理
聚类分析的本质是用其中一种相似性度量方法将客户的属性连接起来，从而将客户分组，划分出几个客户类型，这样就可以进行客户分类、客户
细分、客户关系管理等，更好地实现客户管理。
聚类分析的原理是建立在相似性和距离等度量概念之上：通过对比一
组数据中不同对象之间的距离或相似性，从而将它们分成不同的类簇，类
簇之间的距离越近，则它们之间的相似性越大；类簇之间的距离越远，则
它们之间的相似性越小。
聚类分析的原理分为两类，一类是基于距离的聚类。
第四章 系统模型与模型化技术(聚类分析-理论)
• 得到新矩阵
G6 G1 G 2 G 5 G 6 0 D1 G1 13.12 0 G 2 24.06 11.67 0 G 5 2.21 12.80 23.54 0
合并类6和类5，得到新类7
• 类7与剩余的1、2之间的距离分别为：
d(5,6)1=min(d51,d61)=min(12.80,13.12)=12.80 d(5,6)2=min(d52,d62)=min(23.54,24.06)=23.54 d12=11.67
例题1（最短距离法）.
为了研究辽宁等5省1991年城镇居民生活消费情 况的分布规律，根据调查资料做类型分类，用欧 式距离作为样本距离，最短距离作为类间分类。 数据如下： x1
辽宁1 7.90
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
13.29
39.77 8.49 27.93 8.20 27.98 9.01
12.94 19.27 11.05 2.04 8.14 9.32 16.17 9.42 15.99 9.10 1.55 1.82
二、聚类分析的形式 聚类分析有两种形式，一种是对样本（个 案）进行分类，称为Q型聚类，它使具有共同 特点的样本聚齐在一起，以便对不同类的样本 进行分析；另一种是对研究对象的观察变量进 行分类，称为R型聚类。它使具有共同特征的 变量聚在一起，以便从不同类中分别选出具有 代表性的变量作分析，从而减少分析变量的个 数。
聚类分析
算法
聚类分析是数据挖掘中的一个很活跃的研究领域，并提出了许多聚类算法。传统的聚类算法可以被分为五类： 划分方法、层次方法、基于密度方法、基于格方法和基于模型方法。
1划分方法(PAM:PArtitioning method)首先创建k个划分，k为要创建的划分个数；然后利用一个循环定位 技术通过将对象从一个划分移到另一个划分来帮助改善划分质量。典型的划分方法包括：
k-means,k-medoids,CLARA(Clustering LARge Application), CLARANS(Clustering Large Application based upon RANdomized Search). FCM 2层次方法(hierarchical method)创建一个层次以分解给定的数据集。该方法可以分为自上而下（分解） 和自下而上（合并）两种操作方式。为弥补分解与合并的不足，层次合 并经常要与其它聚类方法相结合，如循环定位。典型的这类方法包括： BIRCH(Balanced Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies)方法，它首先利用进行优化。
主要步骤
1.数据预处理，
2.为衡量数据点间的相似度定义一个距离函数，
3.聚类或分组，
4.评估输出。
数据预处理包括选择数量，类型和特征的标度，它依靠特征选择和特征抽取，特征选择选择重要的特征，特 征抽取把输入的特征转化为一个新的显著特征，它们经常被用来获取一个合适的特征集来为避免“维数灾”进行 聚类，数据预处理还包括将孤立点移出数据，孤立点是不依附于一般数据行为或模型的数据，因此孤立点经常会 导致有偏差的聚类结果，因此为了得到正确的聚类，我们必须将它们剔除。
聚类分析详解ppt课件
以上我们对例6.3.1采用了多种系统聚类法进行聚类，其结果 都是相同的，原因是该例只有很少几个样品，此时聚类的过 程不易有什么变化。一般来说，只要聚类的样品数目不是太 少，各种聚类方法所产生的聚类结果一般是不同的，甚至会 有大的差异。从下面例子中可以看到这一点。
动态聚类法（快速聚类）
(4) 对D1 重复上述对D0 的两步得 D2，如此下去 直至所有元素合并成一类为止。
如果某一步Dm中最小的元素不止一个，则称此现 象为结(tie)，对应这些最小元素的类可以任选一对 合并或同时合并。
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二、最长距离法
类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离， 即
DKL
max
iGK , jGL
聚类分析应注意的问题
（1）所选择的变量应符合聚类的要求
如果希望依照学校的科研情况对高校进行分类，那么可以 选择参加科研的人数、年投入经费、立项课题数、支出经 费、科研成果数、获奖数等变量，而不应选择诸如在校学 生人数、校园面积、年用水量等变量。因为它们不符合聚 类的要求，分类的结果也就无法真实地反映科研分类的情 况。
主要内容
引言 聚类分析原理 聚类分析的种类 聚类分析应注意的问题 聚类分析应用 聚类分析工具及案例分析
聚类分析的种类
（1）系统聚类法（也叫分层聚类或层次聚类） （2）动态聚类法（也叫快速聚类） （3）模糊聚类法 （4）图论聚类法
系统聚类法
对比
常用的系统聚类方法
一、最短距离法 二、最长距离法 三、中间距离法 四、类平均法 五、重心法 六、离差平方和法(Ward方法)
对比
k均值法的基本步骤
(1)选择k个样品作为初始凝聚点，或者将所有样品分成k 个初始类，然后将这k个类的重心(均值)作为初始凝聚点。
聚类分析法ppt课件全
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1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（3）分类函数
按照修改原则不同，动态聚类方法有按批修改法、逐个修改法、混合法等。 这里主要介绍逐步聚类法中按批修改法。按批修改法分类的原则是，每一步修 改都将使对应的分类函数缩小，趋于合理，并且分类函数最终趋于定值，即计 算过程是收敛的。
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1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（2）初始分类 有了凝聚点以后接下来就要进行初始分类，同样获得初始分类也有不同的
方法。需要说明的是，初始分类不一定非通过凝聚点确定不可，也可以依据其 他原则分类。
以下是其他几种初始分类方法： ①人为分类，凭经验进行初始分类。 ②选择一批凝聚点后，每个样品按与其距离最近的凝聚点归类。 ③选择一批凝聚点后，每个凝聚点自成一类，将样品依次归入与其距离
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1.2 聚类分析的种类
（2）系统聚类分析的一般步骤 ①对数据进行变换处理； ②计算各样品之间的距离，并将距离最近的两个样品合并成一类； ③选择并计算类与类之间的距离，并将距离最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的两类合并，如果累的个
数大于1，则继续并类，直至所有样品归为一类为止； ④最后绘制系统聚类谱系图，按不同的分类标准，得出不同的分类结果。
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1.2 聚类分析的种类
（7）可变法
1 2 D kr
2 （8）离差平方和法
(D k 2 pD k 2 q)D p 2q
D k 2 rn n ir n n p i D i2 pn n ir n n q iD i2 qn rn in iD p 2 q
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《多元统计分析》第四章 聚类分析
G1
G2
G3
G4
G5
G1
0
G2
1
0
G3
5
4
0
G4
7
6
2
0
G5
10
9
5
3
0
G6=G1∪G2={1,2}。
6
G6
G3
G4
G5
G6
0
G3
4
0
G4
6
2
0
G5
9
5
3
0
G7=G3∪G4={6,8}。
x1：食品
x5：交通和通讯
x2：衣着
x6：娱乐教育文化服务
x3：家庭设备用品及服务 x7：居住
x4：医疗保健
x8：杂项商品和服务
分别用最短距离法、重心法和Ward方法对各地区作聚类分析。为同等
地对待每一变量，在作聚类前，先对各变量作标准化变换。
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地区 北京 天津 河北 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东
类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离，即
DKL
max
iGK , jGL
dij
最长距离法与最短距离法的并类步骤完全相同，只是递推公式不同。
10
最长距离法的递推公式
DMJ maxDKJ , DLJ
11
最长距离法容易被异常值严重地扭曲。
12
3.类平均法
有两种定义。
xi*
xi
xi sii
《多元统计分析》第四章 聚类分析
类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离，即
DKL
max
iGK , jGL
dij
最长距离法与最短距离法的并类步骤完全相同，只是递推公式不同。
10
最长距离法的递推公式
DMJ maxDKJ , DLJ
11
最长距离法容易被异常值严重地扭曲。
12
3.类平均法
有两种定义。
记G1={1}，G2={2}，G3={6}，G4={8}，G5={11}，样品间采用绝对值 距离。
G1
G2
G3
G4
G5
G1
0
G2
1
0
G3
5
4
0
G4
7
6
2
0
G5
10
9
5
3
0
G6=G1∪G2={1,2}。
6
G6
G3
G4
G5
G6
0
G3
4
0
G4
6
2
0
G5
9
5
3
0
G7=G3∪G4={6,8}。
xi*
xi
xi sii
,
i 1, 2,, p
其中 xi 和sii分别为xi的样本均值和样本方差。
4
绝对值距离
v
p
d x, y xi yi
i 1
v 常被形象地称作“城市街区”距离，
当我们对某城市（需考虑彼此之间
路程）的位置点进行聚类时，使用
绝对值距离一般是合适的。
5
马氏距离
3
《多元统计分析》
4.2 距离Байду номын сангаас相似系数
4聚类分析
表25 中国大陆各省、市、自治区人力资源竞争力聚类分析结果
类 省级单位 别 数量（个）
Ⅰ Ⅱ 4 4
省、市、自治区 北京 天津 辽宁 上海 江苏 浙江 山东 广东
Ⅲ
பைடு நூலகம்
16
河北 山西 内蒙古 吉林 黑龙江 安徽 福 建 江西 河南 湖北 湖南 广西 海南 重庆 四川 陕西
贵州 云南 西藏 甘肃 青海 宁夏 新疆
本章学习小结： ----了解聚类分析的作用； ----熟悉聚类分析的完整步骤； ----掌握两种聚类方法，并能针对真实 数据库进行应用。
作业：A55（5）在这次四川大地震抗震救灾志愿奔赴灾区提供服务 1是 2否
试着做聚类分析,可以做期末论文。
难点： 聚类变量的选择；聚类结果的说明。
Ⅳ
7
第Ⅰ类：由东部地区的北京、天津、辽宁、上海四 个省、市组成。这四个省、市的劳动力年龄人口 比例、15岁及以上人口平均受教育年限、平均预 期寿命、三级教育综合入学率、社会劳动生产率 都处于很高的水平。15岁及以上人口平均受教育 年限和社会劳动生产率在全国三十一个省、市、 自治区中占据了前四名；而北京、天津、上海的 平均预期寿命、三级教育综合入学率则位居前三 名。由于人口出生率在全国三十一个省、市、自 治区中位居最后四位，因此其0~14岁人口比例也 位居最后四位，但65岁及以上人口比重则属于较 高水平。15岁及以上人口中文盲人口的比重相当 低，在全国三十一个省、市、自治区中属于最后 五位之列。
scale而不是nominal
应用实例： 王放《中国分区域人力资源竞争力评价研究》（教 育部课题） 聚类变量为表23中的十三项指标，聚类数据为前述 全国三十一个省、市、自治区这十三项指标的相 应指标值。在聚类分析中，本文采用的方法是层 次聚类（hierarchical cluster ）法中的离差平方 和法（Ward’s method），距离选择欧氏距离的 平方（Squared Euclidean distance）。由于十 三个变量的测量单位不一致，所以首先对其进行 了标准化处理 。
聚类分析课件
聚类分析课件聚类分析课件聚类分析是一种常用的数据分析方法，它可以将一组数据分成不同的类别或簇，每个簇内的数据点具有相似的特征，而不同簇之间的数据点具有较大的差异。
聚类分析在各个领域都有广泛的应用，如市场细分、社交网络分析、医学诊断等。
在本文中，我们将介绍聚类分析的基本概念、常用算法和实际应用案例。
一、聚类分析的基本概念聚类分析的目标是通过对数据进行分组，使得每个组内的数据点相似度较高，而不同组之间的相似度较低。
聚类分析的基本概念包括距离度量和聚类算法。
1. 距离度量距离度量是衡量数据点之间相似度或差异度的标准。
常用的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离等。
欧氏距离是最常用的距离度量方法，它计算数据点在多维空间中的直线距离。
曼哈顿距离则计算数据点在坐标轴上的绝对距离，而闵可夫斯基距离则是这两种距离的一种泛化形式。
2. 聚类算法常用的聚类算法包括K-means算法、层次聚类算法和DBSCAN算法等。
K-means算法是一种迭代的、基于距离的聚类算法，它将数据点分成K个簇，使得每个簇内的数据点与该簇的中心点的距离最小。
层次聚类算法则是一种自底向上的聚类算法，它通过计算数据点之间的相似度来构建一个层次结构。
DBSCAN算法是一种基于密度的聚类算法，它将数据点分为核心点、边界点和噪声点三类，具有较好的鲁棒性和灵活性。
二、常用的聚类分析算法1. K-means算法K-means算法是一种迭代的、基于距离的聚类算法。
它的基本思想是随机选择K个初始中心点，然后将每个数据点分配到距离其最近的中心点所对应的簇中。
接着，重新计算每个簇的中心点，并重复这个过程直到收敛。
K-means算法的优点是简单易实现，但它对初始中心点的选择敏感，并且需要预先指定簇的个数K。
2. 层次聚类算法层次聚类算法是一种自底向上的聚类算法。
它的基本思想是将每个数据点看作一个独立的簇，然后通过计算数据点之间的相似度来构建一个层次结构。
聚类分析讲义范文
聚类分析讲义范文一、聚类分析的基本原理聚类分析的基本原理是通过计算数据点之间的相似性度量，将相似性高的数据点归为一类，从而形成簇（cluster）。
相似性度量方法主要包括欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离等。
欧几里得距离是最常用的相似性度量方法，其计算公式为：d(x, y) = sqrt((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)聚类分析的基本步骤包括：1.选择合适的相似性度量方法和聚类算法。
2.初始化聚类中心，将数据点分配到最近的聚类中心。
3.更新聚类中心，重新计算每个聚类中心的位置。
4.重复第2步和第3步，直到聚类中心的位置不再变化为止。
5.输出聚类结果。
二、聚类分析的常用算法1. K-means算法：K-means算法是最常用的聚类算法之一、其核心思想是在每次迭代中，计算每个数据点到所有聚类中心的距离，并将每个数据点分配到距离最近的聚类中心。
然后，重新计算每个聚类中心的位置。
重复执行这两个步骤，直到聚类中心的位置不再变化。
K-means算法的优势是简单快速，但对初始聚类中心的选择较为敏感。
2.层次聚类算法：层次聚类算法通过计算所有数据点之间的相似性，构建一个层次性的聚类结果。
这个结果可以表示为一个树状结构，其中每个节点代表一个聚类。
层次聚类算法的优势是不需要预先指定聚类个数，但计算复杂度较高。
3.密度聚类算法：密度聚类算法将聚类看作是在数据空间中找到高密度区域的过程。
该算法通过计算每个数据点在其邻域内的密度，将高密度区域作为簇的候选。
然后，通过在高密度区域之间构建连接来将簇进行合并。
密度聚类算法的优势在于可以发现任意形状和大小的簇，对于噪声和异常点具有较好的鲁棒性。
三、聚类分析的评估方法四、聚类分析的应用聚类分析在市场调研中可以帮助企业识别相似的顾客群体，从而定制合适的产品和推广策略。
在社交网络分析中，聚类分析可以用来发现具有相似兴趣和行为的用户群体，从而进行精准广告投放。
数学建模---4聚类分析
分别表示第i个样品和第j样品的p指标观测值所组成的列向 量，即样本数据矩阵中第i个和第j个行向量的转置，Σ表示观测 变量之间的协方差矩阵。在实践应用中，若总体协方差矩阵Σ未 知，则可用样本协方差矩阵作为估计代替计算。
马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述 各种距离的主要不同就是马氏距离考虑了观测变量之间的相 关性。如果假定各 变量 之间相互独立，即观测变量的协方差 矩阵是对角矩阵， 则马氏距离就退 化为用各个 观测指标的标 准差的倒数作为权数进行加权的欧氏距离。 因此，马氏距离 不仅考虑了观测变量之 间的相关性 ，而且也 考 虑到了各个观 测指标取值 的差异程度，为了对马氏距离和 欧氏距离进行一 下比较，以便更清楚地 看清二者的区别和联 系 ，现考虑一个 例子。
p 1 q
（4）兰氏距离(Canberra)
d ij (L ) = ∑
p
xik − x jk xik + x jk
k =1
（5）马氏距离(Mahalanobis)
′ d ij (M ) = (xi − x j ) S −1 (xi − x j )
1 2
（6）切比雪夫距离(Chebychev)
d ij = d ji 对一切的i和j成立;
d ij ≤ d ik + d kj 对于一切的 i和j成立.
2、常用距离的算法
x i = ( xi1 , xi 2 ,L , xip )′
x j = ( x j1 , x j 2 ,L, x jp )′
把n个样本点看成p维空间的n个点 （1）绝对距离（Block距离）
2 p
2 ∑ x x x x [ k∑ ( − ) ][ ( − ) ] ik i jk j =1 k =1
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距离系数
任一样品i可以看成是m维空间中的一个点，用向量xj=[x1j , x2j, …, xmj]T表示，任 两个样品xi与xj之间的距离记为dij， 距离具有如下四条性质： dij ≥ 0, dij=0, dij=dji, 对于一切i,j 当两个样品的各项指标都相等，即xi=xj时 对于一切i与j
dij
2 T ( x x ) [( x x ) ( xi x j )] , ki kj i j k 1
m
1 2
(i, j 1, 2,..., n)
注意：上述两种距离的大小与各变量的单位有关，为消除个变量单位的影响， 需要先将数据进行标准化处理，然后再计算距离。
（3）马氏(Mahalanobis)距离
x2
3 2 1
0 0 1 0.9 对于服从二元正态分布N （ ， ）， -1 0 0.9 1 -2 0 那么，空间中各点与均值 的马氏距离的等值线为右图所示： -3 0 -4 -4
4 3 2
1 3 5 10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
马氏距离与欧式距离的不同之处是它考虑到了各因子之间的联系，又称为协 2 T 1 方差距离。
dij ( xi x j ) V ( xi x j )
其中，V 为各因子的协方差阵，可用样本计算协方差阵来估计，即： 1 T V= Xd Xd （X d 为X的距平资料阵）。 n 1
由马氏距离的表达式可知，若各因子变量已经过标准化处理(方差为1)且各因 子相互独立(不同因子的协方差为0)，于是协方差阵V为单位阵，这时的马氏距 离就是欧氏距离的平方。 马氏距离有个重要性质是：已经消除了变量单位的影响。即：利用距平数据和 标准化数据算得的马氏距离是相同的。
1 0 -1
dij | xki xkj | ,
k 1
m
(i, j 1, 2,..., n)
1 3 5
-2 -3 -4 -4
特别地，当m=2时，平面上各点与原点（[0, 0]T） 的绝对距离的等值线如右图所示：
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1
（2）欧氏距离
X矩阵中两列向量xi和xj的差向量各元素的平方和的平方根。
x1
如果对该例计算欧氏距离的平方， 等值线如右图所示：
x2
1 0 -1 -2
可见，欧氏距离与各因子变量之间的相关 性(或协方差)无关。
5 3 10
1
-3 -4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x1
相似性的度量
夹角余弦(相似系数) xi与xj两个样品是m维空间中的两个列向量，则xi与xj之间的相似程度可用两个 m 向量之间的夹角余弦来表示: x1i xki xkj x xi x j xiT x j k 1 2i cos ij x i m m | xi || x j | | xi || x j | M 2 2 xki xkj k 1 k 1 cosθij的取值范围为[-1, 1]。 xmi
马氏距离： 5.26 V -1 = -4.74 -4.74 ，代入公式求得A与B距离均值的马氏距离分别为： 5.26 1 2 dij (B) [1 1] V -1 20 1
1 2 dij (A) [1 1] V -1 1.053 ； 1
11 12 1n
设某研究对象有m个指标(因子)， 若观测了n次(找到了n个样品)， 这m×n个记录所构成的资料阵为： x x ... x
与判别分析类似， X中的任意一列表示一个样品，每个样品包括 m个成员。
从向量空间的观点来描述，每个样品就是m维空间的一个点。
聚类分析就是要对这n个样品进行分类，首先要衡量任意两个样 品之间的接近程度，有两类指标： (1) 距离系数 (2) 相似系数
4
x11 x X = 21 M xm1
x12 ... x1n x22 ... x2 n M M M xm 2 ... xmn
dij≤dik+dkj, 对于一切i, j, k
(1)绝对距离
x2
3 2
两样品各因子之差的绝对值之和，即X矩阵中两列 向m /2
|V |
1 2
D2 exp( ) 2
于是，A、B两点处的概率密度值分别为：f(1,1)=0.2157; 密度值最大的均值μ处为：f (0,0) = 0.3651
所以，A点应当距离均值μ更近。
f(1,-1)=0.00001658;
图解马氏距离与欧氏距离的区别
4
x1 某研究对象含有两个因子x = ， x2 n个样品绘成散点图(黄色圆点)
由二元正态分布的密度公式知本例的概率密度函数为：
f ( x1 , x2 ) 1 1 2 exp[ ( x12 1.8 x1 x2 x2 )] 0.38 2 0.19
马氏距离与多元正态分布的概率密度函数存在如下关系： f ( x) (2 ) 1
m /2 1 2
|V |
1 exp[ ( x μ)TV 1 ( x μ)]= 2
聚类分析举例： 例如，对一批环流形势图根据它们的相似程度进行分类（这些环流形 势图所造成的预报量的结果相同或未知，因此无法通过预报量对 其进行分类，只能根据这些图像的相似程度来划分它们的类别， 这就是聚类分析的内容）。
第四章1
相似性的度量
x x ... x 2n X = 21 22 M M M M x x ... x mn m1 m 2
例：已知二维正态总体G的分布为：G ~ N ( μ, V), 并且： 1 1 0 请分别计算A= 和B= 到均值μ= 的距离。 1 -1 0
0 1 0.9 G ~N （ ， ） 0 0.9 1
2 2 若采用欧氏距离： dij ( A) 12 12 2; dij (B) 12 (1)2 2
聚类分析与判别分析的区别
判别分析：事先已知研究对象可以分成哪几种类别。需要拥有一批 事先已经知道类别的历史样本，参考这些样本建立判别函数，对
某一新的样品，判断其分类。
聚类分析：事先不知道研究对象可以分成哪些类别。聚类分析要做 的就是根据数学方法定量地确定这些样品之间的亲疏关系，按照
相似程度来对他们进行分类。