拉氏变换与Z变换的基本公式及性质

1拉氏变换的定义

若时间函数 f (t ) 在 t > 0 有定义，则 f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为

⎰

∞

-⋅=

=0

)()()]([dt e t f s F t f L ts ⎩⎨⎧)()(t f s F

2拉普拉斯反变换 s s F t f st d e )(j

21

)(

j j ⎰∞

+∞

-=σσ

π ,可表示为：f (t ) =L -1[F (s )] 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1

线性定理

齐次性

)()]([s aF t af L =

叠加性

)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±

2

微分定理

一般形式

=

-=][ '- -=-=----=-∑1

1)1()

1(1

22

2)

()()

0()()(0)0()(])([)0()(])

([

k k k k n

k k n n n

n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时

)(])([s F s dt

t f d L n n

n = 3

积分定理

一般形式

∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=+

+=+=

n

k t n n k n n n

n t t t dt t f s s s F dt t f L s

dt t f s dt t f s s F dt t f L s

dt t f s s F dt t f L 10

102

2022

]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个

共个

共

初始条件为0时

n n n s

s F dt t f L )

(]))(([=⎰⎰个

共

4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--

5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at

+=-

6 终值定理 )(lim )(lim 0

s sF t f s t →∞

→=

7 初值定理 )(lim )(lim 0

s sF t f s t ∞

→→=

8 卷积定理

)()(])()([])()([210

210

21s F s F d t f t f L d f t f L t

t =-=-⎰⎰τττττ

像

原像

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 时间函数e(t)

拉氏变换E(s)

Z 变换E(z)

1 δ(t)

1

1

2 )(kT t -δ

kTs e - k z -

3 ∑∞

=-=0)()(n T nT t t δδ

Ts

e

--11

1-z z 4 )(1t

s

1 1

-z z 5 t

2

1s 2

)1(-z Tz

6 2

2t 3

1s 3

2

)1(2)1(-+z z z T

7 !

n t n

1

1+n s

)(!)1(lim 0aT n n n a e

z z a n -→-∂∂- 8 at e -

a

s +1 aT

e z z

-- 9 at

te

- 2

)(1a s +

2

)(aT aT e z Tze ---

10 at

e

--1 )(a s s a + )

)(1()1(aT aT e z z z e ----- 11 bt

at

e

e

---

)

)((b s a s a

b ++-

bT

aT e

z z

e z z ----- 12 t ωsin

22ω

ω

+s 1

cos 2sin 2+-T z z T

z ωω

13 t ωcos

2

2ω+s s

1

cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω 14 t e

at

ωsin -

2

2)(ωω++a s aT

aT aT e T ze z T

ze 22cos 2sin ---+-ωω 15 t e

at

ωcos -

2

2)(ω+++a s a s

aT

aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω

16

T t a /

a

T s ln )/1(1- a

z z -